Связанное состояние

В квантовой физике , А связанное состояние представляет собой квантовое состояние частицы субъекта к потенциальному таким образом, что частица имеет тенденцию оставаться локализованными в одной или несколько областях пространства. Потенциал может быть внешним или быть результатом присутствия другой частицы; в последнем случае можно эквивалентно определить связанное состояние как состояние, представляющее две или более частицы, энергия взаимодействия которых превышает полную энергию каждой отдельной частицы. Одно из следствий состоит в том, что, если потенциал обращается в нуль на бесконечности , состояния с отрицательной энергией должны быть связаны. В целом энергетический спектр множества связанных состояний дискретно, в отличие от свободных частиц, которые имеют непрерывный спектр.

Хотя это и не связанные состояния в строгом смысле слова, метастабильные состояния с чистой положительной энергией взаимодействия, но с большим временем распада также часто считаются нестабильными связанными состояниями и называются «квазисвязанными состояниями». ^[1] Примеры включают определенные радионуклиды и электреты . ^{[ требуется уточнение ]}^{[ необходима цитата ]}

В релятивистской квантовой теории поля устойчивое связанное состояние $n$ частиц с массами соответствует полюсу в S-матрице с энергией в центре масс меньше, чем . An нестабильное связанное состояние проявляется как полюс с комплексной системой центра масс энергии. ${\ Displaystyle \ {м_ {к} \} _ {к = 1} ^ {п}}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {k} m_ {k}}$

Примеры [ править ]

Обзор различных семейств элементарных и составных частиц и теорий, описывающих их взаимодействия.

.

Протон и электрон может двигаться по отдельности; когда они это делают, полная энергия центра масс положительна, и такую пару частиц можно описать как ионизированный атом. Как только электрон начинает "вращаться" вокруг протона, энергия становится отрицательной, и образуется связанное состояние, а именно атом водорода . Только связанное состояние с самой низкой энергией, основное состояние , является стабильным. Другие возбужденные состояния нестабильны и будут распадаться на стабильные (но не в другие нестабильные) связанные состояния с меньшей энергией, испуская фотон .
Позитроний «атом» является неустойчивым связанным состоянием из электрона и позитрона . Он распадается на фотоны .
Любое состояние в квантовом гармоническом осцилляторе связано, но имеет положительную энергию. Обратите внимание на это , поэтому приведенное ниже не применимо. ${\ displaystyle \ lim _ {х \ к \ pm \ infty} {V _ {\ text {QHO}} (x)} = \ infty}$
Ядро представляет собой связанное состояние протонов и нейтронов ( нуклонов ).
Сам протон представляет собой связанное состояние трех кварков (два верхних и один нижний ; один красный , один зеленый и один синий ). Однако, в отличие от атома водорода, отдельные кварки никогда не могут быть изолированы. Смотрите заключение .
Модели Хаббарда и Джейнса-Каммингса-Хаббарда (JCH) поддерживают похожие связанные состояния. В модели Хаббарда два отталкивающих бозонных атома могут образовывать связанную пару в оптической решетке . ^[2]^[3]^[4] Гамильтониан JCH также поддерживает связанные состояния двух поляритонов, когда взаимодействие фотон-атом достаточно велико. ^[5]

Определение [ править ]

Пусть $H$ комплексное гильбертово пространство отделимо, одним-параметрической группа унитарных операторов на $H$ и быть статистическим оператором на $H$ . Пусть быть наблюдаемыми на $H$ и быть индуцированное распределение вероятностей $А$ по отношению к $р$ на борелевской а-алгебры в . Тогда эволюция $ρ,$ индуцированная $U$ , связана относительно $A,$ если , где . ^[^{сомнительно}^-^{обсудить} ${\ Displaystyle U = \ lbrace U (t) \ mid t \ in \ mathbb {R} \ rbrace}$ ${\ Displaystyle \ rho = \ rho (t_ {0})}$ ${\ displaystyle \ mu (A, \ rho)}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ $\lim _{R\rightarrow \infty }{\sup _{t\geq t_{0}}{\mu (A,\rho (t))(\mathbb {R} _{>R})}}=0$ $\mathbb {R} _{>R}=\lbrace x\in \mathbb {R} \mid x>R\rbrace$ ^]^{[ необходима ссылка ]}

Более неформально, связанное состояние содержится в пределах ограниченной части спектра $А$ . Для конкретного примера: пусть $A$ будет позицией. Учитывая компактно-опорные и . $H=L^{2}(\mathbb {R} )$ $\rho =\rho (0)\in H$ $[-1,1]\subseteq \mathrm {Supp} (\rho )$

Если эволюция состояния $ρ$ «постоянно перемещает этот волновой пакет вправо», например, если для всех , то $ρ$ не является связанным состоянием относительно положения. $[t-1,t+1]\in \mathrm {Supp} (\rho (t))$ $t\geq 0$
Если не меняется во времени, т.е. для всех , то привязан по положению. $\rho$ $\rho (t)=\rho$ $t\geq 0$ $\rho$
В более общем смысле: если эволюция состояния $ρ$ «просто перемещает $ρ$ внутри ограниченной области», то $ρ$ ограничена по положению.

