Углы между квартирами

Понятие углов между линиями на плоскости и между парами из двух линий, двух плоскостей или линии и плоскости в пространстве может быть обобщено до произвольного измерения . Это обобщение впервые было обсуждено Джорданом . ^[1] Для любой пары квартир в евклидовом пространстве произвольной размерности можно определить набор взаимных углов, которые инвариантны относительно изометрического преобразования евклидова пространства. Если квартиры не пересекаются, их кратчайшее расстояние - еще один инвариант. ^[1] Эти углы называютсяканонический ^[2] или главный . ^[3] Концепция углов может быть обобщена на пары квартир в конечномерном внутреннем пространстве продукта над комплексными числами .

Определение Джордана [ править ]

Позвольте и быть квартирами измерений и в -мерном евклидовом пространстве . По определению, перевод из или не изменяет их взаимные углы. Если и не пересекаются, они будут делать это при любом переводе, который сопоставляет некоторую точку с некоторой точкой внутри . Поэтому без ограничения общности можно предположить, что и пересекаются.${\ displaystyle F}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle E ^ {n}}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle G}$

Джордан показывает, что декартовы координаты в затем могут быть определены так, что и описываются, соответственно, системами уравнений${\ displaystyle x_ {1}, \ dots, x _ {\ rho},}$ ${\ displaystyle y_ {1}, \ dots, y _ {\ sigma},}$ ${\ displaystyle z_ {1}, \ dots, z _ {\ tau},}$ ${\ displaystyle u_ {1}, \ dots, u _ {\ upsilon},}$ ${\ displaystyle v_ {1}, \ dots, v _ {\ alpha},}$ ${\displaystyle w_{1},\dots ,w_{\alpha }}$${\displaystyle E^{n}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle x_{1}=0,\dots ,x_{\rho }=0,}$

${\displaystyle u_{1}=0,\dots ,u_{\upsilon }=0,}$

${\displaystyle v_{1}=0,\dots ,v_{\alpha }=0}$

а также

${\displaystyle x_{1}=0,\dots ,x_{\rho }=0,}$

${\displaystyle z_{1}=0,\dots ,z_{\tau }=0,}$

${\displaystyle v_{1}\cos \theta _{1}+w_{1}\sin \theta _{1}=0,\dots ,v_{\alpha }\cos \theta _{\alpha }+w_{\alpha }\sin \theta _{\alpha }=0}$

с . Джордан называет эти координаты каноническими . По определению, углы - это углы между и .${\displaystyle 0<\theta _{i}<\pi /2,i=1,\dots ,\alpha }$${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$

Неотрицательные целые числа ограничены${\displaystyle \rho ,\sigma ,\tau ,\upsilon ,\alpha }$

${\displaystyle \rho +\sigma +\tau +\upsilon +2\alpha =n,}$

${\displaystyle \sigma +\tau +\alpha =k,}$

${\displaystyle \sigma +\upsilon +\alpha =\ell .}$

Чтобы эти уравнения полностью определяли пять неотрицательных целых чисел, помимо размеров и количества углов , необходимо указать неотрицательное целое число . Это количество координат , соответствующие оси которых полностью лежат в пределах и . Таким образом, целое число - это размерность . Набор углов может быть дополнен углами, чтобы указать, что он имеет этот размер.${\displaystyle n,k}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle F\cap G}$${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle F\cap G}$

Доказательство Джордана применяется по существу без изменений, когда его заменяют -мерным внутренним пространством произведения над комплексными числами. (Для углов между подпространствами обобщение к обсуждается Галантаи и Хегедешем в терминах нижеприведенной вариационной характеризации . ^[4] ) ^[1]${\displaystyle E^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Углы между подпространствами [ править ]

