Срок действия облигации

Финансовые рынки

Публичный рынок Биржа · Ценные бумаги
Рынок облигаций
Оценка облигаций Корпоративная облигация Фиксированный доход Государственная облигация Высокодоходный долг Муниципальная облигация Секьюритизация
Фондовый рынок
Обыкновенные акции Привилегированные акции Зарегистрированная акция Акции Сертификат акций Фондовая биржа
Другие рынки
Производные ( Кредитный производный инструмент Обмен фьючерсов Гибридная безопасность ) Иностранная валюта ( Валюта Обменный курс ) Товар Деньги Недвижимость Перестрахование
Внебиржевой (внебиржевой)
Нападающие Опции Спотовый рынок Свопы
Торговля
Участников Регулирование Клиринг
Связанные области
Банки и банковское дело Финансы корпоративный личный общественный
v т е

В области финансов , то срок финансового актива , который состоит из основных потоков денежных средств , например , на связь , не является средневзвешенным по времени , пока этими фиксированными денежными потоками поступают. Когда цена актива рассматривается как функция доходности , дюрация также измеряет чувствительность цены к доходности, скорость изменения цены относительно доходности или процентное изменение цены при параллельном изменении доходности. ^[1]^[2]^[3]

Двойное использование слова «продолжительность» как средневзвешенного времени до погашения и как процентного изменения цены часто вызывает путаницу. Строго говоря, дюрация Маколея - это название средневзвешенного времени до получения денежных потоков, которое измеряется в годах. Модифицированная дюрация - это название чувствительности к цене, которое представляет собой процентное изменение цены за единицу изменения доходности.

Обе меры называются «продолжительностью» и имеют одинаковое (или близкое к одному) числовое значение, но важно помнить о концептуальных различиях между ними. ^[4] Дюрация Маколея - это временная единица измерения в годах, которая действительно имеет смысл только для инструмента с фиксированными денежными потоками. Для стандартной облигации дюрация Маколея будет от 0 до срока погашения. Он равен сроку погашения тогда и только тогда, когда облигация является бескупонной .

С другой стороны, модифицированная дюрация является математической производной (скоростью изменения) цены и измеряет процентную скорость изменения цены по отношению к доходности. (Чувствительность цены к доходности также может быть измерена в абсолютных величинах (в долларах или евро и т. Д.), А абсолютная чувствительность часто упоминается как дюрация в долларах (евро) , DV01, BPV или дельта-риск (δ или Δ). ). Концепция модифицированной дюрации может применяться к инструментам, чувствительным к изменению процентной ставки, с нефиксированными денежными потоками, и, таким образом, может применяться к более широкому спектру инструментов, чем дюрация Маколея. Модифицированная дюрация используется в современных финансах чаще, чем дюрация Маколея.

Для повседневного использования равенство (или почти равенство) значений Маколея и модифицированной продолжительности может быть полезным подспорьем для интуиции. Например, стандартная десятилетняя купонная облигация будет иметь дюрацию Маколея несколько, но не значительно меньше 10 лет, и из этого мы можем сделать вывод, что модифицированная дюрация (чувствительность к цене) также будет несколько, но не резко меньше 10%. Аналогичным образом, двухлетняя купонная облигация будет иметь дюрацию Маколея несколько ниже 2 лет, а модифицированную дюрацию несколько ниже 2%.

Продолжительность Маколея [ править ]

Дюрация Маколея , названная в честь Фредерика Маколея, который представил эту концепцию, представляет собой средневзвешенный срок погашения денежных потоков , при котором время получения каждого платежа взвешивается по приведенной стоимости этого платежа. Знаменатель - это сумма весов, которая и есть цена облигации. ^[5] Рассмотрим некоторый набор фиксированных денежных потоков. Приведенная стоимость этих денежных потоков составляет:

{\ displaystyle V = \ sum _ {i = 1} ^ {n} PV_ {i}}

Продолжительность Маколея определяется как: ^[1]^[2]^[3]^[6]

(1)

{\ displaystyle MacD = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {t_ {i} PV_ {i}}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {PV_ {i} }}} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {t_ {i} PV_ {i}}} {V}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} t_ { i} {\ frac {PV_ {i}} {V}}}

куда:

${\ displaystyle i}$ индексирует денежные потоки,
${\ displaystyle PV_ {i}}$ это текущая стоимость в го платежа наличными от актива , ${\ displaystyle i}$
${\ displaystyle t_ {i}}$ время в годах до получения th платежа, ${\ displaystyle i}$
${\ displaystyle V}$ - текущая стоимость всех будущих денежных выплат от актива.

Во втором выражении дробный член - это отношение денежного потока к общей PV. Эти члены добавляют к 1,0 и служат весами для средневзвешенного значения. Таким образом, общее выражение представляет собой средневзвешенное время до выплаты денежных потоков, при этом вес представляет собой долю текущей стоимости актива, обусловленную денежным потоком . ${\ displaystyle PV_ {i}}$ ${\ displaystyle {\ frac {PV_ {i}} {V}}}$ ${\ displaystyle i}$

Для набора полностью положительных фиксированных денежных потоков средневзвешенное значение будет находиться между 0 (минимальное время) или, точнее, (время до первого платежа) и временем окончательного денежного потока. Дюрация Маколея будет равна окончательному сроку погашения тогда и только тогда, когда будет произведен только один платеж при наступлении срока погашения. Символами, если денежные потоки идут по порядку , то: ${\ displaystyle t_ {1}}$ ${\ Displaystyle (т_ {1}, ..., т_ {п})}$

{\ displaystyle t_ {1} \ leq MacD \ leq t_ {n},}

при этом неравенство будет строгим, если у него нет единого денежного потока. Что касается стандартных облигаций (для которых денежные потоки фиксированные и положительные), это означает, что дюрация Маколея будет равна сроку погашения только для бескупонной облигации.

