Анизотропная диффузия

В обработке изображений и компьютерного зрения , анизотропной диффузии , также называемый Перона-Малика диффузии , является метод , направленный на снижение шума изображения без удаления значительной части содержания изображения, как правило , края, линии или другие детали, которые важны для интерпретации изображения . ^[1]^[2]^[3] Анизотропная диффузия напоминает процесс, который создает масштабное пространство , где изображение генерирует параметризованное семейство последовательно все более и более размытых изображений на основе процесса диффузии . Каждое из результирующих изображений в этом семействе дано в виде сверткимежду изображением и двумерным изотропным гауссовым фильтром , где ширина фильтра увеличивается с параметром. Этот процесс распространения представляет собой линейное и пространственно-инвариантное преобразование исходного изображения. Анизотропная диффузия является обобщением этого процесса диффузии: она создает семейство параметризованных изображений, но каждое результирующее изображение представляет собой комбинацию исходного изображения и фильтра, который зависит от локального содержания исходного изображения. Как следствие, анизотропная диффузия является нелинейным и пространственно-вариант преобразования исходного изображения.

В своей первоначальной формулировке, представленной Пероной и Маликом в 1987 году ^[1], пространственно-вариантный фильтр на самом деле изотропен, но зависит от содержания изображения, так что он аппроксимирует импульсную функцию вблизи краев и других структур, которые должны сохраняться в изображение на разных уровнях результирующего масштабного пространства . Эта формулировка была названа Пероной и Маликом анизотропной диффузией , хотя локально адаптированный фильтр изотропен, но ее также называют неоднородной и нелинейной диффузией ^[4] или диффузией Перона-Малика ^[5].другими авторами. Более общая формулировка позволяет локально адаптированному фильтру быть действительно анизотропным, близким к линейным структурам, таким как края или линии: он имеет ориентацию, заданную структурой, так что он вытянут вдоль структуры и сужен в поперечнике. Такие методы называются сглаживанием, адаптированным к форме ^[6]^[7], или диффузией, улучшающей когерентность . ^[8] Как следствие, полученные изображения сохраняют линейные структуры, в то же время сглаживание выполняется вдоль этих структур. Оба эти случая могут быть описаны с помощью обобщения обычного уравнения диффузии, где коэффициент диффузии, вместо того, чтобы быть постоянным скаляром, является функцией положения изображения и предполагает матрицу(или тензорное ) значение (см. структурный тензор ).

Хотя результирующее семейство изображений можно описать как комбинацию исходного изображения и пространственно-изменяющихся фильтров, на практике нет необходимости реализовывать локально адаптированный фильтр и его комбинацию с изображением. Анизотропная диффузия обычно реализуется посредством аппроксимации обобщенного уравнения диффузии: каждое новое изображение в семействе вычисляется путем применения этого уравнения к предыдущему изображению. Следовательно, анизотропная диффузия - это итеративный процесс, в котором для вычисления каждого последующего изображения в семействе используется относительно простой набор вычислений, и этот процесс продолжается до тех пор, пока не будет получена достаточная степень сглаживания.

Формальное определение [ править ]

Формально, пусть обозначает подмножество плоскости и семейство изображений в градациях серого. это входное изображение. Тогда анизотропная диффузия определяется как ${\ Displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle I (\ cdot, t): \ Omega \ rightarrow \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle I (\ cdot, 0)}$

{\frac {\partial I}{\partial t}}=\mathrm {div} \left(c(x,y,t)\nabla I\right)=\nabla c\cdot \nabla I+c(x,y,t)\Delta I

где обозначает лапласиан , обозначает градиент , - оператор дивергенции и - коэффициент диффузии. $\Delta$ $\nabla$ $\mathrm {div} (\dots )$ $c(x,y,t)$

Для выходное изображение доступно как , при увеличении размера изображения получаются более размытыми. $t>0$ $I(\cdot ,t)$ $t$

$c(x,y,t)$ контролирует скорость распространения и обычно выбирается в зависимости от градиента изображения, чтобы сохранить края в изображении. Пьетро Перона и Джитендра Малик впервые предложили идею анизотропной диффузии в 1990 году и предложили две функции для коэффициента диффузии:

c\left(\|\nabla I\|\right)=e^{-\left(\|\nabla I\|/K\right)^{2}}

и

c\left(\|\nabla I\|\right)={\frac {1}{1+\left({\frac {\|\nabla I\|}{K}}\right)^{2}}}

константа K контролирует чувствительность к краям и обычно выбирается экспериментально или в зависимости от шума в изображении.