Свойства [ править ]

Пусть $A$ имеет область значений пространства меры . Квантовая частица находится в связанном состоянии, если она никогда не обнаруживается «слишком далеко от какой-либо конечной области », то есть с использованием представления волновой функции, $(X;\mu )$ $R\subseteq X$

${\begin{aligned}0&=\lim _{R\to \infty }{\mathbb {P} ({\text{particle measured inside }}X\setminus R)}\\&=\lim _{R\to \infty }{\int _{X\setminus R}|\psi (x)|^{2}\,d\mu (x)}\end{aligned}}$

Следовательно, конечно. Другими словами, состояние является связанным состоянием тогда и только тогда, когда оно конечно нормализуемо. $\int _{X}{|\psi (x)|^{2}\,d\mu (x)}$

Поскольку конечно нормализуемые состояния должны находиться в дискретной части спектра, связанные состояния должны находиться внутри дискретной части. Однако, как указывали Нойман и Вигнер , связанное состояние может иметь свою энергию, расположенную в непрерывном спектре. ^[6] В этом случае связанные состояния все еще являются частью дискретной части спектра, но проявляются как массы Дирака в спектральной мере. ^{[ необходима цитата ]}

Состояния с привязкой к положению [ править ]

Рассмотрим одночастичное уравнение Шредингера. Если состояние имеет энергию , то волновая функция $ψ$ удовлетворяет для некоторого $E<\operatorname {max} {\left(\lim _{x\to \infty }{V(x)},\lim _{x\to -\infty }{V(x)}\right)}$ $X>0$

{\frac {\psi ^{\prime \prime }}{\psi }}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(V(x)-E)>0{\text{ for }}x>X

так что $ψ$ экспоненциально подавляется при больших $x$ . ^{[ сомнительно - обсудить ]} Следовательно, состояния с отрицательной энергией связаны, если V обращается в нуль на бесконечности.

Требования [ править ]

Бозон с массой $т х$ опосредование в слабо соединенное взаимодействии производит юкавский-подобный потенциалу взаимодействия,

V(r)=\pm {\frac {\alpha _{\chi }}{r}}e^{-{\frac {r}{\lambda \!\!\!{\frac {}{\ }}_{\chi }}}}

,

где , $g$ - калибровочная константа связи, а $ƛ$ $i$ $=$ $\alpha _{\chi }=g^{2}/4\pi$ $ℏ / м я с$ - приведенная длина волны Комптона . Скалярный бозон производит универсально привлекательный потенциал, в то время как вектор притягивает частицы античастиц , но отталкивает , как пар. Для двух частиц массы $т 1$ и $т 2$ , то радиус Бора системы становится

a_{0}={\frac {{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{1}+{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{2}}{\alpha _{\chi }}}

и дает безразмерное число

D={\frac {{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{\chi }}{a_{0}}}=\alpha _{\chi }{\frac {{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{\chi }}{{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{1}+{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{2}}}=\alpha _{\chi }{\frac {m_{1}+m_{2}}{m_{\chi }}}

.

Для того , чтобы первое связанное состояние , чтобы существовать, . Поскольку фотон безмассовый, для электромагнетизма $D$ бесконечно . Для слабого взаимодействия , в Z - бозона масс «сек является $D\gtrsim 0.8$ 91,1876 ± 0,0021 ГэВ / c ² , что предотвращает образование связанных состояний между большинством частиц, так как97.2 раз протона «S массы иВ 178000 раз больше массы электрона .

Однако обратите внимание, что если бы взаимодействие Хиггса не нарушало электрослабую симметрию в электрослабом масштабе , тогда слабое взаимодействие SU (2) стало бы ограничивающим . ^[7]

См. Также [ править ]

Составное поле
Резонанс (физика элементарных частиц)
Уравнение Бете – Солпитера
Купер пара

Ссылки [ править ]

