В алгебраической геометрии , формула следа Беренды является обобщением формулы следа Гротендика-Лефшец к гладкой алгебраической стек над конечным полем, предположили в 1993 году [1] и доказан в 2003 году [2] с помощью Кая Беренда . В отличие от классической, формула подсчитывает очки « стекингом »; он учитывает наличие нетривиальных автоморфизмов.
Желание получить формулу вызвано тем фактом, что она применима к стеку модулей главных расслоений на кривой над конечным полем (в некоторых случаях косвенно, через стратификацию Хардера – Нарасимхана , поскольку набор модулей не имеет конечного типа. [ 3] [4] ) См. Стек модулей главных расслоений и ссылки в нем для точной формулировки в этом случае.
Пьер Делинь нашел пример [5], который показывает, что формулу можно интерпретировать как своего рода формулу следа Сельберга .
Доказательство формулы в контексте формализма шести операций, разработанного Ивом Ласло и Мартином Олссоном [6] , дано Shenghao Sun. [7]
Формулировка
По определению, если C - категория, в которой каждый объект имеет конечное число автоморфизмов, количество точек в обозначается
с суммой работает над представителями р всех классов изоморфизма в C . (Серии могут расходиться в общем случае.) Формула утверждает: для гладкого алгебраического стека X конечного типа над конечным полеми «арифметический» Фробениус , т.е. обратное к обычному геометрическому Фробениусу в формуле Гротендика, [8] [9]
Здесь принципиально важно, чтобы когомологии стека относились к гладкой топологии (а не этальной).
Когда X - многообразие, гладкие когомологии такие же, как этальные, и через двойственность Пуанкаре это эквивалентно формуле следа Гротендика. (Но доказательство формулы следа Беренда опирается на формулу Гротендика, поэтому она не включает в себя формулу Гротендика.)
Простой пример
Рассмотреть возможность , классифицирующий стек мультипликативной групповой схемы (т. е.). По определению,это категория главного -бутует , имеющий только один класс изоморфизма (поскольку все такие расслоения тривиальны по теореме Лэнга ). Его группа автоморфизмов, что означает, что количество -изоморфизмы .
С другой стороны, мы можем вычислить l -адические когомологиинапрямую. Отметим, что в топологической постановке имеем (где теперь обозначает обычное классифицирующее пространство топологической группы), кольцо рациональных когомологий которой является кольцом многочленов от одной образующей ( теорема Бореля ), но мы не будем использовать это напрямую. Если мы хотим остаться в мире алгебраической геометрии, мы можем вместо этого «приблизить»проективными пространствами все большей и большей размерности. Таким образом, мы рассматриваем карту вызванный -бандл, соответствующий Это отображение индуцирует изоморфизм когомологий в степенях до 2N . Таким образом, четные (соответственно нечетные) числа Беттиравны 1 (соответственно 0), а l -адическое представление Галуа на (2n) -й группе когомологий является n- й степенью кругового характера. Вторая часть является следствием того, что когомологиипорождается классами алгебраических циклов. Это показывает, что
Обратите внимание, что
Умножение на , получаем предсказанное равенство.
Заметки
- ^ Беренд, К. Формула следа Лефшеца для стека модулей основных пучков. Кандидатская диссертация.
- ^ Беренд, Кай (2003), "Производные l-адические категории для алгебраических стеков" (PDF) , Мемуары Американского математического общества , 163
- ^ К. Беренд, А. Диллон, Связные компоненты пакетов модулей торсоров через числа Тамагавы
- ^ http://www.math.harvard.edu/~lurie/282ynotes/LectureIII-Cohomology.pdf
- ^ Беренд 2003 , Предложение 6.4.11
- ^ * Ласло, Ив; Ольссон, Мартин (2006). «Шесть операций для пучков на стеках Артина I: конечные коэффициенты». arXiv : math / 0512097v2 .
- ^ Вс 2011
- ^ Чтобы определить Фробениусана стеке X , пусть. Тогда у нас есть, который является Фробениусом на X , также обозначаемый.
- ^ Беренд 2003 , следствие 6.4.10
Рекомендации
- Шенхао, Солнце (2011). «L-серия стеков Артина над конечными полями». Алгебра и теория чисел . 6 : 47–122. arXiv : 1008,3689 . DOI : 10,2140 / ant.2012.6.47 .