Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )
|
Бхаскара II | |
---|---|
Родившийся | c. 1114 г. н.э. |
Умер | c. 1185 г. н.э. |
Другие имена | Бхаскарачарья |
Академическое образование | |
Академическая работа | |
Эра | Шака эпохи |
Дисциплина | Математик |
Основные интересы | Алгебра , Исчисление , Арифметика , Тригонометрия |
Известные работы | Сиддханта Широмани ( Лилавати , Биджагатита , Грахагатита и Голадхьяя) , Карана-Каутухала |
Бхаскара (ок. 1114–1185), также известный как Бхаскарачарья («Бхаскара, учитель»), и как Бхаскара II, чтобы избежать путаницы с Бхаскарой I , был индийским математиком и астрономом . Он родился в Биджапуре в штате Карнатака . [1]
Бхаскара родился в семье ученых, математиков и астрономов Дешастха-браминов , и был руководителем космической обсерватории в Удджайне , главном математическом центре древней Индии . [2] Бхаскара и его работы представляют собой значительный вклад в математические и астрономические знания 12 века. Его называли величайшим математиком средневековой Индии. [3] Его основная работа сиддхант-широмань , ( Санскритская для «Короны трактата») [4] делятся на четыре части , называемых Lilavati , Bījagaṇita , Grahagaṇita иGolādhyāya , [5] , которые также иногда рассматриваются четыре самостоятельных произведений. [6] Эти четыре раздела посвящены арифметике, алгебре, математике планет и сфер соответственно. Он также написал другой трактат под названием Карана Каутухала. [6]
Работа Бхаскара по исчислению предшествует Ньютон и Лейбниц более чем полтысячелетия. [7] [8] Он особенно известен открытием принципов дифференциального исчисления и его применения к астрономическим задачам и вычислениям. Хотя Ньютону и Лейбницу приписывают дифференциальное и интегральное исчисление, есть веские основания предполагать, что Бхаскара был пионером некоторых принципов дифференциального исчисления. Возможно, он был первым, кто придумал дифференциальный коэффициент и дифференциальное исчисление. [9]
Дата, место и семья [ править ]
Бхаскара указывает дату своего рождения и дату написания своего основного произведения в стихе в арья-метре : [6]
раса-гуна-порна-махисама
шака-нрипа самайе 'бхават мамотпаттих /
раса-гуна-варшена майа
сиддханта-широмани раситах //
Это показывает, что он родился в 1036 году в эру Шака (1114 г. н.э. ), и что он составил Сиддханта-Широмани, когда ему было 36 лет. [6] Он также написал еще одно произведение под названием Карана-кутухала, когда ему было 69 лет (в 1183 году). [6] Его работа показывает влияние Брахмагуптов , Шридхар , Махавир , Падманабх и других предшественников. [6]
Он родился в Deśastha Rigvedi брахманской семьи [10] вблизи Vijjadavida (считается Bijjaragi из Vijayapur в современной Карнатака ). Бхаскара, как говорят, был главой астрономической обсерватории в Удджайне , ведущем математическом центре средневековой Индии. Он жил в районе Сахьядри (Патнадеви, в районе Джалгаон, Махараштра). [11]
История свидетельствует о том, что его прапрапрадедушка занимал потомственный пост придворного ученого, как и его сын и другие потомки. Его отец Махешвара [11] (Maheśvaropādhyāya [6] ) был математиком, астрономом [6] и астрологом, который научил его математике, которую он позже передал своему сыну Локшамудре. Сын Локшамудры в 1207 году помог открыть школу для изучения писаний Бхаскары. Он умер в 1185 году нашей эры.
