Базовый номер репродукции

Корни базовой концепции воспроизводства можно проследить через работы Рональда Росса , Альфреда Лотки и других ^[26], но первое современное применение этой концепции в эпидемиологии было сделано Джорджем Макдональдом в 1952 г. ^[27], который построил популяционные модели распространения вируса. малярия . В своей работе он назвал количественную базовую скорость воспроизводства и обозначил ее как${\ displaystyle Z_ {0}}$. Обозначение величины ставкой может ввести в заблуждение, поскольку в таком случае «ставка» может быть неверно интерпретирована как число в единицу времени. «Число» или «соотношение» теперь предпочтительнее.

Частота контактов и инфекционный период

${\ displaystyle R_ {0}}$это среднее количество людей, инфицированных от одного человека. Например, у Эболы есть ${\ displaystyle R_ {0}}$ из двух, поэтому в среднем человек, болеющий Эболой, передаст его двум другим людям.

Предположим, что инфекционные особи в среднем имеют ${\ displaystyle \ beta}$ инфицированных контактов в единицу времени, со средним инфекционным периодом ${\ Displaystyle \ тау}$. Тогда основной номер репродукции:

$${\ Displaystyle R_ {0} = \ бета \, \ тау}$$

${\ displaystyle R_ {0}}$

${\ displaystyle \ beta}$

${\ Displaystyle R_ {0} = {\ overline {c}} \, T \, \ tau,}$

где ${\ displaystyle {\ overline {c}}}$ скорость контактов между восприимчивыми и инфицированными людьми и ${\ displaystyle T}$- это передаваемость, т. е. вероятность заражения при контакте. Также возможно уменьшение инфекционного периода.${\ Displaystyle \ тау}$ путем обнаружения, а затем изоляции, лечения или уничтожения (как это часто бывает с животными) инфекционных лиц в кратчайшие сроки.

С разными латентными периодами

Латентный период - это время перехода между событием заражения и проявлением болезни. В случае заболеваний с различными латентными периодами базовое число воспроизводств можно рассчитать как сумму чисел воспроизводства для каждого времени перехода в болезнь. Примером этого является туберкулез (ТБ). Блауэр и соавторы вычислили на простой модели TB следующее репродуктивное число: ^[29]

$${\ displaystyle R_ {0} = R_ {0} ^ {\ text {FAST}} + R_ {0} ^ {\ text {SLOW}}}$$

Гетерогенные популяции

В неоднородных популяциях определение ${\ displaystyle R_ {0}}$более тонкий. Определение должно учитывать тот факт, что типичный инфицированный человек может не быть обычным человеком. В качестве крайнего примера рассмотрим популяцию, в которой небольшая часть особей полностью смешивается друг с другом, в то время как остальные особи все изолированы. Заболевание может распространяться в полностью смешанной части, даже если случайным образом выбранный человек приведет к менее чем одному вторичному случаю. Это связано с тем, что типичный инфицированный человек находится в полностью смешанной части и, таким образом, может успешно вызывать инфекции. В целом, если люди, инфицированные на ранней стадии эпидемии, в среднем либо более, либо менее вероятно передают инфекцию, чем люди, инфицированные на поздних этапах эпидемии, то вычисление${\ displaystyle R_ {0}}$необходимо учитывать эту разницу. Подходящее определение для${\ displaystyle R_ {0}}$в данном случае - это «ожидаемое количество вторичных случаев, произведенных в полностью восприимчивой популяции, у типичного инфицированного человека». ^[31]

Базовое число репродуктивных может быть вычислено как отношение известных показателей с течением времени: если заразный индивидуум контактирует с ${\ displaystyle \ beta}$ других людей в единицу времени, если предполагается, что все эти люди заразились болезнью, и если болезнь имеет средний инфекционный период ${\ displaystyle {\ dfrac {1} {\ gamma}}}$, то базовое число репродукций просто ${\ Displaystyle R_ {0} = {\ dfrac {\ beta} {\ gamma}}}$. Некоторые заболевания имеют несколько возможных латентных периодов, и в этом случае число воспроизводств для болезни в целом является суммой числа воспроизводств для каждого времени перехода в болезнь. Например, Blower et al. ^[29] моделируют две формы туберкулезной инфекции: в быстром случае симптомы проявляются сразу после заражения; в медленном случае симптомы развиваются через годы после первоначального воздействия (эндогенная реактивация). Общее число воспроизводимых - это сумма двух форм сокращения:${\ displaystyle R_ {0} = R_ {0} ^ {FAST} + R_ {0} ^ {SLOW}}$.