Диаграмма длительности Маколея представлена на рисунке 1.

Рис.1: Продолжительность Маколея

Это представляет собой облигацию, обсуждаемую в примере ниже, - двухлетний срок погашения с купоном 20% и непрерывно начисляемой доходностью 3,9605%. Кружки представляют собой приведенную стоимость платежей, причем купонные выплаты становятся меньше по мере того, как они становятся в будущем, и последний крупный платеж, включающий как купонную выплату, так и окончательное погашение основной суммы долга. Если бы эти круги были помещены на балансир, точка опоры (сбалансированный центр) балки представляла бы средневзвешенное расстояние (время до платежа), которое в данном случае составляет 1,78 года.

Для большинства практических расчетов дюрация Маколея рассчитывается с использованием доходности к погашению для расчета : ${\ displaystyle PV (i)}$

(2)

V=\sum _{i=1}^{n}PV_{i}=\sum _{i=1}^{n}CF_{i}\cdot e^{-y\cdot t_{i}}

(3)

MacD=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {CF_{i}\cdot e^{-y\cdot t_{i}}}{V}}

куда:

$i$ индексирует денежные потоки,
$PV_{i}$ - текущая стоимость- го денежного платежа от актива, $i$
$CF_{i}$ является денежный поток от го платежа от актива, $i$
$y$ доходность к погашению (непрерывно начисляемая) для актива,
$t_{i}$ время в годах до получения th платежа, $i$
$V$ - текущая стоимость всех денежных выплат от актива до срока погашения.

Маколей предложил две альтернативные меры:

Выражение (1) - это дюрация Фишера – Вейля, в которой в качестве факторов дисконтирования используются цены бескупонных облигаций, и
Выражение (3), в котором для расчета коэффициентов дисконтирования используется доходность облигации к погашению.

Ключевое различие между двумя дюрациями заключается в том, что дюрация Фишера – Вейля допускает возможность наклонной кривой доходности, тогда как вторая форма основана на постоянном значении доходности , не меняющемся в зависимости от срока платежа. С использованием компьютеров обе формы могут быть вычислены, но выражение (3), предполагающее постоянную доходность, более широко используется из-за применения к измененной продолжительности. $y$

Продолжительность в сравнении со средневзвешенной продолжительностью жизни

Сходство как в значениях, так и в определениях дюрации Маколея и средневзвешенной продолжительности жизни может привести к путанице в целях и расчетах этих двух. Например, 5-летняя облигация с фиксированной процентной ставкой будет иметь средневзвешенный срок жизни 5 и дюрацию Маколея, которая должна быть очень близкой. Аналогично ведут себя ипотеки. Различия между ними следующие:

Дюрация Маколея измеряет только денежные потоки с фиксированным периодом. Средневзвешенный срок жизни учитывает все основные денежные потоки, будь то фиксированные или плавающие. Таким образом, для гибридных ипотечных кредитов ARM с фиксированным периодом в целях моделирования весь фиксированный период заканчивается в дату последнего фиксированного платежа или за месяц до сброса.
Дюрация Маколея дисконтирует все денежные потоки по соответствующей стоимости капитала. Средневзвешенная продолжительность жизни не делает скидку.
Дюрация Маколея использует как основную сумму, так и проценты при взвешивании денежных потоков. Средневзвешенный срок жизни использует только основную сумму.

Измененная продолжительность [ править ]

В отличие от дюрации Маколея, модифицированная дюрация (иногда сокращенно MD) является мерой чувствительности к цене, определяемой как процентная производная цены по отношению к доходности (логарифмическая производная цены облигации по отношению к доходности). Модифицированная дюрация применяется, когда облигация или другой актив рассматривается как функция доходности. В этом случае можно измерить логарифмическую производную по доходности:

ModD(y)\equiv -{\frac {1}{V}}\cdot {\frac {\partial V}{\partial y}}=-{\frac {\partial \ln(V)}{\partial y}}

Когда доходность выражается непрерывно сложенной, дюрация Маколея и модифицированная дюрация численно равны. Чтобы убедиться в этом, если мы возьмем производную от цены или приведенной стоимости, выражение (2), относительно непрерывно начисляемой доходности, мы увидим, что: $y$

{\frac {\partial V}{\partial y}}=-\sum _{i=1}^{n}t_{i}\cdot CF_{i}\cdot e^{-y\cdot t_{i}}=-MacD\cdot V,

Другими словами, для доходностей, выражаемых непрерывно,

ModD=MacD

. ^[1]

куда:

$i$ индексирует денежные потоки,
$t_{i}$ время в годах до получения th платежа, $i$
$V$ - текущая стоимость всех денежных выплат от актива.