Сиддхант-широмань [ править ]
Лилавати [ править ]
Первый раздел Līlāvatī (также известный как pāṭīgaṇita или akagaita ), названный в честь его дочери, состоит из 277 стихов. [6] Он охватывает вычисления, прогрессии, измерения , перестановки и другие темы. [6]
Биджаганита [ править ]
Второй раздел Bījagaita (Алгебра) состоит из 213 стихов. [6] В нем обсуждаются ноль, бесконечность, положительные и отрицательные числа, а также неопределенные уравнения, включая (теперь называемое) уравнение Пелла , решая его с помощью метода Кунака . [6] В частности, он также раскрыл дело, которое столетия спустя ускользнуло от Ферма и его европейских современников. [6]
Грахаганита [ править ]
В третьем разделе Грахагатита , рассматривая движение планет, рассматривал их мгновенные скорости. [6] Он пришел к приближению: [12] Он состоит из 451 стиха.
- для близких к , или в современных обозначениях: [12]
- .
По его словам: [12]
бимбардхасйа котиджйа гунастриджйахарам пхалам дорджйайорантарам
Этот результат также наблюдал ранее Мунджалачарья (или Манджулачарья) манасам в контексте таблицы синусов. [12]
Бхаскара также заявил, что в наивысшей точке мгновенная скорость планеты равна нулю. [12]
Математика [ править ]
Некоторые из вкладов Бхаскары в математику включают следующее:
- Доказательство теоремы Пифагора , вычисляя ту же область двумя различными способами , а затем стирают условия , чтобы получить в 2 + Ь 2 = гр 2 . [13]
- В Lilavati объясняются решения неопределенных уравнений квадратной , кубической и четвертой степени . [14]
- Решения неопределенных квадратных уравнений (типа ax 2 + b = y 2 ).
- Целочисленные решения линейных и квадратных неопределенных уравнений ( Kuṭṭaka ). Правила, которые он дает, (по сути) те же, что были даны европейскими математиками эпохи Возрождения 17 века.
- Циклический метод Чакравалы для решения неопределенных уравнений вида ax 2 + bx + c = y . Решение этого уравнения традиционно приписывалось Уильяму Браункеру в 1657 году, хотя его метод был сложнее, чем метод чакравалы .
- Первый общий метод нахождения решений задачи x 2 - ny 2 = 1 (так называемое « уравнение Пелла ») был дан Бхаскарой II. [15]
- Решения диофантовых уравнений второго порядка, например 61 x 2 + 1 = y 2 . Это уравнение было поставлено в качестве проблемы в 1657 году французским математиком Пьером де Ферма , но его решение не было известно в Европе до времен Эйлера в 18 веке. [14]
- Решил квадратные уравнения с более чем одним неизвестным и нашел отрицательные и иррациональные решения. [ необходима цитата ]
- Предварительное понятие математического анализа .
- Предварительная концепция исчисления бесконечно малых , а также значительный вклад в интегральное исчисление . [16]
- Задумал дифференциальное исчисление , обнаружив приближение производной и дифференциального коэффициента.
- Сформулированная теорема Ролля , частный случай одной из важнейших теорем анализа, теоремы о среднем значении . Следы общей теоремы о среднем также можно найти в его работах.
- Вычислял производные тригонометрических функций и формул. (См. Раздел «Исчисление» ниже.)
- В Сиддханта-Широмани Бхаскара разработал сферическую тригонометрию наряду с рядом других тригонометрических результатов. (См. Раздел «Тригонометрия» ниже.)
Арифметика [ править ]
Бхаскара в арифметической текст Lilavati охватывает темы определений арифметических терминов, процентные вычисления, арифметических и геометрических прогрессий, планиметрии , стереометрии , тени гномон , методы для решения неопределенных уравнений и комбинации .
Līlāvatī разделена на 13 глав и охватывает многие разделы математики, арифметики, алгебры, геометрии и немного тригонометрии и измерений. В частности, содержание включает:
- Определения.
- Свойства нуля (включая деление и правила работы с нулем).
- Дальнейшая обширная численная работа, включая использование отрицательных чисел и сурдов .
- Оценка π .
- Арифметические члены, методы умножения и возведения в квадрат .
- Обратное правило трех и правила 3, 5, 7, 9 и 11.
