Классическое винеровское пространство

Норберт Винер

В математике , классическая Винера пространство есть совокупность всех непрерывных функций на данной области ( как правило, суб- интервал от реальной линии ), принимающая значения в метрическом пространстве (обычно п - мерное евклидово пространство ). Классическое винеровское пространство полезно при изучении случайных процессов, чьи выборочные траектории являются непрерывными функциями. Он назван в честь американского математика Норберта Винера .

Определение [ править ]

Рассмотрим E ⊆ ℝ ⁿ и метрическое пространство ( M , d ). Классический Винер пространство С ( Е ; М ) пространство всех непрерывных функций F : E → M . Т.е. при каждом фиксированном т в Е ,

${\ Displaystyle д (е (з), е (т)) \ к 0}$ в качестве ${\ displaystyle | st | \ до 0.}$

Почти во всех приложениях берется E = [0, T ] или [0, + ∞) и M = ℝ ⁿ для некоторого n в. Для краткости пишем C вместо C ([0, T ]; ℝ ⁿ ); это векторное пространство . Написать C ₀ для линейного подпространства , состоящего только из тех функций , которые принимают нулевое значение в инфимуму множество Е . Многие авторы называют C ₀ «классическим винеровским пространством».

Свойства классического винеровского пространства [ править ]

Единая топология [ править ]

Векторное пространство C можно снабдить равномерной нормой

${\ Displaystyle \ | е \ |: = \ sup _ {т \ в [0, Т]} | е (т) |}$

превращая его в нормированное векторное пространство (фактически, в банахово пространство ). Эта норма индуцирует метрику на C обычным образом: . Топологии , порожденные открытыми множествами в этой метрике является топологией равномерной сходимости на [0, T ], или равномерная топология .${\ displaystyle d (f, g): = \ | fg \ |}$

Если рассматривать область [0, T ] как «время», а диапазон R ⁿ как «пространство», интуитивно понятный взгляд на однородную топологию состоит в том, что две функции «близки», если мы можем «немного покачать пространство» и получить график f должен лежать поверх графика g , при этом время остается фиксированным. Сравните это с топологией Скорохода , которая позволяет нам «покачивать» и пространство, и время.

Разделимость и полнота [ править ]

Относительно равномерной метрики C является как сепарабельным, так и полным пространством :

• отделимость является следствием теоремы Стоуна-Вейерштрасса ;
• полнота является следствием того факта, что равномерный предел последовательности непрерывных функций сам непрерывен.

Поскольку оно и отделимо, и полно, C - польское пространство .

Плотность в классическом винеровском пространстве [ править ]

Напомним, что модуль непрерывности функции f : [0, T ] → R ⁿ определяется равенством

${\ displaystyle \ omega _ {f} (\ delta): = \ sup \ left \ {| f (s) -f (t) | \ left | s, t \ in [0, T], | st | \ leq \ delta \ right. \ right \}.}$

Это определение имеет смысл, даже если f не является непрерывным, и можно показать, что f непрерывно тогда и только тогда, когда его модуль непрерывности стремится к нулю при δ → 0:

${\ displaystyle f \ in C \ iff \ omega _ {f} (\ delta) \ to 0}$ при δ → 0.

Под применением теоремы Арцела , можно показать , что последовательность из вероятностных мер на классической Wiener пространстве С является жесткой , если и только если выполняются оба следующих условия:${\ Displaystyle (\ му _ {п}) _ {п = 1} ^ {\ infty}}$

${\ displaystyle \ lim _ {a \ to \ infty} \ limsup _ {n \ to \ infty} \ mu _ {n} \ {f \ in C || f (0) | \ geq a \} = 0, }$ и

${\ displaystyle \ lim _ {\ delta \ to 0} \ limsup _ {n \ to \ infty} \ mu _ {n} \ {f \ in C | \ omega _ {f} (\ delta) \ geq \ varepsilon \} = 0}$ для всех ε> 0.

Классическая мера Винера [ править ]

На C ₀ существует «стандартная» мера , известная как классическая мера Винера (или просто мера Винера ). Мера Винера имеет (по крайней мере) две эквивалентные характеристики:

Если определить броуновское движение как марковский случайный процесс B : [0, T ] × Ω → R ⁿ , начинающийся в начале координат, с почти наверняка непрерывными путями и независимыми приращениями

${\ displaystyle B_ {t} -B_ {s} \ sim \ mathrm {Normal} \ left (0, | ts | \ right),}$

то классическая мера Винера γ является закон процессного B .

В качестве альтернативы можно использовать абстрактное Wiener пространства конструкцию, в которой классическая мере Винер γ является radonification из канонической гауссовского множества цилиндра меры на Камерон-Мартин гильбертова пространстве , соответствующее C ₀ .

Классическая мера Винера - это гауссовская мера : в частности, это строго положительная вероятностная мера.

Учитывая , классическая меру Винер γ на C ₀ , то мера продукт γ ^п × γ является вероятностной мерой на C , где γ ^п обозначает стандартную гауссову меры на R ^н .

См. Также [ править ]

• Пространство Скорохода , обобщение классического винеровского пространства, которое позволяет функциям быть разрывными
• Абстрактное винеровское пространство
• Винеровский процесс