Периодически смешанный [ править ]

На финансовых рынках доходность обычно выражается периодически начисляемой (например, ежегодно или каждые полгода), а не непрерывно. Тогда выражение (2) принимает следующий вид:

V(y_{k})=\sum _{i=1}^{n}PV_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {CF_{i}}{(1+y_{k}/k)^{k\cdot t_{i}}}}

MacD=\sum _{i=1}^{n}{\frac {t_{i}}{V(y_{k})}}\cdot {\frac {CF_{i}}{(1+y_{k}/k)^{k\cdot t_{i}}}}

Чтобы найти модифицированную дюрацию, когда мы берем производную от значения по периодически составляемой доходности, мы находим ^[7] $V$

{\frac {\partial V}{\partial y_{k}}}=-{\frac {1}{(1+y_{k}/k)}}\cdot \sum _{i=1}^{n}t_{i}\cdot {\frac {CF_{i}}{(1+y_{k}/k)^{k\cdot t_{i}}}}=-{\frac {MacD\cdot V(y_{k})}{(1+y_{k}/k)}}

Перестановка (разделение обеих сторон на -V) дает:

{\frac {MacD}{(1+y_{k}/k)}}=-{\frac {1}{V(y_{k})}}\cdot {\frac {\partial V}{\partial y_{k}}}\equiv ModD

что является хорошо известной взаимосвязью между модифицированной продолжительностью и продолжительностью Маколея:

ModD={\frac {MacD}{(1+y_{k}/k)}}

куда:

$i$ индексирует денежные потоки,
$k$ - частота начисления сложных процентов в год (1 для годового, 2 для полугодового, 12 для ежемесячного, 52 для еженедельного и т. д.),
$CF_{i}$ - денежный поток от th платежа по активу, $i$
$t_{i}$ время в годах до получения th платежа (например, двухлетний полугодовой период будет представлен индексом 0,5, 1,0, 1,5 и 2,0), $i$ $t_{i}$
$y_{k}$ доходность к погашению для актива, периодически начисляемая
$V$ - текущая стоимость всех денежных выплат от актива.

Это дает хорошо известную связь между длительностью Маколея и модифицированной продолжительностью, приведенной выше. Следует помнить, что, хотя продолжительность Маколея и модифицированная длительность тесно связаны, они концептуально различны. Дюрация Маколея - это средневзвешенное время до погашения (измеряемое в единицах времени, например, в годах), в то время как модифицированная дюрация является мерой чувствительности к цене, когда цена рассматривается как функция доходности, то есть процентного изменения цены по отношению к доходности.

Единицы [ править ]

Дюрация Маколея измеряется годами.

Модифицированная дюрация измеряется как процентное изменение цены на одну единицу (процентный пункт ) изменения доходности в год (например, доходность увеличивается с 8% в год (y = 0,08) до 9% в год (y = 0,09)). Это даст модифицированной продолжительности числовое значение, близкое к продолжительности Маколея (и равное, когда ставки непрерывно усложняются).

Формально, модифицированная продолжительность является полу- эластичность , то процент изменения цены за единицу изменения урожайности, а не как эластичность , которая представляет собой процентное изменение выходного сигнала на процентное изменение входного сигнала. Модифицированная дюрация - это скорость изменения, процентное изменение цены на изменение доходности.

Нефиксированные денежные потоки [ править ]

Модифицированная дюрация может быть расширена на инструменты с нефиксированными денежными потоками, в то время как дюрация Маколея применяется только к инструментам с фиксированными денежными потоками. Модифицированная дюрация определяется как логарифмическая производная цены по отношению к доходности, и такое определение будет применяться к инструментам, которые зависят от доходности, независимо от того, являются ли денежные потоки фиксированными.

Изменения конечной доходности [ править ]

Модифицированная дюрация определяется выше как производная (поскольку этот термин относится к исчислению) и поэтому основана на бесконечно малых изменениях. Модифицированная дюрация также полезна в качестве меры чувствительности рыночной цены облигации к конечным изменениям процентной ставки (т. Е. Доходности). При небольшом изменении урожайности , $\Delta y$

ModD\approx -{\frac {1}{V}}{\frac {\Delta V}{\Delta y}}\Rightarrow \Delta V\approx -V\cdot ModD\cdot \Delta y

Таким образом, модифицированная дюрация приблизительно равна процентному изменению цены для данного конечного изменения доходности. Таким образом, 15-летняя облигация с дюрацией Маколея 7 лет будет иметь модифицированную дюрацию примерно 7 лет и упадет примерно на 7% в стоимости, если процентная ставка увеличится на один процентный пункт (скажем, с 7% до 8%). ^[8]

Продолжительность Фишера – Вейля [ править ]

Дюрация Фишера – Вейля - это уточнение дюрации Маколея, которое учитывает временную структуру процентных ставок. Дюрация Фишера – Вейля рассчитывает текущую стоимость соответствующих денежных потоков (более строго) с использованием нулевого купонного дохода для каждого соответствующего срока погашения. ^[9]

Срок действия ключевой ставки [ править ]

Дюрации ключевой ставки (также называемые частичными DV01 или частичными дюрациями) являются естественным продолжением общей модифицированной дюрации для измерения чувствительности к сдвигам различных частей кривой доходности. Дюрация ключевой ставки может быть определена, например, в отношении бескупонных ставок со сроками погашения «1M», «3M», «6M», «1Y», «2Y», «3Y», «5Y», «7Y». , «10 лет», «15 лет», «20 лет», «25 лет», «30 лет». Томас Хо (1992) ^[10] ввел термин дюрация ключевой ставки. Reitano рассмотрел модели многофакторной кривой доходности еще в 1991 г. ^[11] и вернулся к этой теме в недавнем обзоре. ^[12]

Дюрация ключевых ставок требует, чтобы мы оценивали инструмент вне кривой доходности, и требует построения кривой доходности. Первоначальная методология Хо была основана на оценке инструментов от нулевой или спотовой кривой доходности и использовала линейную интерполяцию между «ключевыми ставками», но идея применима к кривым доходности, основанным на форвардных курсах, номинальных курсах и так далее. Многие технические проблемы возникают для дюрации ключевой ставки (частичные DV01), которые не возникают для стандартной общей модифицированной дюрации из-за зависимости дюрации ключевой ставки от конкретного типа кривой доходности, используемой для оценки инструментов (см. Coleman, 2011 ^{[ 3]} ).