- Задачи, связанные с процентами и расчетом процентов.
- Неопределенные уравнения ( Kuṭṭaka ), целочисленные решения (первого и второго порядка). Его вклад в эту тему особенно важен [ необходима цитата ], поскольку правила, которые он дает, (по сути) те же, что и правила, данные европейскими математиками эпохи Возрождения 17-го века, но его работы относятся к 12-му веку. Метод решения Бхаскары был улучшением методов, обнаруженных в работах Арьябхаты и последующих математиков.
Его работа отличается систематизацией, улучшенными методами и новыми темами, которые он представил. Более того, Лилавати содержала прекрасные проблемы, и считается, что намерение Бхаскары могло заключаться в том, чтобы изучающий «Лилавати» сосредоточился на механическом применении метода. [ необходима цитата ]
Алгебра [ править ]
Его « Биджаганита» (« Алгебра ») состояла из двенадцати глав. Это был первый текст, который признал, что положительное число имеет два квадратных корня (положительный и отрицательный квадратный корень). [17] Его работа Bījaganita фактически представляет собой трактат по алгебре и содержит следующие темы:
- Положительные и отрицательные числа .
- «Неизвестное» (включает определение неизвестных величин).
- Определение неизвестных величин.
- Surds (включает оценку Surds).
- Kuṭṭaka (для решения неопределенных и диофантовых уравнений ).
- Простые уравнения (неопределенные второй, третьей и четвертой степени).
- Простые уравнения с более чем одним неизвестным.
- Неопределенные квадратные уравнения (типа ax 2 + b = y 2 ).
- Решения неопределенных уравнений второй, третьей и четвертой степени.
- Квадратные уравнения.
- Квадратные уравнения с более чем одним неизвестным.
- Операции с произведениями нескольких неизвестных.
Бхаскара вывел циклический метод чакравалы для решения неопределенных квадратных уравнений вида ax 2 + bx + c = y. [17] Метод Бхаскары для поиска решений задачи Nx 2 + 1 = y 2 (так называемое « уравнение Пелла ») имеет большое значение. [15]
Тригонометрия [ править ]
« Сиддханта Широмани» (написанная в 1150 году) демонстрирует знания Бхаскары о тригонометрии, включая таблицу синусов и взаимосвязи между различными тригонометрическими функциями. Он также разработал сферическую тригонометрию и другие интересные тригонометрические результаты. В частности, Бхаскара казался более заинтересованным в тригонометрии как таковой, чем его предшественники, которые видели в ней только инструмент для вычислений. Среди многих интересных результатов, данных Бхаскарой, результаты, полученные в его работах, включают вычисление синусов углов 18 и 36 градусов, а также теперь хорошо известные формулы для и .
Исчисление [ править ]
Его работа, « Сиддханта Широмани» , представляет собой астрономический трактат и содержит множество теорий, которых не было в более ранних работах. [ необходима цитата ] Предварительные концепции исчисления бесконечно малых и математического анализа , наряду с рядом результатов в тригонометрии , дифференциальном исчислении и интегральном исчислении, которые можно найти в работе, представляют особый интерес.
Факты свидетельствуют о том, что Бхаскара был знаком с некоторыми идеями дифференциального исчисления. [17] Бхаскара также углубляется в «дифференциальное исчисление» и предполагает, что дифференциальный коэффициент исчезает при экстремальном значении функции, что указывает на знание концепции « бесконечно малых ». [18]
- Существует свидетельство ранней формы теоремы Ролля в своей работе
- Если тогда для кого-то с
- Он дал результат, если то , тем самым найдя производную от синуса, хотя он никогда не развивал понятие производных. [19]
- Бхаскара использует этот результат для определения позиционного угла эклиптики , величины, необходимой для точного предсказания времени затмения.
- При вычислении мгновенного движения планеты, интервал времени между последовательными позициями планет не было больше , чем truti , или 1 / тридцать три тысячи семьсот пятьдесят секунды, и была выражена его мера скорости в этом бесконечно малом единицу времени.