Пусть теперь и быть подпространства по - мерного внутреннего пространства продукта над вещественными или комплексными числами. Геометрически и являются плоскими, поэтому применимо определение взаимных углов, данное Джорданом. Если для любых канонических координат символа обозначает единичный вектор из оси, векторы образуют ортогональный базис для а векторы образуют ортогональный базис для , где${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle n}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle {\hat {\xi }}}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle {\hat {y}}_{1},\dots ,{\hat {y}}_{\sigma },}$ ${\displaystyle {\hat {w}}_{1},\dots ,{\hat {w}}_{\alpha },}$ ${\displaystyle {\hat {z}}_{1},\dots ,{\hat {z}}_{\tau }}$ ${\displaystyle F}$${\displaystyle {\hat {y}}_{1},\dots ,{\hat {y}}_{\sigma },}$ ${\displaystyle {\hat {w}}'_{1},\dots ,{\hat {w}}'_{\alpha },}$ ${\displaystyle {\hat {u}}_{1},\dots ,{\hat {u}}_{\upsilon }}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\hat {w}}'_{i}={\hat {w}}_{i}\cos \theta _{i}+{\hat {v}}_{i}\sin \theta _{i},\quad i=1,\dots ,\alpha .}$

Эти базовые векторы, относящиеся к каноническим координатам, можно назвать каноническими .

Когда обозначают канонические основные векторы для и канонические основные векторы , то скалярное произведение равно нулю для любой пары и , кроме следующих из них.${\displaystyle a_{i},i=1,\dots ,k}$${\displaystyle F}$${\displaystyle b_{i},i=1,\dots ,l}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \langle a_{i},b_{j}\rangle }$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\langle {\hat {y}}_{i},{\hat {y}}_{i}\rangle =1,&&i=1,\dots ,\sigma ,\\&\langle {\hat {w}}_{i},{\hat {w}}'_{i}\rangle =\cos \theta _{i},&&i=1,\dots ,\alpha .\end{aligned}}}$

Таким образом, при указанном выше порядке основных векторов матрица внутренних произведений диагональна . Другими словами, если и являются произвольными ортонормированными базисами в и тогда действительные, ортогональные или унитарные преобразования из базиса в базис и из базиса в базис осуществляют разложение по сингулярным значениям матрицы скалярных произведений . Элементы диагональной матрицы являются сингулярными значениями последней матрицы. В силу единственности разложения по сингулярным числам векторы${\displaystyle \langle a_{i},b_{j}\rangle }$${\displaystyle (a'_{i},i=1,\dots ,k)}$${\displaystyle (b'_{i},i=1,\dots ,\ell )}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (a'_{i})}$${\displaystyle (a_{i})}$${\displaystyle (b'_{i})}$${\displaystyle (b_{i})}$${\displaystyle \langle a'_{i},b'_{j}\rangle }$${\displaystyle \langle a_{i},b_{i}\rangle }$${\displaystyle {\hat {y}}_{i}}$тогда уникальны с точностью до действительного, ортогонального или унитарного преобразования между ними, а векторы и (и, следовательно, ) уникальны с точностью до равных действительных, ортогональных или унитарных преобразований, применяемых одновременно к наборам векторов, связанных с общим значением и для соответствующие наборы векторов (и, следовательно, соответствующие наборы ).${\displaystyle {\hat {w}}_{i}}$${\displaystyle {\hat {w}}'_{i}}$${\displaystyle {\hat {v}}_{i}}$${\displaystyle {\hat {w}}_{i}}$${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle {\hat {w}}'_{i}}$${\displaystyle {\hat {v}}_{i}}$

Особое значение можно интерпретировать как соответствующее углам, введенным выше и связанным с, а сингулярное значение можно интерпретировать как соответствующее прямым углам между ортогональными пространствами и , где верхний индекс обозначает ортогональное дополнение .${\displaystyle 1}$${\displaystyle \cos \,0}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle F\cap G}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \cos \pi /2}$${\displaystyle F\cap G^{\bot }}$${\displaystyle F^{\bot }\cap G}$${\displaystyle \bot }$

Вариационная характеристика [ править ]