Формулы [ править ]

Для стандартной облигации с фиксированными полугодовыми выплатами закрытая формула дюрации облигации выглядит так: ^{[ ссылка ]}

{\text{Dur}}={\frac {1}{P}}\left(C{\frac {(1+ai)(1+i)^{m}-(1+i)-(m-1+a)i}{i^{2}(1+i)^{(m-1+a)}}}+{\frac {FV(m-1+a)}{(1+i)^{(m-1+a)}}}\right)

FV = номинальная стоимость
C = купонная выплата за период (полугодие)
i = ставка дисконтирования за период (полугодие)
a = часть периода, оставшаяся до следующей выплаты купона
m = количество полных купонных периодов до погашения
P = цена облигации (приведенная стоимость денежных потоков, дисконтированных по ставке i )

Для облигации с частотой купона, но с целым числом периодов (так что период дробных выплат отсутствует) формула упрощается до: ^[13] $k$

MacD=\left[{\frac {(1+y/k)}{y/k}}-{\frac {100(1+y/k)+m(c/k-100y/k)}{(c/k)[(1+y/k)^{m}-1]+100y/k}}\right]/k

куда

y = Доходность (в год, в процентах),
c = Купон (на год, в десятичной форме),
m = Количество купонных периодов.

Пример [ править ]

Рассмотрим двухлетнюю облигацию с номинальной стоимостью 100 долларов США, полугодовым купоном 20% и доходностью 4% полугодовой совокупной доходности. Общий PV будет:

V=\sum _{i=1}^{n}PV_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {CF_{i}}{(1+y/k)^{k\cdot t_{i}}}}=\sum _{i=1}^{4}{\frac {10}{(1+.04/2)^{i}}}+{\frac {100}{(1+.04/2)^{4}}}

=9.804+9.612+9.423+9.238+92.385=130.462

Тогда продолжительность Маколея равна

{\text{MacD}}=0.5\cdot {\frac {9.804}{130.462}}+1.0\cdot {\frac {9.612}{130.462}}+1.5\cdot {\frac {9.423}{130.462}}+2.0\cdot {\frac {9.238}{130.462}}+2.0\cdot {\frac {92.385}{130.462}}=1.777\,{\text{years}}

.

Простая формула выше дает (y / k = .04 / 2 = .02, c / k = 20/2 = 10):

{\text{MacD}}=\left[{\frac {(1.02)}{0.02}}-{\frac {100(1.02)+4(10-2)}{10[(1.02)^{4}-1]+2}}\right]/2=1.777\,{\text{years}}

Модифицированная дюрация, измеряемая как процентное изменение цены на изменение доходности на один процентный пункт, составляет:

{\text{ModD}}={\frac {\text{MacD}}{(1+y/k)}}={\frac {1.777}{(1+.04/2)}}=1.742

(% изменение цены на 1 процентный пункт изменения доходности)

DV01, измеренный как изменение цены облигации с номинальной стоимостью 100 долларов в долларах на изменение доходности на один процентный пункт, равен

{\text{DV01}}={\frac {{\text{ModD}}\cdot 130.462}{100}}=2.27

($ за изменение доходности на 1 процентный пункт)

где деление на 100 связано с тем, что измененная продолжительность - это процентное изменение.

Пошаговый пример [ править ]

^[14] Рассмотрим облигацию с номинальной стоимостью 1000 долларов, купонной ставкой 5% и годовой доходностью 6,5% со сроком погашения через 5 лет. Шаги для вычисления продолжительности следующие:

1. Оцените стоимость облигации. Купоны будут составлять 50 долларов в годы 1, 2, 3 и 4. Затем, в год 5, по облигации выплачивается купон и основная сумма на общую сумму 1050 долларов. При дисконтировании к текущей стоимости 6,5% стоимость облигации составляет 937,66 долларов США. Деталь следующая:

Год 1: 50 долларов США / (1 + 6,5%) ^ 1 = 46,95

Год 2: 50 долларов / (1 + 6,5%) ^ 2 = 44,08

Год 3: 50 долларов / (1 + 6,5%) ^ 3 = 41,39

Год 4: 50 долларов / (1 + 6,5%) ^ 4 = 38,87

Год 5: 1050 долларов США / (1 + 6,5%) ^ 5 = 766,37

2. Умножьте время получения каждого денежного потока на его текущую стоимость.

Год 1: 1 * 46,95 $ = 46,95

Год 2: 2 * 44,08 $ = 88,17

Год 3: 3 * 41,39 доллара = 124,18

Год 4: 4 * 38,87 $ = 155,46

Год 5: 5 * 766,37 = 3831,87

ИТОГО: 4246,63

3. Сравните итоговую сумму из шага 2 со стоимостью облигации (шаг 1).

Продолжительность Маколея: 4246,63 / 937,66 = 4,53

Дюрация доллара, DV01, BPV, Bloomberg "Риск" [ править ]

Длительность доллара или DV01 или BPV или Блумберг Риск определяется как негативный производной величины по отношению к доходности:

D_{\$}=DV01=-{\frac {\partial V}{\partial y}}.