Базовое число репродуктивных может быть оценено путем изучения детальных цепочек передачи или путем геномного секвенирования . Однако чаще всего он рассчитывается с использованием эпидемиологических моделей. ^[32] Во время эпидемии обычно количество диагностированных инфекций${\ Displaystyle N (т)}$ со временем ${\ displaystyle t}$известен. На ранних стадиях эпидемии рост является экспоненциальным, с логарифмической скоростью роста.

$${\ displaystyle K: = {\ frac {d \ ln (N)} {dt}}.}$$

${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle R_ {0}}$

При экспоненциальном росте ${\ displaystyle K}$связано со временем удвоения ${\ displaystyle T_ {d}}$ в виде

$${\ displaystyle K = {\ frac {\ ln (2)} {T_ {d}}}.}$$

Простая модель

Если человек после заражения заражает именно ${\ displaystyle R_ {0}}$ новые люди только спустя ровно время ${\ Displaystyle \ тау}$ (серийный интервал) прошел, то количество инфекционных особей с течением времени растет по мере того, как

$${\ displaystyle n_ {E} (t) = n_ {E} (0) \, R_ {0} ^ {t / \ tau} = n_ {E} (0) \, e ^ {Kt}}$$

$${\ displaystyle \ ln (n_ {E} (t)) = \ ln (n_ {E} (0)) + \ ln (R_ {0}) t / \ tau.}$$

$${\ displaystyle {\ frac {dn_ {E} (t)} {dt}} = n_ {E} (t) {\ frac {\ ln (R_ {0})} {\ tau}}.}$$

$${\ displaystyle {\ frac {d \ ln (n_ {E} (t))} {dt}} = {\ frac {\ ln (R_ {0})} {\ tau}}.}$$

${\ Displaystyle R_ {0} = е ^ {К \ тау}}$

${\ Displaystyle К = {\ гидроразрыва {\ ln R_ {0}} {\ tau}}}$

Например, с ${\ Displaystyle \ тау = 5 ~ \ mathrm {d}}$ а также ${\ Displaystyle К = 0,183 ~ \ mathrm {d} ^ {- 1}}$, мы бы нашли ${\ displaystyle R_ {0} = 2,5}$.

Если ${\ displaystyle R_ {0}}$ зависит от времени

$${\ displaystyle \ ln (n_ {E} (t)) = \ ln (n_ {E} (0)) + {\ frac {1} {\ tau}} \ int \ limits _ {0} ^ {t} \ ln (R_ {0} (t)) dt}$$

${\ Displaystyle \ ln (R_ {0})}$

Скрытый инфекционный период, изоляция после постановки диагноза

В этой модели индивидуальное заражение имеет следующие стадии:

1. Выявлено: человек инфицирован, но не имеет симптомов и еще не заражает других. Средняя продолжительность экспонированного состояния составляет${\ displaystyle \ tau _ {E}}$.
2. Скрытая инфекция: человек инфицирован, не имеет симптомов, но заражает других. Средняя продолжительность скрытого инфекционного состояния составляет${\ displaystyle \ tau _ {I}}$. Человек заражает${\ displaystyle R_ {0}}$ другие лица в этот период.
3. изоляция после постановки диагноза: принимаются меры для предотвращения дальнейших инфекций, например, путем изоляции инфицированного человека.

Это модель SEIR и${\ displaystyle R_ {0}}$можно записать в следующем виде ^[33]

$${\ displaystyle R_ {0} = 1 + K (\ tau _ {E} + \ tau _ {I}) + K ^ {2} \ tau _ {E} \ tau _ {I}.}$$

${\ displaystyle n_ {E}}$

${\ displaystyle n_ {I}}$

$${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} {\ begin {pmatrix} n_ {E} \\ n_ {I} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} -1 / \ tau _ {E } & R_ {0} / \ tau _ {I} \\ 1 / \ tau _ {E} & - 1 / \ tau _ {I} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} n_ {E} \\ n_ {I} \ end {pmatrix}}.}$$

${\ displaystyle K}$

${\ displaystyle R_ {0}}$

В частном случае ${\ displaystyle \ tau _ {I} = 0}$, эта модель приводит к ${\ Displaystyle R_ {0} = 1 + К \ тау _ {E}}$, которая отличается от простой модели выше (${\ Displaystyle R_ {0} = \ ехр (К \ тау _ {E})}$). Например, с одинаковыми значениями${\ Displaystyle \ тау = 5 ~ \ mathrm {d}}$ а также ${\ Displaystyle К = 0,183 ~ \ mathrm {d} ^ {- 1}}$, мы бы нашли ${\ displaystyle R_ {0} = 1,9}$, а не истинное значение ${\ displaystyle 2.5}$. Разница объясняется незначительной разницей в базовой модели роста; приведенное выше матричное уравнение предполагает, что недавно инфицированные пациенты уже вносят свой вклад в инфекции, в то время как на самом деле инфекции возникают только из-за числа инфицированных в${\ displaystyle \ tau _ {E}}$тому назад. Более правильный подход потребует использования дифференциальных уравнений с запаздыванием . ^[34]