- Он знал, что когда переменная достигает максимального значения, ее дифференциал исчезает.
- Он также показал, что когда планета наиболее удалена от Земли или находится ближе всего к ней, уравнение центра (мера того, насколько далеко планета находится от предполагаемого положения, предполагая, что она должна двигаться равномерно) исчезает. Поэтому он пришел к выводу, что для некоторого промежуточного положения дифференциал уравнения центра равен нулю. [ необходимая цитата ] В этом результате есть следы общей теоремы о среднем значении , одной из самых важных теорем в анализе, которая сегодня обычно выводится из теоремы Ролля. Теорема о среднем значении была позже найдена Парамешварой в 15 веке в Лилавати Бхашья , комментарии к Лилавати Бхаскары .
Мадхава (1340–1425) и математики Керальской школы (включая Парамешвару) с 14 по 16 век расширили работу Бхаскары и продвинули дальше развитие математического анализа в Индии.
Астрономия [ править ]
Используя астрономическую модель, разработанную Брахмагуптой в 7 веке, Бхаскара точно определил многие астрономические величины, включая, например, длину сидерического года , время, которое требуется Земле для обращения вокруг Солнца, как примерно 365,2588 дней, что составляет примерно 365,2588 дней. то же, что и в Сурьясиддханте. [ Требуется цитата ] Согласно современным принятым измерениям, 365,25636 дней , разница всего 3,5 минуты. [20]
Его текст по математической астрономии « Сиддханта Широмани» состоит из двух частей: первая часть посвящена математической астрономии, а вторая - сфере .
Двенадцать глав первой части охватывают такие темы, как:
- Средние долготы этих планет .
- Истинные долготы планет.
- Три проблемы из суточного вращения . (Суточное движение астрономический термин , относящийся к очевидному ежедневное движение звезд вокруг Земли, точнее вокруг двух небесных полюса. Это вызвано вращением Земли вокруг своей оси, так что каждая звезда , по- видимому движется по кругу, который называется дневным кругом.)
- Сизигии .
- Лунные затмения .
- Солнечные затмения .
- Широты планет.
- Уравнение восхода солнца
- Moon «s полумесяц .
- Соединения планет друг с другом.
- Соединения планет с неподвижными звездами .
- Пути Солнца и Луны.
Вторая часть содержит тринадцать глав по сфере. Он охватывает такие темы, как:
- Похвала изучению сферы.
- Природа сферы.
- Космография и география .
- Среднее планетарное движение .
- Эксцентрическая эпициклическая модель планет.
- Армиллярная сфера .
- Сферическая тригонометрия .
- Расчет эллипса . [ необходима цитата ]
- Первые видимости планет.
- Расчет лунного серпа.
- Астрономические инструменты.
- В сезонах .
- Проблемы астрономических расчетов.
Инженерное дело [ править ]
Самые ранние упоминания о вечном двигателе относятся к 1150 году, когда Бхаскара II описал колесо, которое, как он утверждал, будет работать вечно. [21]
Бхаскара II использовал измерительный прибор, известный как Яши-янтра . Это устройство могло варьироваться от простой палки до V-образных рейок, предназначенных специально для определения углов с помощью калиброванной шкалы. [22]
Легенды [ править ]
В своей книге « Лилавати» он рассуждает: «В этой величине, делителем которой является ноль, нет изменений даже тогда, когда в нее вошли или вышли [из нее] многие количества, точно так же, как во время разрушения и созидания, когда толпы существ входят и выходят из [него, в бесконечном и неизменном [Вишну] нет изменений ». [23]
"Смотри!" [ редактировать ]
Несколько авторов заявили, что Бхаскара II доказал теорему Пифагора, нарисовав диаграмму и предоставив одно слово «вот!». [24] [25] Иногда имя Бхаскара опускается, и это называется индуистским доказательством , хорошо известным школьникам. [26]
Однако, как указывает историк математики Ким Плофкер, после представления отработанного примера Бхаскара II формулирует теорему Пифагора:
Следовательно, для краткости, квадратный корень из суммы квадратов плеча и вертикали является гипотенузой: таким образом это демонстрируется. [27]
Далее следуют:
И в противном случае, когда кто-то помещает эти части фигуры там, [просто] видя [этого достаточно]. [27]
Плофкер предполагает, что это дополнительное заявление может быть основным источником широко распространенного «вот!» легенда.