так что это произведение измененной продолжительности и цены (стоимости):

D_{\$}=DV01=BPV=V\cdot ModD/100

($ за изменение доходности на 1 процентный пункт)

или же

D_{\$}=DV01=V\cdot ModD/10000

($ за изменение доходности на 1 базисный пункт)

DV01 аналогичен дельте в ценообразовании производных финансовых инструментов (греки) - это отношение изменения цены на выпуске (в долларах) к изменению единицы на входе (базисная точка доходности). Дюрация в долларах или DV01 - это изменение цены в долларах, а не в процентах. Он показывает изменение стоимости облигации в долларах на единицу изменения доходности. Это часто измеряется на 1 базисный пункт - DV01 сокращенно от «долларовой стоимости 01» (или 1 базисного пункта). Название BPV ( стоимость базового пункта) или Bloomberg также используется термин «риск», часто применяемый к изменению доллара для условного изменения доходности на 100 б.п. на 100 долларов, что дает те же единицы, что и дюрация. Иногда используется PV01 (приведенная стоимость 01), хотя PV01 более точно относится к стоимости аннуитета в один доллар или один базисный пункт. (Для облигаций с номинальной стоимостью и плоской кривой доходности DV01, производная от цены по отношению к доходности, и PV01, величина годового дохода в один доллар, фактически будут иметь одинаковое значение. ^{[ Цитата необходима ]} ) DV01 или долларовая дюрация может использоваться для инструменты с нулевой авансовой стоимостью, такие как процентные свопы, где процентные изменения и модифицированная дюрация менее полезны.

Применение к стоимости, подверженной риску (VaR) [ править ]

Дюрация в долларах обычно используется для расчета стоимости, подверженной риску (VaR). Чтобы проиллюстрировать приложения к управлению рисками портфеля, рассмотрим портфель ценных бумаг, зависящих от процентных ставок, как факторы риска, и пусть $D_{\$}$ $r_{1},\ldots ,r_{n}$

V=V(r_{1},\ldots ,r_{n})\,

обозначают стоимость такого портфеля. Тогда вектор экспозиции имеет компоненты ${\boldsymbol {\omega }}=(\omega _{1},\ldots ,\omega _{n})$

\omega _{i}=-D_{\$,i}:={\frac {\partial V}{\partial r_{i}}}.

Соответственно, изменение стоимости портфеля можно аппроксимировать как

\Delta V=\sum _{i=1}^{n}\omega _{i}\,\Delta r_{i}+\sum _{1\leq i,j\leq n}O(\Delta r_{i}\,\Delta r_{j}),

то есть компонент, линейный по отношению к изменениям процентной ставки, плюс член ошибки, который является как минимум квадратичным. Эту формулу можно использовать для расчета VaR портфеля, игнорируя термины более высокого порядка. Обычно кубические или более высокие члены усекаются. Квадратичные члены, если они включены, могут быть выражены в терминах (многомерной) выпуклости облигаций. Можно сделать предположения о совместном распределении процентных ставок, а затем рассчитать VaR с помощью моделирования Монте-Карло или, в некоторых особых случаях (например, распределение Гаусса в предположении линейного приближения), даже аналитически. Формулу также можно использовать для расчета DV01 портфеля (см. Ниже) и ее можно обобщить, чтобы включить факторы риска помимо процентных ставок.

Риск - дюрация как чувствительность к процентной ставке [ править ]

Основное использование дюрации (модифицированной дюрации) - это измерение чувствительности к процентной ставке или подверженности риску. Думать о риске с точки зрения процентных ставок или доходности очень полезно, потому что это помогает нормализовать различные инструменты, которые в противном случае были бы разными. Рассмотрим, например, следующие четыре инструмента, каждый с окончательным сроком погашения 10 лет:

Описание	Купон ($ в год)	Начальная цена (из расчета на 100 долларов США условно)	Окончательный возврат основной суммы	Урожай	Маколей Продолжительность (лет)	Измененная длительность (% за 100 бп в год)	BPV или DV01 ($ за 100 баррелей в год)
5% полугодовая купонная облигация	5 долларов США	100 долларов США	100 долларов США	5%	7,99 года	7,79%	7,79 $
5% полугодовая рента	5 долларов США	$ 38,97 29	$ 0	5%	4,84 года	4,72%	1,84 доллара США
бескупонная облигация	$ 0	61,0 271 долл. США	100 долларов США	5%	10лет	9,76%	5,95 долл. США
5% фиксированный плавающий своп, фиксированный прием	5 долларов США	$ 0	$ 0	5%	NA	NA	7,79 $

Все четыре имеют 10-летний срок погашения, но чувствительность к процентным ставкам и, следовательно, риск будет разной: бескупонный имеет самую высокую чувствительность, а аннуитет - самый низкий.

Рассмотрим сначала вложение 100 долларов в каждую, что имеет смысл для трех облигаций (купонная облигация, аннуитет, бескупонная облигация - это не имеет смысла для процентного свопа, для которого нет начальных инвестиций). Модифицированная дюрация - полезный показатель для сравнения чувствительности к процентной ставке по всем трем. Бескупонная облигация будет иметь самую высокую чувствительность, изменяясь со скоростью 9,76% на изменение доходности на 100 б.п. Это означает, что если доходность вырастет с 5% до 5,01% (рост на 1 б.п.), цена упадет примерно на 0,0976% или изменится цена с 61,0271 доллара за 100 долларов до примерно 60,968 долларов. Первоначально вложенные 100 долларов упадут примерно до 99,90 долларов. Аннуитет имеет самую низкую чувствительность, примерно вдвое меньше, чем у бескупонной облигации, с модифицированной дюрацией 4,72%.