В действительности различные доли населения в любой момент времени обладают иммунитетом к какой-либо болезни. Чтобы учесть это, эффективное число репродукций ${\ displaystyle R_ {e}}$ используется, обычно записывается как ${\ displaystyle R_ {t}}$, или среднее количество новых инфекций, вызванных одним инфицированным человеком в момент времени t в частично восприимчивой популяции. Его можно найти, умножив${\ displaystyle R_ {0}}$долей S восприимчивого населения. Когда доля иммунной популяции увеличивается (т. Е. Чувствительная популяция S уменьшается) настолько, что${\ displaystyle R_ {e}}$опускается ниже 1, достигнут «коллективный иммунитет », и количество случаев заболевания в популяции будет постепенно уменьшаться до нуля. ^{[35] [36] [37]}

Использование ${\ displaystyle R_ {0}}$ в популярной прессе привело к недопониманию и искажению его смысла. ${\ displaystyle R_ {0}}$можно рассчитать с помощью множества различных математических моделей . Каждый из них может дать различную оценку${\ displaystyle R_ {0}}$, который необходимо интерпретировать в контексте этой модели. Следовательно, заразность различных возбудителей инфекций невозможно сравнивать без пересчета.${\ displaystyle R_ {0}}$ с инвариантными предположениями. ${\ displaystyle R_ {0}}$значения для прошлых вспышек могут быть недействительными для текущих вспышек того же заболевания. Вообще говоря,${\ displaystyle R_ {0}}$ может использоваться как порог, даже если рассчитывается разными методами: если ${\ displaystyle R_ {0} <1}$, вспышка погаснет, и если ${\ displaystyle R_ {0}> 1}$, вспышка будет расширяться. В некоторых случаях для некоторых моделей значения${\ displaystyle R_ {0} <1}$все еще может приводить к самовоспроизводящимся вспышкам. Это особенно проблематично, если между хозяевами существуют промежуточные переносчики, такие как малярия . ^[38] Таким образом, сравнения значений из "Значения${\ displaystyle R_ {0}}$ Таблицу общеизвестных инфекционных болезней »следует вести с осторожностью.

Хотя ${\ displaystyle R_ {0}}$не может быть изменен путем вакцинации или других изменений в восприимчивости населения, он может варьироваться в зависимости от ряда биологических, социально-поведенческих и экологических факторов. ^[24] Это также может быть изменено путем физического дистанцирования и других государственных или социальных вмешательств, ^{[39] [24],} хотя некоторые исторические определения исключают любое преднамеренное вмешательство в снижение передачи заболевания, включая нефармакологические вмешательства. ^[20] И действительно, включены ли нефармакологические вмешательства в${\ displaystyle R_ {0}}$часто зависит от бумаги, болезни и того, что, если какое-либо вмешательство изучается. ^[24] Это создает некоторую путаницу, потому что${\ displaystyle R_ {0}}$не является константой; тогда как большинство математических параметров с нулевыми индексами являются константами.

${\ displaystyle R}$зависит от многих факторов, многие из которых необходимо оценить. Каждый из этих факторов увеличивает неопределенность в оценках${\ displaystyle R}$. Многие из этих факторов не важны для информирования государственной политики. Следовательно, государственная политика может быть лучше обслужена метриками, аналогичными${\ displaystyle R}$, но которые проще оценить, например, время удвоения или период полураспада (${\ displaystyle t_ {1/2}}$). ^{[40] [41]}

Методы, используемые для расчета ${\ displaystyle R_ {0}}$включает в себя функцию выживания , переставив наибольшее собственное значение из матрицы Якоби , метод следующего поколения, ^[42] расчеты с внутренней скорости роста, ^[43] существование эндемического равновесия, число восприимчивых в эндемическом равновесии, средние возраст инфекции ^[44] и окончательное уравнение размера. Некоторые из этих методов согласуются друг с другом, даже если исходить из одной и той же системы дифференциальных уравнений . ^[38] Еще меньше людей фактически подсчитывают среднее количество вторичных инфекций. С${\ displaystyle R_ {0}}$редко наблюдается в полевых условиях и обычно рассчитывается с помощью математической модели, что сильно ограничивает его полезность. ^[45]

В вымышленном триллере о медицинских катастрофах в фильме « Заражение» 2011 г.${\ displaystyle R_ {0}}$представлены, чтобы отразить прогрессирование смертельной вирусной инфекции от тематических исследований до пандемии. Изображенные методы были ошибочными. ^[39]