В математике алгебраическая структура состоит из непустого множества A (называемого базовым набором , набором носителей или доменом ), набора операций над A конечной арности (обычно бинарных операций ) и конечного набора тождеств , известных как аксиомы . которым должны удовлетворять эти операции.
Алгебраическая структура может быть основана на других алгебраических структурах с операциями и аксиомами, включающими несколько структур. Например, векторное пространство включает в себя вторую структуру, называемую полем , и операцию, называемую скалярным умножением между элементами поля (называемые скалярами ) и элементами векторного пространства (называемые векторами ).
В контексте универсальной алгебры множество A с этой структурой называется алгеброй [1] , в то время как в других контекстах оно (несколько двусмысленно) называется алгебраической структурой , причем термин алгебра зарезервирован для конкретных алгебраических структур, которые являются векторными . пространства над полем или модули над коммутативным кольцом .
Свойства конкретных алгебраических структур изучаются в абстрактной алгебре . Общая теория алгебраических структур формализована в универсальной алгебре. Язык теории категорий используется для выражения и изучения отношений между различными классами алгебраических и неалгебраических объектов. Это потому, что иногда можно найти прочные связи между некоторыми классами объектов, иногда разных видов. Например, теория Галуа устанавливает связь между некоторыми полями и группами: двумя алгебраическими структурами разного рода.
Сложение и умножение действительных чисел являются типичными примерами операций, которые объединяют два элемента множества для получения третьего элемента множества. Эти операции подчиняются нескольким алгебраическим законам. Например, a + ( b + c ) = ( a + b ) + c и a ( bc ) = ( ab ) c в качестве ассоциативных законов . Также a + b = b + a и ab = ba как коммутативные законы.Многие системы, изучаемые математиками, имеют операции, которые подчиняются некоторым, но не обязательно всем законам обычной арифметики. Например, повороты объекта в трехмерном пространстве можно комбинировать, например, выполняя первый поворот объекта, а затем применяя к нему второй поворот в его новой ориентации, сделанной предыдущим поворотом. Вращение как операция подчиняется ассоциативному закону, но может не удовлетворять коммутативному закону.
Математики дают имена множествам с одной или несколькими операциями, которые подчиняются определенному набору законов, и изучают их абстрактно как алгебраические структуры. Когда можно показать, что новая проблема следует законам одной из этих алгебраических структур, вся работа, проделанная над этой категорией в прошлом, может быть применена к новой проблеме.