В качестве альтернативы, мы могли бы рассматривать каждый инструмент номинальной стоимостью 100 долларов. В этом случае BPV или DV01 (долларовая стоимость 01 или долларовая дюрация) является более естественной мерой. BPV в таблице - это изменение цены в долларах на условные 100 долларов при изменении доходности на 100 б.п. BPV будет иметь смысл для процентного свопа (для которого модифицированная дюрация не определена), а также для трех облигаций.

Модифицированная дюрация измеряет размер чувствительности к процентной ставке. Иногда мы можем ошибаться, полагая, что он измеряет, к какой части кривой доходности чувствителен инструмент. В конце концов, модифицированная дюрация (% изменения цены) - это почти то же число, что и дюрация Маколея (своего рода средневзвешенное количество лет до погашения). Например, приведенный выше аннуитет имеет дюрацию Маколея 4,8 года, и мы можем подумать, что он чувствителен к 5-летней доходности. Но он имеет денежные потоки до 10 лет и, следовательно, будет чувствителен к 10-летней доходности. Если мы хотим измерить чувствительность к частям кривой доходности, нам необходимо учитывать дюрации ключевых ставок .

Для облигаций с фиксированными денежными потоками изменение цены может происходить из двух источников:

Течение времени (сближение к номиналу). Это, конечно, полностью предсказуемо и, следовательно, не представляет риска.
Изменение урожайности. Это может быть связано с изменением эталонной доходности и / или изменением спреда доходности.

Отношение доходности к цене является обратным, и модифицированная дюрация дает очень полезную меру чувствительности цены к доходности. В качестве первой производной он обеспечивает линейное приближение. Для больших изменений урожайности можно добавить выпуклость , чтобы получить квадратичное приближение или приближение второго порядка. В качестве альтернативы, что часто более полезно, выпуклость может использоваться для измерения того, как изменяется модифицированная дюрация при изменении доходности. Аналогичные меры риска (первого и второго порядка), используемые на рынках опционов, - это дельта и гамма .

Модифицированная дюрация и DV01 в качестве показателей чувствительности к процентной ставке также полезны, потому что они могут применяться к инструментам и ценным бумагам с переменными или условными денежными потоками, такими как опционы.

Встроенные параметры и срок действия [ править ]

Для облигаций, которые имеют встроенные опционы , такие как облигации с правом обратной продажи и отзыва, измененная дюрация не будет правильно приближать изменение цены при изменении доходности к погашению .

Рассмотрим облигацию со встроенным опционом пут. Например, облигация на сумму 1000 долларов, которая может быть выкуплена держателем по номинальной стоимости в любое время до наступления срока погашения облигации (то есть американский пут-опцион). Какими бы высокими ни были процентные ставки, цена облигации никогда не опустится ниже 1000 долларов (без учета риска контрагента ). Чувствительность цены этой облигации к изменениям процентной ставки отличается от облигации без права обратной продажи с идентичным в остальном денежным потоком.

Чтобы установить цену на такие облигации, необходимо использовать оценку опционов для определения стоимости облигации, а затем можно вычислить ее дельту (и, следовательно, ее лямбду), то есть дюрацию. Эффективная длительность дискретное приближение этого последнего, и потребует модели оценки опционов.

{\text{Effective duration}}={\frac {V_{-\Delta y}-V_{+\Delta y}}{2(V_{0})\Delta y}}

где Δ y - величина изменения доходности, и - значения, которые примет облигация, если доходность упадет на y или повысится на y , соответственно. ( «Параллельный сдвиг» ; обратите внимание, что это значение может варьироваться в зависимости от значения, используемого для Δ y .) $V_{-\Delta y}{\text{ and }}V_{+\Delta y}$

Эти значения обычно рассчитываются с использованием древовидной модели, построенной для всей кривой доходности (в отличие от единственной доходности к погашению), и, следовательно, фиксируют поведение исполнения в каждый момент срока действия опциона как функцию как времени, так и процентных ставок. ; см. Модель решетки (финансы) # Деривативы процентной ставки .

Продолжительность распространения [ править ]

Чувствительность рыночной цены облигации к изменению скорректированного спреда по опционам (OAS). Таким образом, индекс или базовая кривая доходности остается неизменной. Активы с плавающей ставкой, которые сравниваются с индексом (например, 1-месячный или 3-месячный LIBOR) и периодически обновляются, будут иметь эффективную дюрацию, близкую к нулю, но длительность спреда, сопоставимую с идентичной в остальном облигацией с фиксированной ставкой.

Средняя продолжительность [ править ]

Чувствительность портфеля облигаций, такого как паевой фонд облигаций, к изменениям процентных ставок также может иметь значение. Часто указывается средняя дюрация облигаций в портфеле. Дюрация портфеля равна средневзвешенному сроку погашения всех денежных потоков в портфеле. Если каждая облигация имеет одинаковую доходность к погашению, это равно средневзвешенному значению дюрации портфеля облигаций с весами, пропорциональными ценам облигаций. ^[1] В противном случае средневзвешенное значение дюрации облигации является лишь хорошим приближением, но его все же можно использовать для вывода о том, как стоимость портфеля изменится в ответ на изменения процентных ставок.

Выпуклость [ править ]

Дюрация - это линейная мера того, как цена облигации изменяется в ответ на изменение процентной ставки. При изменении процентных ставок цена не изменяется линейно, а скорее является выпуклой функцией процентных ставок. Выпуклость - это мера кривизны изменения цены облигации при изменении процентной ставки. В частности, дюрация может быть сформулирована как первая производная функции цены облигации по отношению к рассматриваемой процентной ставке, а выпуклость - как вторая производная.

Выпуклость также дает представление о распределении будущих денежных потоков. (Так же, как дюрация дает дисконтированное среднее значение, так и выпуклость может использоваться для расчета дисконтированного стандартного отклонения, скажем, доходности.)

