В математике умеренным представлением линейной полупростой группы Ли называется представление , имеющее базис, матричные коэффициенты которого лежат в пространстве Lp .
Это условие, как только что было дано, немного слабее, чем условие, что матричные коэффициенты интегрируемы с квадратом , т. е. лежат в
что было бы определением представления дискретной серии . Если G — линейная полупростая группа Ли с максимальной компактной подгруппой K , допустимое представление ρ группы G является умеренным, если указанное выше условие выполняется для K -конечных матричных коэффициентов группы ρ.
Приведенное выше определение также используется для более общих групп, таких как p -адические группы Ли и конечные центральные расширения полупростых вещественных алгебраических групп. Определение «умеренное представление» имеет смысл для произвольных унимодулярных локально компактных групп , но на группах с бесконечными центрами, таких как бесконечные центральные расширения полупростых групп Ли, оно не работает хорошо и обычно заменяется немного другим определением. Точнее, неприводимое представление называется умеренным, если оно унитарно при сужении на центр Z и абсолютные значения матричных коэффициентов лежат в L2 +ε ( G / Z ).
Умеренные представления на полупростых группах Ли были впервые определены и изучены Хариш-Чандрой (используя другое, но эквивалентное определение), который показал, что они являются в точности представлениями, необходимыми для теоремы Планшереля . Они были классифицированы Кнаппом и Цукерманом и использованы Ленглендсом в классификации Ленглендса неприводимых представлений редуктивной группы Ли G в терминах умеренных представлений меньших групп.
Неприводимые умеренные представления были определены Хариш-Чандрой в его работе по гармоническому анализу полупростой группы Ли как те представления, которые вносят вклад в меру Планшереля . Первоначальное определение умеренного представления, которое имеет определенные технические преимущества, состоит в том, что его характер Хариш-Чандры должен быть «умеренным распределением» (см. раздел об этом ниже). Из результатов Хариш-Чандры следует, что оно эквивалентно более элементарному определению, данному выше. Темперированные представления также играют фундаментальную роль в теории автоморфных форм . Эта связь, вероятно, была впервые осознана Сатаке (в контекстеГипотеза Рамануджана-Петерссона ) и Роберта Ленглендса и послужили для Ленглендса мотивом к разработке схемы классификации неприводимых допустимых представлений вещественных и р - адических редуктивных алгебраических групп в терминах умеренных представлений меньших групп. Точные гипотезы, определяющие место темперированных представлений в автоморфном спектре, были сформулированы позже Джеймсом Артуром и составляют одну из наиболее активно развивающихся частей современной теории автоморфных форм.