Наследие [ править ]
В честь него назван ряд институтов и колледжей в Индии, в том числе Бхаскарачарья Пратиштхана в Пуне, Колледж прикладных наук Бхаскарачарьи в Дели, Институт космических приложений и геоинформатики Бхаскарачарьи в Гандинагаре.
20 ноября 1981 года Индийская организация космических исследований (ISRO) запустила спутник Bhaskara II в честь математика и астронома. [28]
Invis Multimedia выпустила Bhaskaracharya , индийский документальный короткий по математике в 2015 году [29] [30]
См. Также [ править ]
- Список индийских математиков
Ссылки [ править ]
- ^ Математические достижения досовременных индийских математиков по TK Puttaswamy p.331
- ^ Сахни 2019 , стр. 50.
- ↑ Чопра, 1982 , стр. 52–54.
- ^ Plofker 2009 , стр. 71.
- ^ Poulose 1991 , стр. 79.
- ^ a b c d e f g h i j k l m n С. Балачандра Рао (13 июля 2014 г.),ನವ ಜನ್ಮಶತಾಬ್ದಿಯ ಗಣಿತರ್ಷಿ ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯ, Виджаявани , стр. 17
- ↑ Печать 1915 , стр. 80.
- ^ Саркар 1918 , стр. 23.
- ^ Goonatilake 1999 , стр. 134.
- ^ Иллюстрированный еженедельник Индии, том 95 . Bennett, Coleman & Company, Limited, в Times of India Press. 1974. стр. 30.
Дешастхи внесли свой вклад в математику и литературу, а также в культурное и религиозное наследие Индии.
Бхаскарачарая был одним из величайших математиков древней Индии.
- ^ а б Пингри 1970 , стр. 299.
- ^ a b c d e Ученый (13 июля 2014 г.),ನವ ಜನ್ಮಶತಾಬ್ದಿಯ ಗಣಿತರ್ಷಿ ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯ, Виджаявани , стр. 21 год
- ^ Стихи 128, 129 в Bijaganita Plofker 2007 , стр. 476-477
- ^ a b Математические достижения досовременных индийских математиков фон Т.К. Путтасвами
- ^ a b Stillwell1999 , стр. 74.
- ^ Студенты и Британника Индия. 1. От А до В, Инду Рамчандани.
- ^ a b c 50 вневременных ученых фон К. Кришна Мурти
- Перейти ↑ Shukla 1984 , pp. 95–104.
- Перейти ↑ Cooke 1997 , pp. 213–215.
- ^ IERS EOP PC Полезные константы . День в системе СИ или средний солнечный день равен 86400 секундам в системе СИ . От средней долготы относительно средней эклиптики и равноденствия J2000, приведенных в Simon, JL, et al., «Числовые выражения для формул прецессии и средних элементов для Луны и планет» Astronomy and Astrophysics 282 (1994), 663–683 . [1]
- Перейти ↑ White 1978 , pp. 52–53.
- ^ Селин 2008 , стр. 269-273.
- ^ Колбрук 1817 .
- ^ ЕВ 1990 , с. 228
- Перейти ↑ Burton 2011 , p. 106
- Перейти ↑ Mazur 2005 , pp. 19–20
- ^ а б Плофкер 2007 , стр. 477
- ↑ Bhaskara NASA, 16 сентября 2017 г.
- ^ "Ананд Нараянан" . IIST .
- ^ "Великий индийский математик - Бхаскарачарья" . indiavideodotorg. 22 сентября 2015.