Обратите внимание, что выпуклость может быть положительной или отрицательной. Облигация с положительной выпуклостью не будет иметь никаких признаков отзыва, т. Е. Эмитент должен выкупить облигацию при наступлении срока погашения, что означает, что по мере снижения ставок ее дюрация и цена будут расти.

С другой стороны, облигация с функциями отзыва, т. Е. Где эмитент может досрочно погасить облигацию, считается имеющей отрицательную выпуклость по мере приближения ставок к страйку опциона, то есть ее дюрация будет уменьшаться по мере падения ставок, и, следовательно, ее цена поднимется не так быстро. Это связано с тем, что эмитент может выкупить старую облигацию с высоким купоном и повторно выпустить новую облигацию по более низкой ставке, тем самым предоставляя эмитенту ценную возможность. Как и в предыдущем случае, в этих случаях может быть более правильным вычислить эффективную выпуклость .

Примерами облигаций с правом отзыва являются ценные бумаги, обеспеченные ипотекой (сквозные предоплаты по ипотечным кредитам) с ипотечными кредитами с фиксированной процентной ставкой на 15 или 30 лет в американском стиле.

Коэффициент Шермана [ править ]

«Коэффициент Шермана» - это доходность, предлагаемая на единицу дюрации облигации, названная в честь главного инвестиционного директора DoubleLine Capital Джеффри Шермана. ^[15] Он был назван «самым страшным индикатором рынка облигаций» и достиг рекордно низкого уровня в 0,1968 для индекса корпоративных облигаций США. ^[16] Коэффициент - это просто предлагаемая доходность (в процентах), деленная на дюрацию облигации (в годах). ^[17]

См. Также [ править ]

Оценка облигаций
Соглашение о подсчете дней
Иммунизация (финансирование)
Список финансовых тем
Срок хранения

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

^ a b c d Халл, Джон С. (1993), Опционы, фьючерсы и другие производные ценные бумаги (второе изд.), Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc., стр. 99–101
^ a b Брили, Ричард А .; Майерс, Стюарт С.; Аллен, Франклин (2011), Принципы корпоративных финансов (десятое издание), Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Irwin, стр. 50–53.
^ a b c Коулман, Томас. «Руководство по продолжительности, DV01 и преобразованию риска кривой доходности». Сеть исследований в области социальных наук. SSRN 1733227 . Cite journal requires |journal= (help)
^ Если доходность непрерывно подсчитывается, продолжительность Маколея и модифицированная продолжительность будут численно равны. Когда доходность периодически складывается, Маколей и модифицированная дюрация будут немного отличаться, и между ними существует простая связь.
^ Fabozzi, Frank J. (2015-10-23). Рынки капитала: институты, инструменты и управление рисками . MIT Press. ISBN 978-0-262-33159-3.
^ Маррисон, Крис (2002), Основы измерения риска , Бостон, Массачусетс: McGraw-Hill, стр. 57–58
^ Берк, Джонатан; Демарзо, Питер (2011), Корпоративные финансы (второе изд.), Бостон, Массачусетс: Прентис Холл, стр. 966–969.
^ " Продолжительность Маколея " Фионы Маклахлан, Демонстрационный проект Вольфрама .
^ «Как справиться с риском колебаний процентной ставки: прибыль держателей облигаций от наивных и оптимальных стратегий». Лоуренс Фишер и Роман Л. Вейл; Journal of Business, 1971, 44 (4), стр. 408-31. JSTOR 2352056
↑ Хо, Томас SY (сентябрь 1992 г.). «Срок действия ключевой ставки: меры процентного риска». Журнал фиксированного дохода . 2 (2): 29–44. DOI : 10,3905 / jfi.1992.408049 . S2CID 154576274 .
^ Рейтано, Роберт Р. (январь 1991). «Многомерный анализ продолжительности» (PDF) . Сделки Общества актуариев . XLIII : 335–391 . Проверено 2011 . Проверить значения даты в: |access-date=( помощь )
^ Рейтано, Роберт Р. (2008). Фабоцци, Фрэнк Дж. (Ред.). «Управление рисками кривой доходности». Справочник по финансам . Хобокен, Нью-Джерси: Джон Уайли и сыновья. 3 : 215.
^ Боди; Кейн; Маркус (1993), Инвестиции (второе изд.), Стр. 478
^ Рохас Арсу, Дж. И Рока, Флоренсия, Управление рисками и объяснение деривативов , Первое издание, Amazon Kindle Direct Publishing, 2018, стр. 41 год
^ Chipata, Брайан (2 января 2020). «Это самый страшный индикатор для рынка облигаций» . Блумберг . Проверено 15 февраля 2021 года .
^ Chippata, Брайан (14 января 2021). "Самый страшный показатель на рынке облигаций хуже, чем когда-либо" . Блумберг . Проверено 15 февраля 2021 года .
^ Шерман, Джеффри. «Коэффициент Шермана» (PDF) . Дабл Лайн Капитал . Проверено 15 февраля 2021 года .

Дальнейшее чтение [ править ]

Фабоцци, Фрэнк Дж. (1999), «Основы продолжительности и выпуклости», Продолжительность, выпуклость и другие меры риска по облигациям, Серия Фрэнка Дж. Фабоцци, 58 , Джон Вили и сыновья, ISBN 9781883249632
Майл, Янв (1994), Стандартные методы расчета ценных бумаг: формулы ценных бумаг с фиксированным доходом для аналитических показателей , 2 (1-е изд.), Ассоциация индустрии ценных бумаг и финансовых рынков , ISBN 1-882936-01-9. Стандартный справочник конвенций, применимых к ценным бумагам США.

