В дифференциальной геометрии , то Angenent тор является гладким вложением из тора в трехмерном евклидове пространства , с тем свойством , что она остается самоподобной , как она развивается под средним потоком кривизны . Его существование показывает, что, в отличие от одномерного потока сокращения кривой (для которого каждая вложенная замкнутая кривая сходится к окружности при сжатии к точке), двумерный поток средней кривизны имеет вложенные поверхности, которые образуют более сложные особенности в виде они рушатся.
История
Тор Ангенент назван в честь Сигурда Ангенента , который опубликовал доказательство его существования в 1992 году. [1] Однако еще в 1990 году Герхард Хёйскен написал, что Мэтью Грейсон сообщил ему о «числовом свидетельстве» его существования. [2] [3]
Существование
Чтобы доказать существование тора Angenent, Angenent сначала утверждает, что это должна быть поверхность вращения . Любую такую поверхность можно описать с помощью ее поперечного сечения, кривой на полуплоскости (где граничная линия полуплоскости является осью вращения поверхности). Следуя идеям Хёйскена, [2] Ангенент определяет риманову метрику на полуплоскости с тем свойством, что геодезические для этой метрики - это в точности сечения поверхностей вращения, которые остаются самоподобными и схлопываются в начало координат после одного единица времени. Эта метрика очень неоднородна, но имеет симметрию отражения, ось симметрии которой является полупрямой, проходящей через начало координат перпендикулярно границе полуплоскости. [1]
Рассматривая поведение геодезических, которые проходят перпендикулярно этой оси отражательной симметрии на разных расстояниях от начала координат, и применяя теорему о промежуточном значении , Angenent находит геодезическую, которая проходит через ось перпендикулярно во второй точке. Эта геодезическая и ее отражение соединяются, образуя простую замкнутую геодезическую для метрики на полуплоскости. Когда эта замкнутая геодезическая используется для создания поверхности вращения, она образует ангенентный тор.
Другие геодезические приводят к другим поверхностям вращения, которые остаются самоподобными в потоке средней кривизны, включая сферы, цилиндры, плоскости и (согласно числовым данным, но не строгому доказательству) погруженные топологические сферы с множественными самопересечениями. [1] Клини и Мёллер (2014) доказывают, что единственные полные гладкие вложенные поверхности вращения, которые остаются автомодельными при потоке средней кривизны, - это плоскости, цилиндры, сферы и топологические торы. Они предполагают более сильную гипотезу, что ангенентный тор - единственный тор с таким свойством. [4]
Приложения
Ангенентный тор можно использовать для доказательства существования некоторых других типов особенностей потока средней кривизны. Например, если поверхность в форме гантели , состоящая из тонкой цилиндрической «шейки», соединяющей два больших объема, может иметь шейку, окруженную непересекающимся ангенентным тором, то две поверхности вращения останутся не пересекающимися под действием потока средней кривизны до тех пор, пока одна из доходит до особенности; если концы гантели достаточно большие, это означает, что шея должна отщипнуть, отделяя две сферы друг от друга, прежде чем тор, окружающий шею, схлопнется. [1] [5]
Связанные фигуры
Любая форма, которая остается самоподобной, но сжимается под действием потока средней кривизны, образует древнее решение потока, которое можно экстраполировать назад на все времена. Однако обратное неверно. В той же статье, в которой он опубликовал тор Angenent, Angenent также описал овалы Angenent ; они не самоподобны, но это единственные простые замкнутые кривые на плоскости, отличные от круга, которые дают древние решения для потока, укорачивающего кривую . [1] [6]
Рекомендации
- ^ a b c d e Angenent, Sigurd B. (1992), "Shrinking donuts" (PDF) , Нелинейные уравнения диффузии и их состояния равновесия, 3 (Gregynog, 1989) , Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications, 7 , Boston , MA: Birkhäuser, стр. 21–38, MR 1167827 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ).
- ^ а б Хьюскен, Герхард (1990), "Асимптотика особенностей потока средней кривизны" , Журнал дифференциальной геометрии , 31 (1): 285–299, MR 1030675 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ).
- ^ Mantegazza, Carlo (2011), Конспект лекций о потоке средней кривизны , Progress in Mathematics, 290 , Basel: Birkhäuser / Springer, p. 14, DOI : 10.1007 / 978-3-0348-0145-4 , ISBN 978-3-0348-0144-7, Руководство по ремонту 2815949.
- ^ Клини, Стивен; Мёллер, Нильс Мартин (2014), «Самоусаживающиеся устройства с вращательной симметрией», Труды Американского математического общества , 366 (8): 3943–3963, arXiv : 1008.1609 , doi : 10.1090 / S0002-9947-2014-05721- 8 , MR 3206448.
- ^ Эккер, Клаус (2004), Теория регулярностей для потока средней кривизны , Прогресс в нелинейных дифференциальных уравнениях и их приложениях, 57, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser, с. 29, DOI : 10.1007 / 978-0-8176-8210-1 , ISBN 0-8176-3243-3, MR 2024995.
- ^ Даскалопулос, Панайота ; Гамильтон, Ричард ; Сезум, Натаса (2010), «Классификация компактных древних решений потока, укорачивающего кривую» , Журнал дифференциальной геометрии , 84 (3): 455–464, arXiv : 0806.1757 , Bibcode : 2008arXiv0806.1757D , MR 2669361.
Внешние ссылки
- Тор Ангенента , визуализация Донгсун Ли из UNIST Mathematical Sciences