Вариационная характеристика сингулярных значений и векторов вытекает как частный случай вариационной характеристики углов между подпространствами и связанными с ними каноническими векторами. Эта характеристика включает углы и введенные выше, а также упорядочивает углы по возрастанию. Ему можно придать форму альтернативного определения, приведенного ниже. В этом контексте принято говорить о главных углах и векторах. ^[3]${\displaystyle 0}$${\displaystyle \pi /2}$

Определение [ править ]

Позвольте быть внутренним пространством продукта. Для двух подпространств с существует последовательность углов, называемых главными углами, первый из которых определяется как${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathcal {U}},{\mathcal {W}}}$${\displaystyle \dim({\mathcal {U}})=k\leq \dim({\mathcal {W}}):=\ell }$${\displaystyle k}$${\displaystyle 0\leq \theta _{1}\leq \theta _{2}\leq \cdots \leq \theta _{k}\leq \pi /2}$

${\displaystyle \theta _{1}:=\min \left\{\arccos \left(\left.{\frac {|\langle u,w\rangle |}{\|u\|\|w\|}}\right)\,\right|\,u\in {\mathcal {U}},w\in {\mathcal {W}}\right\}=\angle (u_{1},w_{1}),}$

где - внутреннее произведение и индуцированная норма . Векторы и - соответствующие главные векторы.${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle u_{1}}$${\displaystyle w_{1}}$

Остальные главные углы и векторы затем определяются рекурсивно через

${\displaystyle \theta _{i}:=\min \left\{\left.\arccos \left({\frac {|\langle u,w\rangle |}{\|u\|\|w\|}}\right)\,\right|\,u\in {\mathcal {U}},~w\in {\mathcal {W}},~u\perp u_{j},~w\perp w_{j}\quad \forall j\in \{1,\ldots ,i-1\}\right\}.}$

Это означает, что главные углы образуют набор минимизированных углов между двумя подпространствами, а главные векторы в каждом подпространстве ортогональны друг другу.${\displaystyle (\theta _{1},\ldots ,\theta _{k})}$

Примеры [ править ]

Геометрический пример [ править ]

Геометрически подпространства - это плоскости (точки, линии, плоскости и т. Д.), Которые включают начало координат, таким образом, любые два подпространства пересекаются, по крайней мере, в начале координат. Два двумерных подпространства и образуют набор из двух углов. В трехмерном евклидовом пространстве подпространства и либо идентичны, либо их пересечение образует линию. В первом случае оба . Только в последнем случае, когда векторы и находятся на линии пересечения и имеют одинаковое направление. Угол будет углом между подпространствами и в ортогональном дополнении к${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle {\mathcal {W}}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle {\mathcal {W}}}$${\displaystyle \theta _{1}=\theta _{2}=0}$${\displaystyle \theta _{1}=0}$${\displaystyle u_{1}}$${\displaystyle w_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}\cap {\mathcal {W}}}$${\displaystyle \theta _{2}>0}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle {\mathcal {W}}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}\cap {\mathcal {W}}}$. Воображая угол между двумя плоскостями в 3D, один интуитивно думает о величине угла, .${\displaystyle \theta _{2}>0}$

Алгебраический пример [ править ]

Пусть в 4-мерном вещественном координатном пространстве R ⁴ двумерное подпространство натянуто на и , а двумерное подпространство натянуто на и с некоторыми действительными и такими, что . Тогда и являются, по сути, парой главных векторов, соответствующих углу с , а и - главные векторы, соответствующие углу с${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle u_{1}=(1,0,0,0)}$${\displaystyle u_{2}=(0,1,0,0)}$${\displaystyle {\mathcal {W}}}$${\displaystyle w_{1}=(1,0,0,a)/{\sqrt {1+a^{2}}}}$${\displaystyle w_{2}=(0,1,b,0)/{\sqrt {1+b^{2}}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle |a|<|b|}$${\displaystyle u_{1}}$${\displaystyle w_{1}}$${\displaystyle \theta _{1}}$${\displaystyle \cos(\theta _{1})=1/{\sqrt {1+a^{2}}}}$${\displaystyle u_{2}}$${\displaystyle w_{2}}$${\displaystyle \theta _{2}}$${\displaystyle \cos(\theta _{2})=1/{\sqrt {1+b^{2}}}.}$