Мотивация [ править ]

Пусть обозначает многообразие гладких изображений, тогда представленные выше уравнения диффузии можно интерпретировать как уравнения градиентного спуска для минимизации функционала энергии, определяемого формулой $M$ $E:M\rightarrow \mathbb {R}$

E[I]={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }g\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\,dx

где - вещественная функция, которая тесно связана с коэффициентом диффузии. Тогда для любой финитной бесконечно дифференцируемой функции тестирования , $g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ $h$

{\begin{aligned}\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}E[I+th]&={\frac {d}{dt}}{\big |}_{t=0}{\frac {1}{2}}\int _{\Omega }g\left(\|\nabla (I+th)(x)\|^{2}\right)\,dx\\&=\int _{\Omega }g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I\cdot \nabla h\,dx\\&=-\int _{\Omega }\mathrm {div} (g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I)h\,dx\end{aligned}}

где последняя строка следует из многомерного интегрирования по частям. Позволить обозначает градиент Е относительно внутреннего продукта , измеренного при I, это дает $\nabla E_{I}$ $L^{2}(\Omega ,\mathbb {R} )$

\nabla E_{I}=-\mathrm {div} (g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I)

Следовательно, уравнения градиентного спуска на функционале E имеют вид

{\frac {\partial I}{\partial t}}=-\nabla E_{I}=\mathrm {div} (g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I)

Таким образом, позволяя получить уравнения анизотропной диффузии. $c=g'$

Проблема некорректности [ править ]

Коэффициент диффузии , предложенный Пероной и Маликом, может иметь отрицательное значение, когда . Отсюда система ограничена одномерностью для простоты. Если функция потока определяется как , где и , то $c(x,y,t)$ $\parallel \nabla I\parallel ^{2}>K^{2}$ $\Phi (s):=g(|s|^{2})s$ $s=\nabla I(x,t)$ $g(|s|^{2})={1 \over 1+s^{2}/K^{2}}$

Уравнение Перона-Малика может быть переписано на основе функции потока следующим образом:

$\partial _{t}I=\nabla \cdot \Phi (s)=\partial _{x}(\Phi (\partial _{x}I))=\Phi '(\partial _{x}I)\partial _{xx}I$ . Здесь обозначаются первой производной времени, позиции и второй производной позиции соответственно. $\partial _{t},\partial _{x},\partial _{xx}$

Теперь ясно, что это играет роль в коэффициенте диффузии линейного уравнения теплопроводности. Подсчитав , $\Phi '(\partial _{x}I)$ $\Phi '(\partial _{x}I)$

$\Phi '(\partial _{x}I)={\partial \over \partial s}{\biggl (}{s \over 1+s^{2}/K^{2}}{\biggr )}={1-s^{2}/K^{2} \over 1+s^{2}/K^{2}}$ .

Если коэффициент диффузии становится отрицательным, это приводит к обратной диффузии, которая усиливает контрасты интенсивности изображения, а не сглаживает их при обработке изображения. $1-s^{2}/K^{2}<0$

С теоретической точки зрения обратная диффузия не только физически неестественна, но также дает численно нестабильные решения, которые очень чувствительны к параметру ( ). Кроме того, известно, что обратная диффузия имеет множество решений, и это называется проблемой некорректности. $K$

Чтобы избежать этой проблемы, необходима регуляризация, и люди показали, что пространственная регуляризация приводит к конвергентному и постоянному стационарному решению. ^[9]

Регуляризация [ править ]

Модифицированная модель Перона-Малика ^[10] (также известная как регуляризация уравнения PM) будет обсуждаться в этом разделе. В этом подходе неизвестное сворачивается с гауссианом внутри нелинейности, чтобы получить модифицированное уравнение Перона-Малика

{\frac {\partial I}{\partial t}}=\mathrm {div} \left(c(|DG_{\sigma }*I|)\nabla I\right)

Где . $G_{\sigma }=C{\sigma }^{-\left(1/2\right)}\exp \left(-|x|^{2}/4{\sigma }\right)$

Корректность уравнения может быть достигнута за счет регуляризации, но это также приводит к эффекту размытия, который является основным недостатком регуляризации. Требуется предварительное знание уровня шума, поскольку от него зависит выбор параметра регуляризации.

Приложения [ править ]

Анизотропная диффузия может использоваться для удаления шума с цифровых изображений без размытия краев. При постоянном коэффициенте диффузии уравнения анизотропной диффузии сводятся к уравнению теплопроводности, которое эквивалентно размытию по Гауссу. Это идеально подходит для удаления шума, но также позволяет без разбора размывать края. Когда коэффициент диффузии выбран в качестве функции поиска края, например, в Perona-Malik, результирующие уравнения стимулируют диффузию (следовательно, сглаживание) внутри областей и запрещают ее через сильные края. Следовательно, края могут быть сохранены при удалении шума из изображения.

Так же, как и удаление шума, в алгоритмах обнаружения краев можно использовать анизотропную диффузию. Запуская диффузию с коэффициентом диффузии для поиска краев в течение определенного количества итераций, изображение может быть преобразовано в кусочно-постоянное изображение с границами между постоянными компонентами, определяемыми как края.

