Теорема Карлесона является фундаментальным результатом математического анализа , устанавливающим поточечную ( лебеговскую ) сходимость почти всюду рядов Фурье функций L 2 , доказанную Леннартом Карлесоном ( 1966 ). Это имя также часто используется для обозначения распространения результата Ричарда Ханта ( 1968 ) на функции Lp для p ∈ ( 1 , ∞] (также известного как теорема Карлесона–Ханта ) и аналогичных результатов для поточечных почти всюду сходимостьИнтегралы Фурье , эквивалентность которых можно показать методами переноса.
Фундаментальный вопрос о рядах Фурье, заданный самим Фурье в начале XIX века, заключается в том, сходится ли ряд Фурье непрерывной функции поточечно к этой функции.
Слегка усилив предположение о непрерывности, легко показать, что ряд Фурье сходится всюду. Например, если функция имеет ограниченную вариацию , то ее ряд Фурье всюду сходится к локальному среднему значению функции. В частности, если функция непрерывно дифференцируема, то ее ряд Фурье сходится к ней всюду. Это было доказано Дирихле, который выразил уверенность, что вскоре сможет распространить свой результат на все непрерывные функции. Другой способ добиться сходимости всюду — изменить метод суммирования. Например, теорема Фейера показывает, что если заменить обычное суммирование суммированием Чезарото ряд Фурье любой непрерывной функции сходится равномерно к этой функции. Далее, легко показать, что ряд Фурье любой L2 - функции сходится к ней по L2 - норме .
После результата Дирихле несколько экспертов, в том числе Дирихле, Риман, Вейерштрасс и Дедекинд, заявили о своей вере в то, что ряд Фурье любой непрерывной функции будет сходиться повсюду. Это было опровергнуто Полом дю Буа-Реймоном , показавшим в 1876 году, что существует непрерывная функция, ряд Фурье которой расходится в одной точке .
Сходимость почти всюду рядов Фурье для функций L 2 была постулирована Н. Н. Лузиным ( 1915 ), и проблема была известна как гипотеза Лузина (до ее доказательства Карлесоном (1966) ). Колмогоров (1923) показал, что аналог результата Карлесона для L 1 неверен, найдя такую функцию, ряд Фурье которой расходится почти всюду (немного улучшенный в 1926 году до расходящегося везде). До результата Карлесона наилучшей известной оценкой частных сумм s n ряда Фурье функции из L p была
доказано Колмогоровым-Селиверстовым-Плесснером для p = 2, Г. Х. Харди для p = 1 и Литтлвудом-Пэли для p > 1 ( Zygmund 2002 ). Этот результат не улучшался в течение нескольких десятилетий, что заставило некоторых экспертов заподозрить, что он был наилучшим из возможных и что гипотеза Лузина была ложной. Контрпример Колмогорова в L 1 был неограничен ни в каком интервале, но считалось лишь вопросом времени, когда будет найден непрерывный контрпример. Карлесон сказал в интервью Raussen & Skau (2007) .что он начал с попытки найти непрерывный контрпример и в какой-то момент подумал, что у него есть метод, который позволит его построить, но в конце концов понял, что его подход не работает. Затем он попытался вместо этого доказать гипотезу Лузина, поскольку провал его контрпримера убедил его в том, что она, вероятно, верна.