Библиография [ править ]
- Бертон, Дэвид М. (2011), История математики: Введение (7-е изд.), McGraw Hill, ISBN 978-0-07-338315-6
- Ив, Ховард (1990), Введение в историю математики (6-е изд.), Saunders College Publishing, ISBN 978-0-03-029558-4
- Мазур, Джозеф (2005), Евклид в тропическом лесу , Плюм, ISBN 978-0-452-28783-9
- Саркар, Беной Кумар (1918), достижения индуизма в точной науке: исследование по истории развития науки , Лонгманс, Грин и др.
- Сил, сэр Брэджендранат (1915), Положительные науки древних индусов , Лонгманы, Грин и др.
- Колбрук, Генри Т. (1817), Арифметика и измерение Брахмегупты и Бхаскары
- Уайт, Линн Таунсенд (1978), «Тибет, Индия и Малайя как источники западной средневековой технологии», средневековая религия и технологии: сборник эссе , University of California Press, ISBN 978-0-520-03566-9
- Селин, Хелайн , изд. (2008), «Астрономические инструменты в Индии», Энциклопедия истории науки, техники и медицины в незападных культурах (2-е издание) , Springer Verlag Ny, ISBN 978-1-4020-4559-2
- Шукла, Крипа Шанкар (1984), «Использование исчислений в индуистской математике», Индийский журнал истории науки , 19 : 95–104
- Пингри, Дэвид Эдвин (1970), Перепись точных наук на санскрите , том 146, Американское философское общество, ISBN 9780871691460
- Плофкер, Ким (2007), «Математика в Индии», в Каце, Виктор Дж. (Редактор), Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: Справочник , Princeton University Press, ISBN 9780691114859
- Плофкер, Ким (2009), Математика в Индии , Princeton University Press, ISBN 9780691120676
- Кук, Роджер (1997), «Математика индусов» , История математики: краткий курс , Wiley-Interscience, стр. 213–215 , ISBN 0-471-18082-3
- Poulose, KG (1991), KG Poulose (ed.), Научное наследие Индии, математика , Том 22 Ravivarma Samskr̥ta granthāvali, Govt. Санскритский колледж (Трипунитура, Индия)
- Чопра, Пран Нат (1982), Религии и общины Индии , Vision Books, ISBN 978-0-85692-081-3
- Goonatilake, Susantha (1999), На пути к глобальной науке: добыча цивилизационных знаний , Indiana University Press, ISBN 978-0-253-21182-8
- Селин, Хелайн ; Д'Амброзио, Убиратан , ред. (2001), Математика в разных культурах: история незападной математики , Том 2 науки в разных культурах, Springer, ISBN 978-1-4020-0260-1
- Стиллвелл, Джон (2002), Математика и ее история, Тексты для бакалавров по математике , Springer, ISBN 978-0-387-95336-6
- Сахни, Мадху (2019), Педагогика математики , Издательство Викас, ISBN 978-9353383275
Дальнейшее чтение [ править ]
- WW Роуз Болл. Краткое изложение истории математики , 4-е издание. Dover Publications, 1960.
- Джордж Гевергезе Джозеф. Герб Павлина: неевропейские корни математики , 2-е издание. Книги Пингвинов , 2000.
- О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Бхаскара II" , архив истории математики MacTutor , Сент-Эндрюсский университет. Сент-Эндрюсский университет , 2000 г.
- Ян Пирс. Бхаскарачарья II в архиве MacTutor. Сент-Эндрюсский университет, 2002 г.
- Пингри, Дэвид (1970–1980). «Бхаскара II». Словарь научной биографии . 2 . Нью-Йорк: Сыновья Чарльза Скрибнера. С. 115–120. ISBN 978-0-684-10114-9.
Внешние ссылки [ править ]
В Wikisource есть оригинальный текст, относящийся к этой статье: Бхаскара II |
- Биография MacTutor
- 4to40 Биография
- Исчисление в Керале