См. Также [ править ]

Двусторонний фильтр
Обнаружение края
Сглаживание с сохранением кромок
Уравнение тепла
Шум изображения
Подавление шума
Масштабировать пространство
Полное изменение шумоподавления
Ограниченная вариация

Ссылки [ править ]

^ a b Пьетро Перона и Джитендра Малик (ноябрь 1987 г.). «Масштабное пространство и обнаружение краев с использованием анизотропной диффузии». Труды семинара IEEE Computer Society по компьютерному зрению . С. 16–22.
↑ Пьетро Перона и Джитендра Малик (июль 1990 г.). «Масштабное пространство и обнаружение краев с использованием анизотропной диффузии» (PDF) . IEEE Transactions по анализу шаблонов и машинному анализу . 12 (7): 629–639. DOI : 10.1109 / 34.56205 .
^ Гильермо Сапиро (2001). Геометрические уравнения в частных производных и анализ изображений . Издательство Кембриджского университета. п. 223. ISBN 978-0-521-79075-8.
^ Joachim Weickert (июль 1997). "Обзор нелинейной диффузионной фильтрации". Теория масштабного пространства в компьютерном зрении . Springer, LNCS 1252. pp. 1–28. DOI : 10.1007 / 3-540-63167-4 .
^ Бернд Jähne и Хорст Haußecker (2000). Компьютерное зрение и приложения, Руководство для студентов и практиков . Академическая пресса. ISBN 978-0-13-085198-7.
^ Линдеберг, Т., Теория масштабного пространства в компьютерном зрении, Kluwer Academic Publishers, 1994 , ISBN 0-7923-9418-6 , (глава 15).
^ Андрес Альманса и Тони Линдеберг (2000). «Улучшение отпечатка пальца путем адаптации формы операторов масштаба-пространства с автоматическим выбором масштаба» . IEEE Transactions по обработке изображений . 9 (12): 2027–2042. Bibcode : 2000ITIP .... 9.2027L . DOI : 10.1109 / 83.887971 . PMID 18262941 .
^ Вейкерт, Дж. Анизотропная диффузия в обработке изображений, Teuber Verlag, Штутгарт, 1998.
^ Weickert, Иоахим. «Обзор нелинейной диффузионной фильтрации». Международная конференция по теории масштабного пространства в компьютерном зрении. Шпрингер, Берлин, Гейдельберг, 1997 г.
^ Гвидотти, P Некоторые анизотропная DIFFUSIONS, 2009.

Внешние ссылки [ править ]

Функция Mathematica PeronaMalikFilter .
Пакет нелинейной анизотропной диффузии IDL (усиление границ и усиление когерентности): [1]

[Perona-Malik-1987-1] Пьетро Перона и Джитендра Малик (ноябрь 1987 г.). «Масштабное пространство и обнаружение краев с использованием анизотропной диффузии». Труды семинара IEEE Computer Society по компьютерному зрению . С. 16–22.

[Perona-Malik-1990-2] Пьетро Перона и Джитендра Малик (июль 1990 г.). «Масштабное пространство и обнаружение краев с использованием анизотропной диффузии» (PDF) . IEEE Transactions по анализу шаблонов и машинному анализу . 12 (7): 629–639. DOI : 10.1109 / 34.56205 .

[Sapiro-2001-3] Гильермо Сапиро (2001). Геометрические уравнения в частных производных и анализ изображений . Издательство Кембриджского университета. п. 223. ISBN 978-0-521-79075-8.

[Weickert-review-4] Joachim Weickert (июль 1997). "Обзор нелинейной диффузионной фильтрации". Теория масштабного пространства в компьютерном зрении . Springer, LNCS 1252. pp. 1–28. DOI : 10.1007 / 3-540-63167-4 .

[Jähne-Haußecker-2000-5] Бернд Jähne и Хорст Haußecker (2000). Компьютерное зрение и приложения, Руководство для студентов и практиков . Академическая пресса. ISBN 978-0-13-085198-7.

[lin94-6] Линдеберг, Т., Теория масштабного пространства в компьютерном зрении, Kluwer Academic Publishers, 1994 , ISBN 0-7923-9418-6 , (глава 15).

[AlmLin00-7] Андрес Альманса и Тони Линдеберг (2000). «Улучшение отпечатка пальца путем адаптации формы операторов масштаба-пространства с автоматическим выбором масштаба» . IEEE Transactions по обработке изображений . 9 (12): 2027–2042. Bibcode : 2000ITIP .... 9.2027L . DOI : 10.1109 / 83.887971 . PMID 18262941 .

[Weickert-1998-8] Вейкерт, Дж. Анизотропная диффузия в обработке изображений, Teuber Verlag, Штутгарт, 1998.

[Weickert,Joachim-1997-9] Weickert, Иоахим. «Обзор нелинейной диффузионной фильтрации». Международная конференция по теории масштабного пространства в компьютерном зрении. Шпрингер, Берлин, Гейдельберг, 1997 г.

[Guidotti-2009-10] Гвидотти, P Некоторые анизотропная DIFFUSIONS, 2009.

[1]