Перейти ↑ Sakurai, Jun (1995). «7,8». Ин Туан, Сан (ред.). Современная квантовая механика (перераб.). Чтение, Массачусетс: Эддисон-Уэсли. С. 418–9. ISBN 0-201-53929-2. Предположим, что барьер бесконечно высок ... мы ожидаем связанных состояний с энергией E > 0. ... Это стационарные состояния с бесконечным временем жизни. В более реалистичном случае конечного барьера частица может быть захвачена внутри, но не может быть захвачена вечно. Такое захваченное состояние имеет конечное время жизни из-за квантово-механического туннелирования. ... Назовем такое состояние квазисвязанным состоянием, потому что оно было бы честным связанным состоянием, если бы барьер был бесконечно высоким.
^ К. Винклер; Г. Тальхаммер; Ф. Ланг; Р. Гримм; JH Denschlag; AJ Daley; А. Кантиан; HP Buchler; П. Золлер (2006). «Отталкивающе связанные пары атомов в оптической решетке». Природа . 441 (7095): 853–856. arXiv : cond-mat / 0605196 . Bibcode : 2006Natur.441..853W . DOI : 10,1038 / природа04918 . PMID 16778884 .
^ Яванайнен, Юха; Одонг Отим; Сандерс, Джером К. (апрель 2010 г.). «Димер двух бозонов в одномерной оптической решетке». Phys. Rev. A . 81 (4): 043609. arXiv : 1004.5118 . Bibcode : 2010PhRvA..81d3609J . DOI : 10.1103 / PhysRevA.81.043609 .
^ М. Валиенте и Д. Петросян (2008). «Двухчастичные состояния в модели Хаббарда». J. Phys. Летучая мышь. Мол. Опт. Phys . 41 (16): 161002. arXiv : 0805.1812 . Bibcode : 2008JPhB ... 41p1002V . DOI : 10.1088 / 0953-4075 / 41/16/161002 .
^ Макс TC Wong & CK Law (май 2011 г.). «Связанные состояния двух поляритонов в модели Джейнса-Каммингса-Хаббарда». Phys. Rev. A . Американское физическое общество . 83 (5): 055802. arXiv : 1101.1366 . Bibcode : 2011PhRvA..83e5802W . DOI : 10.1103 / PhysRevA.83.055802 .
^ фон Нейман, Джон; Вигнер, Юджин (1929). "Über merkwürdige diskrete Eigenwerte". Physikalische Zeitschrift . 30 : 465–467.
^ Claudson, M .; Farhi, E .; Джаффе, Р.Л. (1 августа 1986 г.). «Сильно связанная стандартная модель». Physical Review D . 34 (3): 873–887. DOI : 10.1103 / PhysRevD.34.873 .

[1] Перейти ↑ Sakurai, Jun (1995). «7,8». Ин Туан, Сан (ред.). Современная квантовая механика (перераб.). Чтение, Массачусетс: Эддисон-Уэсли. С. 418–9. ISBN 0-201-53929-2. Предположим, что барьер бесконечно высок ... мы ожидаем связанных состояний с энергией E > 0. ... Это стационарные состояния с бесконечным временем жизни. В более реалистичном случае конечного барьера частица может быть захвачена внутри, но не может быть захвачена вечно. Такое захваченное состояние имеет конечное время жизни из-за квантово-механического туннелирования. ... Назовем такое состояние квазисвязанным состоянием, потому что оно было бы честным связанным состоянием, если бы барьер был бесконечно высоким.

[2] К. Винклер; Г. Тальхаммер; Ф. Ланг; Р. Гримм; JH Denschlag; AJ Daley; А. Кантиан; HP Buchler; П. Золлер (2006). «Отталкивающе связанные пары атомов в оптической решетке». Природа . 441 (7095): 853–856. arXiv : cond-mat / 0605196 . Bibcode : 2006Natur.441..853W . DOI : 10,1038 / природа04918 . PMID 16778884 .

[3] Яванайнен, Юха; Одонг Отим; Сандерс, Джером К. (апрель 2010 г.). «Димер двух бозонов в одномерной оптической решетке». Phys. Rev. A . 81 (4): 043609. arXiv : 1004.5118 . Bibcode : 2010PhRvA..81d3609J . DOI : 10.1103 / PhysRevA.81.043609 .

[4] М. Валиенте и Д. Петросян (2008). «Двухчастичные состояния в модели Хаббарда». J. Phys. Летучая мышь. Мол. Опт. Phys . 41 (16): 161002. arXiv : 0805.1812 . Bibcode : 2008JPhB ... 41p1002V . DOI : 10.1088 / 0953-4075 / 41/16/161002 .

[5] Макс TC Wong & CK Law (май 2011 г.). «Связанные состояния двух поляритонов в модели Джейнса-Каммингса-Хаббарда». Phys. Rev. A . Американское физическое общество . 83 (5): 055802. arXiv : 1101.1366 . Bibcode : 2011PhRvA..83e5802W . DOI : 10.1103 / PhysRevA.83.055802 .

[6] фон Нейман, Джон; Вигнер, Юджин (1929). "Über merkwürdige diskrete Eigenwerte". Physikalische Zeitschrift . 30 : 465–467.

[7] Claudson, M .; Farhi, E .; Джаффе, Р.Л. (1 августа 1986 г.). «Сильно связанная стандартная модель». Physical Review D . 34 (3): 873–887. DOI : 10.1103 / PhysRevD.34.873 .

[1]