Чтобы построить пару подпространств с любым заданным набором углов в (или большем) размерном евклидовом пространстве , возьмите подпространство с ортонормированным базисом и дополните его до ортонормированного базиса евклидова пространства, где . Тогда ортонормированный базис другого подпространства есть, например,${\displaystyle k}$${\displaystyle \theta _{1},\ldots ,\theta _{k}}$${\displaystyle 2k}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{k})}$${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}$${\displaystyle n\geq 2k}$${\displaystyle {\mathcal {W}}}$

${\displaystyle (\cos(\theta _{1})e_{1}+\sin(\theta _{1})e_{k+1},\ldots ,\cos(\theta _{k})e_{k}+\sin(\theta _{k})e_{2k}).}$

Основные свойства [ править ]

• Если наибольший угол равен нулю, одно подпространство является подмножеством другого.
• Если наибольший угол равен , то есть по крайней мере один вектор в одном подпространстве, перпендикулярном другому подпространству.${\displaystyle \pi /2}$
• Если наименьший угол равен нулю, подпространства пересекаются, по крайней мере, по прямой.
• Если наименьший угол равен , подпространства ортогональны.${\displaystyle \pi /2}$
• Число углов, равное нулю, - это размерность пространства, в котором пересекаются два подпространства.

Дополнительные свойства [ править ]

• Нетривиальные (отличные от и ^[5] ) углы между двумя подпространствами такие же, как нетривиальные углы между их ортогональными дополнениями. ^{[6] [7]}${\displaystyle 0}$${\displaystyle \pi /2}$
• Нетривиальные углы между подпространствами и и соответствующие нетривиальные углы между подпространствами и суммируются до . ^{[6] [7]}${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle {\mathcal {W}}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle {\mathcal {W}}^{\perp }}$${\displaystyle \pi /2}$
• Углы между подпространствами удовлетворяют неравенству треугольника с точки зрения мажорирования и, таким образом, могут использоваться для определения расстояния на множестве всех подпространств, превращающих множество в метрическое пространство . ^[8]
• Синус углов между подпространствами удовлетворяет неравенство треугольника с точкой зрения мажоризации и , таким образом , может быть использован для определения расстояния на множестве всех подпространств токарного множество в метрическое пространство . ^[6] Например, синус наибольшего угла известен как промежуток между подпространствами . ^[9]

Расширения [ править ]

Понятие углов и некоторых вариационных свойств может быть естественным образом распространено на произвольные скалярные произведения ^[10] и подпространства с бесконечной размерностью . ^[7]

Вычисление [ править ]

Исторически сложилось так, что главные углы и векторы сначала появляются в контексте канонической корреляции и первоначально были вычислены с использованием SVD соответствующих ковариационных матриц. Однако, как первый заметил в, ^[3] каноническая корреляция связана с косинус главных углов, который плохо обусловленных при малых углах, что приводит к очень неточному расчету сильно коррелированных основных векторов в конечной точности компьютерной арифметики . Синусоидальное основанное алгоритм ^[3]устраняет эту проблему, но создает новую проблему очень неточного вычисления сильно некоррелированных главных векторов, поскольку синусоидальная функция плохо обусловлена для углов, близких к π / 2. Чтобы получить точные главные векторы в компьютерной арифметике для всего диапазона главных углов, комбинированный метод ^[10] сначала вычисляет все главные углы и векторы, используя классический подход на основе косинуса , а затем повторно вычисляет главные углы, меньшие, чем π / 4 и соответствующие главные векторы с использованием синуса основанного подход. ^[3] Комбинированная техника ^[10]реализован в библиотеках с открытым исходным кодом Octave ^[11] и SciPy ^[12] и внесен в MATLAB ^[13] и ^[14] .

См. Также [ править ]

• Разложение по сингулярным числам
• Каноническая корреляция

Ссылки [ править ]