В математике , то гипотеза Андре-Оорта является открытой проблемой в диофантовой геометрии филиала теории чисел , которая основывается на идеях , найденных в гипотезе Манина-Mumford , которая теперь является теоремой. Прототипная версия гипотезы была сформулирована Ивом Андре в 1989 году [1], а более общая версия была выдвинута Франсом Оортом в 1995 году. [2] Современная версия является естественным обобщением этих двух гипотез.
Заявление
Гипотеза в ее современном виде такова. Каждая неприводимая компонента замыкания Зарисского множества особых точек в многообразии Шимуры является особым подмногообразием.
Первая версия гипотезы Андре была только для одномерных подмногообразий многообразий Шимуры, в то время как Оорт предположил, что она должна работать с подмногообразиями пространства модулей принципиально поляризованных абелевых многообразий размерности g .
Частичные результаты
Различные результаты были получены в отношении полной гипотезы Беном Муненом, Ивом Андре, Андреем Яфаевым, Басом Эдиксховеном, Лораном Клозелем и Эммануэлем Ульмо , среди других. Большинство этих результатов было обусловлено истинностью обобщенной гипотезы Римана . В 2009 году Джонатан Pila использовали методы с о-минимальной геометрии и теории трансцендентных чисел , чтобы доказать гипотезу для произвольных продуктов модулярных кривых , [3] [4] результат , который принесла ему в 2011 году премию Clay Research . [5]
В случае модульного многообразия Зигеля работа Пилы и Якоба Цимерманов привела к доказательству гипотезы Андре – Оорта путем сведения проблемы к усредненной гипотезе Колмеса, которая впоследствии была доказана Синьи Юань и Шоу-Ву Чжан и независимо Андреаттой. , Горен, Ховард и Мадапуси-Пера. [6]
Гипотеза Коулмана – Оорта
Родственная гипотеза, имеющая две формы, эквивалентные, если предполагается гипотеза Андре – Оорта, - это гипотеза Коулмана – Оорта . Роберт Коулман предположил, что для достаточно большого g существует только конечное число гладких проективных кривых C рода g , таких что якобиево многообразие J ( C ) является абелевым многообразием CM-типа . Затем Оорт предположил, что локус Торелли - пространства модулей абелевых многообразий размерности g - не имеет для достаточно большого g специального подмногообразия размерности> 0, которое пересекается с образом отображения Торелли в плотном открытом подмножестве. [7]
Обобщения
Точно так же, как гипотезу Андре – Оорта можно рассматривать как обобщение гипотезы Манина – Мамфорда, так и гипотезу Андре – Оорта можно обобщить. Обычно рассматриваемое обобщение - это гипотеза Зильбера – Пинка, открытая проблема, которая сочетает в себе обобщение гипотезы Андре – Оорта, предложенное Ричардом Пином [8], и гипотезы, выдвинутые Борисом Зильбером . [9] [10]
Рекомендации
- ↑ Андре, Ив (1989),G- функции и геометрия , Аспекты математики, E13 , Vieweg.
- ^ Оорт, Франс (1997), "Канонические подъемы и плотные множества точек КМ", в Фабрицио Катанезе (редактор), Арифметическая геометрия , Кембридж: Cambridge University Press.
- ^ Пила, Джонатан (2009), "Рациональные точки определимых множеств и результаты типа Андре – Оорта – Манина – Мамфорда", Int. Математика. Res. Нет. IMRN (13): 2476–2507.
- ^ Пила, Джонатан (2011), «O-минимальность и гипотеза Андре – Оорта для C n », Annals of Mathematics , 173 (3): 1779–1840, DOI : 10.4007 / annals.2011.173.3.11.
- ^ Сайт Clay Research Award архивации 2011-06-26 в Wayback Machine
- ^ «Февраль 2018». Уведомления Американского математического общества . 65 (2): 191. 2018. ISSN 1088-9477 .
- ^ Карлсон, Джеймс; Мюллер-Стах, Стефан; Питерс, Крис (2017). Отображения периодов и домены периодов . Издательство Кембриджского университета. п. 285. ISBN 9781108422628.
- ^ Пинк, Ричард (2005), «Комбинация гипотез Морделла – Ланга и Андре – Оорта», Геометрические методы в алгебре и теории чисел , Progress in Mathematics, 253 , Birkhauser, pp. 251–282.
- ^ Зильбер, Борис (2002), "Уравнения с экспоненциальными суммами и гипотеза Шенуэля", J. London Math. Soc. , 65 (2): 27-44, DOI : 10,1112 / S0024610701002861.
- ^ Ремон, Гаэль (2009), "Autour de la conjecture de Zilber – Pink" , J. Théor. Nombres Бордо (на французском языке), 21 (2): 405-414, DOI : 10,5802 / jtnb.677.
дальнейшее чтение
- Заньер, Умберто (2012). «О гипотезе Андре – Оорта» . Некоторые проблемы маловероятных пересечений в арифметике и геометрии . Принстон: Издательство Принстонского университета. С. 96–127. ISBN 978-0-691-15370-4.