Связь выпуклости

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Выпуклость облигации»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( июль 2007 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В области финансов , связь выпуклость является мерой нелинейного соотношения цен на облигации к изменениям процентных ставок , то вторая производная от цены облигации относительно процентных ставок ( продолжительность является первой производной). В целом, чем выше дюрация, тем более чувствительна цена облигации к изменению процентных ставок. Выпуклость облигаций - одна из самых основных и широко используемых форм выпуклости в финансах . Выпуклость была основана на работе Хон-Фей Лая и популяризирована Стэнли Диллером. ^[1]

Расчет выпуклости [ править ]

Дюрация - это линейная мера или первая производная того, как цена облигации изменяется в ответ на изменение процентной ставки. При изменении процентных ставок цена вряд ли изменится линейно, но вместо этого она изменится по некоторой кривой функции процентных ставок. Чем более изогнута функция цены облигации, тем более неточной является дюрация как мера чувствительности к процентной ставке.

Выпуклость - это мера кривизны или 2-я производная того, как цена облигации изменяется в зависимости от процентной ставки, то есть как дюрация облигации изменяется при изменении процентной ставки. В частности, предполагается, что процентная ставка постоянна на протяжении всего срока действия облигации и что изменения процентных ставок происходят равномерно. Используя эти допущения, дюрацию можно сформулировать как первую производную функции цены облигации по отношению к рассматриваемой процентной ставке. Тогда выпуклость была бы второй производной функции цены по процентной ставке.

На реальных рынках предположение о постоянных процентных ставках и даже изменениях неверно, и для определения реальной цены облигаций необходимы более сложные модели. Однако эти упрощающие допущения позволяют быстро и легко вычислить факторы, которые описывают чувствительность цен облигаций к изменениям процентных ставок.

Выпуклость не предполагает линейной зависимости между стоимостью Облигации и процентными ставками. Для больших колебаний процентных ставок это лучший показатель, чем дюрация. ^[2]

Почему выпуклость связки может отличаться [ править ]

Чувствительность цены к параллельным изменениям во временной структуре процентных ставок наиболее высока для облигаций с нулевым купоном, а наименьшая - для облигаций с амортизацией (где выплаты производятся заранее). Хотя амортизируемая облигация и облигация с нулевым купоном имеют разную чувствительность при одном и том же сроке погашения, если их окончательные сроки погашения различаются так, что у них одинаковая дюрация облигаций, то они будут иметь одинаковую чувствительность. То есть на их цены в равной степени будут влиять небольшие сдвиги кривой доходности первого порядка (и параллельные) . Однако они начнут меняться на разные суммы с каждым последующим постепенным параллельным сдвигом ставок из-за различных дат и сумм платежей.

Для двух облигаций с одинаковой номинальной стоимостью, купоном и сроком погашения выпуклость может различаться в зависимости от того, в какой точке кривой ценовой доходности они расположены.

Предположим, что оба они имеют в настоящее время одинаковую комбинацию доходности (py); также вы должны принять во внимание профиль, рейтинг и т. д. эмитентов: предположим, они выпускаются разными организациями. Хотя обе облигации имеют одинаковую комбинацию py, облигация A может находиться на более эластичном сегменте кривой py по сравнению с облигацией B. Это означает, что при дальнейшем росте доходности цена облигации A может резко упасть, в то время как цена облигации B выиграла. не меняю; т.е. держатели облигации B ожидают роста цены в любой момент и поэтому не хотят ее продавать, в то время как держатели облигации A ожидают дальнейшего падения цены и готовы продать ее.

Это означает, что облигация B имеет более высокий рейтинг, чем облигация A.

Таким образом, чем выше рейтинг или авторитет эмитента, тем меньше выпуклость и меньше выигрыш от игры или стратегий риск-доходность. Меньшая выпуклость означает меньшую волатильность цен или риск; меньше риска означает меньшую прибыль.

Математическое определение [ править ]

Если плоская плавающая процентная ставка равна r, а цена облигации равна B , то выпуклость C определяется как

${\ displaystyle C = {\ frac {1} {B}} {\ frac {d ^ {2} \ left (B (r) \ right)} {dr ^ {2}}}.}$

Другой способ выражения C - это модифицированная продолжительность D :

${\ displaystyle {\ frac {d} {dr}} B (r) = - DB.}$

Следовательно,

${\ displaystyle CB = {\ frac {d (-DB)} {dr}} = (- D) (- DB) + \ left (- {\ frac {dD} {dr}} \ right) (B), }$

уход

${\ displaystyle C = D ^ {2} - {\ frac {dD} {dr}}.}$

Где D - измененная продолжительность

Как дюрация облигации изменяется при изменении процентной ставки [ править ]

Вернемся к стандартному определению модифицированной продолжительности:

${\ displaystyle D = {\ frac {1} {1 + r}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {P (i) t (i)} {B}}}$

где P ( i ) - это приведенная стоимость купона i , а t ( i ) - дата будущей выплаты.

По мере увеличения процентной ставки текущая стоимость более долгосрочных платежей снижается по сравнению с более ранними купонами (за счет коэффициента дисконтирования между ранними и просроченными платежами). Однако цена облигации также снижается при увеличении процентной ставки, но изменения приведенной стоимости суммы каждого купона, умноженной на временной интервал (числитель в сумме), больше, чем изменения в цене облигации (знаменатель в суммировании). Следовательно, увеличение r должно уменьшать дюрацию (или, в случае бескупонных облигаций, оставлять неизменную дюрацию постоянной). Обратите внимание, что модифицированная длительность D отличается от обычной продолжительности на коэффициент, превышающий 1 + r (показано выше), который также уменьшается с увеличением r.

${\ displaystyle {\ frac {dD} {dr}} \ leq 0.}$

Учитывая указанную выше связь между выпуклостью и дюрацией, обычные выпуклости облигаций всегда должны быть положительными.

Положительность выпуклости также может быть доказана аналитически для основных процентных ценных бумаг. Например, в предположении плоской кривой доходности можно записать стоимость купонной облигации как , где c _i обозначает купон, выплачиваемый в момент времени t _i . Тогда легко увидеть, что${\ displaystyle \ scriptstyle B (r) \ = \ \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} e ^ {- rt_ {i}}}$

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} B} {dr ^ {2}}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} e ^ {- rt_ {i}} t_ { i} ^ {2} \ geq 0.}$

Обратите внимание, что это, наоборот, подразумевает отрицательность производной длительности путем дифференцирования .${\ Displaystyle \ scriptstyle дБ / др \ = \ -DB}$

Применение выпуклости [ править ]

1. Выпуклость - это показатель управления рисками, используемый аналогично тому, как «гамма» используется в управлении рисками производных финансовых инструментов ; это число, используемое для управления рыночным риском, которому подвержен портфель облигаций. Если совокупная выпуклость и длительность торгового портфеля высоки, то велик и риск. Однако, если совокупная выпуклость и дюрация низкие, книга хеджируется , и небольшие деньги будут потеряны, даже если произойдет довольно существенное изменение процентных ставок. (Параллель на кривой доходности.)
2. Аппроксимация второго порядка движения цен облигаций из-за изменений ставок использует выпуклость:

${\ displaystyle \ Delta B = B \ left [{\ frac {C} {2}} (\ Delta r) ^ {2} -D \ Delta r \ right].}$

Эффективная выпуклость [ править ]

См. Также: Срок действия облигации # Встроенные параметры и эффективная продолжительность .

Для связи с встроенным опционом , с доходностью к погашению на основе расчета выпуклости (и продолжительность ) не учитывает , как изменения в кривой доходности изменят денежные потоки за счет опциона . Чтобы решить эту проблему, необходимо численно рассчитать «эффективную» выпуклость. Эффективная выпуклость является дискретным приближением из второй производной от стоимости облигации в зависимости от процентной ставки:

${\displaystyle {\text{Effective convexity}}={\frac {V_{-\Delta y}-2V+V_{+\Delta y}}{(V_{0})\Delta y^{2}}}}$

где - стоимость облигации, рассчитанная с использованием модели ценообразования опционов , Δ  y - величина, при которой доходность изменяется, и - значения, которые будет принимать облигация, если доходность упадет на y или повысится на y , соответственно ( параллельный сдвиг ).${\displaystyle V}$${\displaystyle V_{-\Delta y}{\text{ and }}V_{+\Delta y}}$

Эти значения обычно находятся с использованием древовидной модели, построенной для всей кривой доходности и, следовательно, фиксирующей поведение исполнения в каждой точке срока действия опциона как функцию как времени, так и процентных ставок; см. Модель решетки (финансы) # Деривативы процентной ставки .

См. Также [ править ]

• Уравнение Блэка – Шоулза
• Срок действия облигации
• Оценка облигаций
• Иммунизация (финансирование)
• Список тем о выпуклости
• Список финансовых тем

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Фрэнк Фабоцци , Справочник по ценным бумагам с фиксированным доходом, 7-е изд. , Нью-Йорк: Макгроу Хилл, 2005.
• Фабоцци, Фрэнк Дж. (1999). «Основы продолжительности и выпуклости». Срок действия, выпуклость и другие меры риска по облигациям . Фрэнк Дж. Фабоцци. Серия. 58 . Джон Вили и сыновья. ISBN 9781883249632.
• Мэйл, Янв (1994), Стандартные методы расчета ценных бумаг: формулы ценных бумаг с фиксированным доходом для аналитических показателей , 2 (1-е изд.), Ассоциация индустрии ценных бумаг и финансовых рынков , ISBN 1-882936-01-9. Стандартный справочник конвенций, применимых к ценным бумагам США.

Внешние ссылки [ править ]

• Инвестиционный фонд для фондов объясняет опасность покупки облигаций с высокой отрицательной выпуклостью
• Видеоурок, объяснение продолжительности и выпуклости связи
• Investopedia объяснение выпуклости