Коэффициент принятия Беннета

Метод коэффициента приемлемости Беннета ( BAR ) - это алгоритм для оценки разницы в свободной энергии между двумя системами (обычно системы моделируются на компьютере). Он был предложен Чарльзом Х. Беннеттом в 1976 году. ^[1]

Предварительные мероприятия [ править ]

Возьмем систему в определенном суперсостоянии (т.е. состоянии Гиббса). Прогулка по Метрополису Монте-Карло позволяет получить образец ландшафта состояний, между которыми перемещается система, используя уравнение

${\ displaystyle p ({\ text {State}} _ {x} \ rightarrow {\ text {State}} _ {y}) = \ min \ left (e ^ {- \ beta \, \ Delta U}, 1 \ right) = M (\ beta \, \ Delta U)}$

где Δ U =  U (State _y ) -  U (State _x ) - это разность потенциальной энергии, β = 1 / kT ( T - температура в градусах Кельвина , k - постоянная Больцмана ) и - функция Метрополиса. Полученные состояния затем пробы в соответствии с распределением Больцмана в супер состоянии при температуре Т . В качестве альтернативы, если система динамически моделируется в каноническом ансамбле (также называемом NVT${\ Displaystyle М (х) \ эквив \ мин (е ^ {- х}, 1)}$ансамбль), аналогично распределяются результирующие состояния вдоль моделируемой траектории. Усреднение по траектории (в любой постановке) обозначается угловыми скобками .${\ displaystyle \ left \ langle \ cdots \ right \ rangle}$

Предположим, что даны два представляющих интерес суперсостояния, A и B. Мы предполагаем, что у них есть общее конфигурационное пространство, то есть они разделяют все свои микросостояния, но энергии, связанные с ними (и, следовательно, вероятности), различаются из-за изменения некоторого параметра (например, силы определенного взаимодействия) . Таким образом, основной вопрос, который необходимо решить, заключается в том, как можно рассчитать изменение свободной энергии Гельмгольца (Δ F  =  F _B  -  F _A ) при перемещении между двумя суперсостояниями на основе выборки в обоих ансамблях? Обратите внимание, что кинетическая часть свободной энергии одинакова между состояниями, поэтому ею можно пренебречь. Отметим также, что свободная энергия Гиббса соответствует NpT ансамбль.

Общий случай [ править ]

Беннетт показывает, что для каждой функции f, удовлетворяющей условию (которое, по сути, является условием детального баланса ), и для каждого смещения энергии C , существует точное соотношение${\ Displaystyle е (х) / е (-х) \ эквив е ^ {- х}}$

${\displaystyle e^{-\beta (\Delta F-C)}={\frac {\left\langle f\left(\beta (U_{\text{B}}-U_{\text{A}}-C)\right)\right\rangle _{\text{A}}}{\left\langle f\left(\beta (U_{\text{A}}-U_{\text{B}}+C)\right)\right\rangle _{\text{B}}}}}$

где U _A и U _B - потенциальные энергии одних и тех же конфигураций, вычисленные с использованием потенциальной функции A (когда система находится в сверхсостоянии A) и потенциальной функции B (когда система находится в сверхсостоянии B) соответственно.

Базовый случай [ править ]

Подставив вместо f функцию Метрополиса, определенную выше (которая удовлетворяет условию детального баланса), и установив C на ноль, мы получим

${\displaystyle e^{-\beta \Delta F}={\frac {\left\langle M\left(\beta (U_{\text{B}}-U_{\text{A}})\right)\right\rangle _{\text{A}}}{\left\langle M\left(\beta (U_{\text{A}}-U_{\text{B}})\right)\right\rangle _{\text{B}}}}}$

Преимущество этой формулировки (помимо ее простоты) состоит в том, что ее можно вычислить без выполнения двух симуляций, по одному в каждом конкретном ансамбле. В самом деле, можно определить дополнительный вид пробного движения "потенциального переключения" Метрополиса (выполняемого через каждое фиксированное количество шагов), так что для вычислений будет достаточно одной выборки из "смешанного" ансамбля.

Самый действенный кейс [ править ]

Беннетт исследует, какое конкретное выражение для Δ F является наиболее эффективным в смысле получения наименьшей стандартной ошибки для данного времени моделирования. Он показывает, что оптимальный выбор - взять

1. ${\displaystyle f(x)\equiv {\frac {1}{1+e^{x}}}}$, которое по сути является распределением Ферми – Дирака (действительно удовлетворяющим условию детального баланса).
2. ${\displaystyle C\approx \Delta F}$. Это значение, конечно, неизвестно (это именно то, что пытаются вычислить), но оно может быть выбрано приблизительно самосогласованным образом.

Некоторые предположения, необходимые для эффективности, следующие:

1. Плотности двух суперсостояния (в их общем конфигурационном пространстве) должны сильно перекрываться. В противном случае может потребоваться цепочка суперсостояния между A и B, так что перекрытие каждых двух последовательных суперсостояния будет адекватным.
2. Размер выборки должен быть большим. В частности, поскольку последовательные состояния коррелированы, время моделирования должно быть намного больше, чем время корреляции.
3. Стоимость моделирования обоих ансамблей должна быть примерно одинаковой - и тогда, фактически, система дискретизируется примерно одинаково в обоих суперсостояниях. В противном случае оптимальное выражение для C модифицируется, и выборка должна уделять равное время (а не равное количество временных шагов) двум ансамблям.

Коэффициент принятия Беннета для нескольких штатов [ править ]

Коэффициент приемлемости Беннета для нескольких состояний ( MBAR ) является обобщением коэффициента принятия Беннетта, который вычисляет (относительные) свободные энергии нескольких состояний. По сути, он сводится к методу BAR, когда задействованы только два суперсостояния.

Отношение к другим методам [ править ]

Метод теории возмущений [ править ]

Этот метод, также называемый возмущением свободной энергии (или FEP), включает выборку только из состояния A. Это требует, чтобы все конфигурации суперсостояния B с высокой вероятностью содержались в конфигурациях суперсостояния A с высокой вероятностью, что является гораздо более строгим требованием, чем условие перекрытия, указанное выше.

Точный (бесконечный порядок) результат [ править ]

${\displaystyle e^{-\beta \Delta F}=\left\langle e^{-\beta (U_{\text{B}}-U_{\text{A}})}\right\rangle _{\text{A}}}$

или же

${\displaystyle \Delta F=-kT\cdot \log \left\langle e^{\beta (U_{\text{A}}-U_{\text{B}})}\right\rangle _{\text{A}}}$

Этот точный результат может быть получен из общего метода BAR, используя (например) функцию Metropolis в пределе . В самом деле, в этом случае знаменатель приведенного выше выражения для общего случая стремится к 1, а числитель - к . Однако прямой вывод из определений более простой.${\displaystyle C\rightarrow -\infty }$${\displaystyle e^{\beta C}\left\langle e^{-\beta (U_{\text{B}}-U_{\text{A}})}\right\rangle _{\text{A}}}$

Результат второго порядка (приблизительный) [ править ]

Предполагая, что и Тейлор расширил второе выражение точной теории возмущений до второго порядка, мы получаем приближение ${\displaystyle U_{\text{B}}-U_{\text{A}}\ll kT}$

${\displaystyle \Delta F\approx \left\langle U_{\text{B}}-U_{\text{A}}\right\rangle _{\text{A}}-{\frac {\beta }{2}}\left(\left\langle (U_{\text{B}}-U_{\text{A}})^{2}\right\rangle _{\text{A}}-\left(\left\langle (U_{\text{B}}-U_{\text{A}})\right\rangle _{\text{A}}\right)^{2}\right)}$

Обратите внимание, что первый член - это ожидаемое значение разницы энергий, а второй - по существу ее дисперсия.

Неравенства первого порядка [ править ]

Использование выпуклости логарифмической функции, появляющейся в результате точного анализа возмущений, вместе с неравенством Йенсена дает неравенство на линейном уровне; В сочетании с аналогичным результатом для ансамбля B получается следующая версия неравенства Гиббса-Боголюбова :

${\displaystyle \langle U_{\text{B}}-U_{\text{A}}\rangle _{\text{B}}\leq \Delta F\leq \langle U_{\text{B}}-U_{\text{A}}\rangle _{\text{A}}}$

Обратите внимание, что неравенство согласуется с отрицательным знаком коэффициента при (положительной) дисперсии в результате второго порядка.

Метод термодинамического интегрирования [ править ]

записывая потенциальную энергию как зависящую от непрерывного параметра, ${\displaystyle U_{\text{A}}=U(\lambda =0),U_{\text{B}}=U(\lambda =1),}$

есть точный результат. Это можно либо непосредственно проверить из определений, либо увидеть из предела приведенных выше неравенств Гиббса-Боголюбова, когда . поэтому мы можем написать${\displaystyle {\frac {\partial F(\lambda )}{\partial \lambda }}=\left\langle {\frac {\partial U(\lambda )}{\partial \lambda }}\right\rangle _{\lambda }}$${\displaystyle {\text{A}}=\lambda ^{+},{\text{B}}=\lambda ^{-}}$

${\displaystyle \Delta F=\int _{0}^{1}\left\langle {\frac {\partial U(\lambda )}{\partial \lambda }}\right\rangle \,d\lambda }$

что является результатом термодинамического интегрирования (или ТИ). Его можно аппроксимировать, разделив диапазон между состояниями A и B на множество значений λ, при которых оценивается математическое ожидание, и выполнив численное интегрирование.

Реализация [ править ]

Метод коэффициента приемлемости Беннета реализован в современных системах молекулярной динамики , таких как Gromacs . Код на основе Python для MBAR и BAR доступен для загрузки по адресу [2] .

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Коэффициент принятия Беннета из AlchemistryWiki.
• Коэффициент приемлемости Беннета для нескольких состояний из AlchemistryWiki.