Рохас Арсу, Хорхе; Рока, Флоренсия (декабрь 2018 г.), Управление рисками и производные инструменты , Amazon Kindle Direct Publishing , стр. 43–44, ISBN 9781791814342

Внешние ссылки [ править ]

Энциклопедия рисков для хорошего объяснения многочисленных определений продолжительности и их происхождения.
Пошаговое видео-руководство
Объяснение длительности Investopedia

[Hull-1] Халл, Джон С. (1993), Опционы, фьючерсы и другие производные ценные бумаги (второе изд.), Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc., стр. 99–101

[Brealey-2] Брили, Ричард А .; Майерс, Стюарт С.; Аллен, Франклин (2011), Принципы корпоративных финансов (десятое издание), Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Irwin, стр. 50–53.

[Coleman-3] Коулман, Томас. «Руководство по продолжительности, DV01 и преобразованию риска кривой доходности». Сеть исследований в области социальных наук. SSRN 1733227 . Cite journal requires |journal= (help)

[4] Если доходность непрерывно подсчитывается, продолжительность Маколея и модифицированная продолжительность будут численно равны. Когда доходность периодически складывается, Маколей и модифицированная дюрация будут немного отличаться, и между ними существует простая связь.

[5] Fabozzi, Frank J. (2015-10-23). Рынки капитала: институты, инструменты и управление рисками . MIT Press. ISBN 978-0-262-33159-3.

[Marrison-6] Маррисон, Крис (2002), Основы измерения риска , Бостон, Массачусетс: McGraw-Hill, стр. 57–58

[Berk-7] Берк, Джонатан; Демарзо, Питер (2011), Корпоративные финансы (второе изд.), Бостон, Массачусетс: Прентис Холл, стр. 966–969.

[8] " Продолжительность Маколея " Фионы Маклахлан, Демонстрационный проект Вольфрама .

[9] «Как справиться с риском колебаний процентной ставки: прибыль держателей облигаций от наивных и оптимальных стратегий». Лоуренс Фишер и Роман Л. Вейл; Journal of Business, 1971, 44 (4), стр. 408-31. JSTOR 2352056

[10] Хо, Томас SY (сентябрь 1992 г.). «Срок действия ключевой ставки: меры процентного риска». Журнал фиксированного дохода . 2 (2): 29–44. DOI : 10,3905 / jfi.1992.408049 . S2CID 154576274 .

[11] Рейтано, Роберт Р. (январь 1991). «Многомерный анализ продолжительности» (PDF) . Сделки Общества актуариев . XLIII : 335–391 . Проверено 2011 . Проверить значения даты в: |access-date=( помощь )

[12] Рейтано, Роберт Р. (2008). Фабоцци, Фрэнк Дж. (Ред.). «Управление рисками кривой доходности». Справочник по финансам . Хобокен, Нью-Джерси: Джон Уайли и сыновья. 3 : 215.

[13] Боди; Кейн; Маркус (1993), Инвестиции (второе изд.), Стр. 478

[14] Рохас Арсу, Дж. И Рока, Флоренсия, Управление рисками и объяснение деривативов , Первое издание, Amazon Kindle Direct Publishing, 2018, стр. 41 год

[15] Chipata, Брайан (2 января 2020). «Это самый страшный индикатор для рынка облигаций» . Блумберг . Проверено 15 февраля 2021 года .

[16] Chippata, Брайан (14 января 2021). "Самый страшный показатель на рынке облигаций хуже, чем когда-либо" . Блумберг . Проверено 15 февраля 2021 года .

[17] Шерман, Джеффри. «Коэффициент Шермана» (PDF) . Дабл Лайн Капитал . Проверено 15 февраля 2021 года .

vтеРынок облигаций
Связь Долговые обязательства Фиксированный доход
Типы облигаций по эмитенту	Агентская облигация Корпоративная облигация Старший долг Субординированный долг Проблемный долг Долг развивающихся рынков Государственная облигация Муниципальная облигация
Виды облигаций по выплате	Накопительный залог Безопасность аукциона Облигация с правом отзыва Вексель Консоль Условная конвертируемая облигация Конвертируемая облигация Обмениваемая облигация Продлеваемая облигация Облигация с фиксированной ставкой Вексель с плавающей ставкой Высокодоходный долг Облигации с индексом инфляции Векселя с обратной плавающей ставкой Бессрочная облигация Облигация с правом обратной продажи Обратно конвертируемые ценные бумаги Бескупонная облигация
Оценка облигаций	Чистая цена Выпуклость Купон Кредитный спред Текущий доход Грязная цена Продолжительность Я-распространение Доходность по ипотеке Номинальная доходность Спред с поправкой на опцион Безрисковая облигация Средневзвешенная жизнь Кривая доходности Спред доходности Доходность к погашению Z-распространение
Секьюритизированные продукты	Безопасность, обеспеченная активами Обеспеченное долговое обязательство Обеспеченное ипотечное обязательство Коммерческое обеспечение, обеспеченное ипотекой Обеспечение ипотечным залогом
Варианты облигаций	Облигация с правом отзыва Конвертируемая облигация Встроенный вариант Обмениваемая облигация Продлеваемая облигация Облигация с правом обратной продажи
Учреждения	Ассоциация коммерческих ипотечных ценных бумаг (CMSA) Международная ассоциация рынков капитала (ICMA) Ассоциация индустрии ценных бумаг и финансовых рынков (SIFMA)