Биголоморфизм

Комплексная экспоненциальная функция биголоморфно отображает прямоугольник в четверть кольца .

В математической теории функций одного или более сложных переменных , а также в комплексной алгебраической геометрии , A биголоморфизм или биголоморфна функция является биективен голоморфная функция которого обратное тоже голоморфна .

Формальное определение [ править ]

Формально биголоморфна функция является функцией , определенная на открытом подмножестве U в n - мерном комплексном пространстве С ^п со значениями в C ^п , которая является голоморфная и один-к-одному , таким образом, что его изображение является открытым множеством в С ^п а инверсия также голоморфна . В более общем смысле, U и V могут быть комплексными многообразиями.${\ displaystyle \ phi}$ ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ phi ^ {- 1}: от V \ до U}$. Как и в случае функций одной комплексной переменной, достаточным условием для того, чтобы голоморфное отображение было биголоморфным своему образу, является то, что отображение является инъективным, и в этом случае обратное также голоморфно (например, см. Ганнинг 1990, теорема I. 11).

Если существует биголоморфизм , мы говорим , что U и V является биголоморфно эквивалентными или что они биголоморфны .${\displaystyle \phi \colon U\to V}$

Теорема Римана об отображении и обобщения [ править ]

Если каждое односвязное открытое множество, кроме всей комплексной плоскости, биголоморфно единичному кругу (это теорема об отображении Римана ). В высших измерениях ситуация совсем иная. Например, открытые единичные шары и открытые единичные полидиски не биголоморфно эквивалентны. На самом деле не существует даже правильной голоморфной функции от одного к другому.${\displaystyle n=1,}$${\displaystyle n>1.}$

Альтернативные определения [ править ]

В случае отображений f  : U → C, определенных на открытом подмножестве U комплексной плоскости C , некоторые авторы (например, Freitag 2009, определение IV.4.1) определяют конформное отображение как инъективное отображение с ненулевой производной, т. Е. F «( г ) ≠ 0 для каждого г в U . Согласно этому определению отображение f  : U → C конформно тогда и только тогда, когда f : U → f ( U) биголоморфна. Другие авторы (например, Conway 1978) определяют конформное отображение как отображение с ненулевой производной, не требуя, чтобы отображение было инъективным. Согласно этому более слабому определению конформности, конформное отображение не обязательно должно быть биголоморфным, даже если оно локально биголоморфно. Например, если f : U → U определяется формулой f ( z ) = z ² с U = C - {0}, то f конформна на U , так как ее производная f '( z ) = 2 z ≠ 0, но он не биголоморфен, поскольку равен 2-1.

Ссылки [ править ]

• Джон Б. Конвей (1978). Функции одной комплексной переменной . Springer-Verlag. ISBN 3-540-90328-3.
• Джон П. Д'Анджело (1993). Несколько комплексных переменных и геометрия реальных гиперповерхностей . CRC Press. ISBN 0-8493-8272-6.
• Эберхард Фрайтаг и Рольф Бусам (2009). Комплексный анализ . Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-93982-5.
• Роберт С. Ганнинг (1990). Введение в голоморфные функции многих переменных, Vol. II . Уодсворт. ISBN 0-534-13309-6.
• Стивен Г. Кранц (2002). Теория функций нескольких комплексных переменных . Американское математическое общество. ISBN 0-8218-2724-3.

Эта статья включает в себя материал из биголоморфного эквивалента на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .