Гипотеза Каталонии

Гипотеза Каталана (или теорема Mihailescu в ) является теоремой в теории чисел , который предположил математик Эжена Чарльз каталонского в 1844 году и испытанной в 2002 годе Пред Mihailescu . ^[1]^[2] Целые числа 2 ³ и 3 ² две силы из натуральных чисел , чьи значения (8 и 9, соответственно) являются последовательными. Теорема утверждает, что это единственный случай двух последовательных степеней. То есть, что

Гипотеза Каталана - единственное решение в натуральных числах от

{\ displaystyle x ^ {a} -y ^ {b} = 1}

для $a$ , $b$ > 1, $x$ , $y$ > 0 это $x$ = 3, $a$ = 2, $y$ = 2, $b$ = 3.

История [ править ]

История проблемы восходит, по крайней мере, к Герсониду , который доказал частный случай гипотезы в 1343 г., когда ( x , y ) ограничивалось (2, 3) или (3, 2). Первый значительный прогресс после того, как Каталан высказал свою гипотезу, произошел в 1850 году, когда Виктор-Амеде Лебег рассмотрел случай b = 2. ^[3]

В 1976 году Роберт Тейдеман применил метод Бейкера в теории трансцендентности, чтобы установить границу для a, b, и использовал существующие результаты, ограничивающие x , y в терминах a , b, чтобы дать эффективную верхнюю оценку для x , y , a , b . Мишель Ланжевен вычислил значение границы. ^[4] Это разрешило гипотезу Каталана во всех случаях, кроме конечного числа. Тем не менее конечные вычисления, необходимые для завершения доказательства теоремы, были слишком трудоемкими для выполнения. ${\ Displaystyle \ ехр \ ехр \ ехр \ ехр 730 \ приблизительно 10 ^ {10 ^ {10 ^ {10 ^ {317}}}}}$

Гипотеза Каталана была доказана Предой Михайлеску в апреле 2002 года. Доказательство было опубликовано в Journal für die reine und angewandte Mathematik , 2004. В нем широко используется теория круговых полей и модули Галуа . Изложение доказательства было дано Юрием Билу в Séminaire Bourbaki . ^[5] В 2005 году Михэилеску опубликовал упрощенное доказательство. ^[6]

Обобщение [ править ]

Это гипотеза, что для любого натурального числа n существует только конечное число пар совершенных степеней с разностью n . В приведенном ниже списке показаны для n ≤ 64 все решения для идеальных мощностей меньше 10 ¹⁸ , как OEIS : A076427 . См. Также OEIS : A103953 для наименьшего решения (> 0).

п	количество решений	числа k такие, что k и k + n являются совершенными степенями	п	количество решений	числа k такие, что k и k + n являются совершенными степенями
1	1	8	33	2	16, 256
2	1	25	34	0	никто
3	2	1, 125	35 год	3	1, 289, 1296
4	3	4, 32, 121	36	2	64, 1728 г.
5	2	4, 27	37	3	27, 324, 14 348 907
6	0	никто	38	1	1331
7	5	1, 9, 25, 121, 32 761	39	4	25, 361, 961, 10 609
8	3	1, 8, 97 336	40	4	9, 81, 216, 2704
9	4	16, 27, 216, 64 000	41 год	3	8, 128, 400
10	1	2187	42	0	никто
11	4	16, 25, 3125, 3364	43 год	1	441
12	2	4, 2197	44 год	3	81, 100, 125
13	3	36, 243, 4900	45	4	4, 36, 484, 9216
14	0	никто	46	1	243
15	3	1, 49, 1 295 029	47	6	81, 169, 196, 529, 1681, 250 000
16	3	9, 16, 128	48	4	1, 16, 121, 21904
17	7	8, 32, 64, 512, 79 507 , г.140 608 , г.143 384 152 904	49	3	32, 576, 274 576
18	3	9, 225, 343	50	0	никто
19	5	8, 81, 125, 324, 503 284 356	51	2	49, 625
20	2	16, 196	52	1	144
21 год	2	4, 100	53	2	676, 24 336
22	2	27, 2187	54	2	27, 289
23	4	4, 9, 121, 2025 г.	55	3	9, 729, 175 561
24	5	1, 8, 25, 1000, 542 939 080 312	56	4	8, 25, 169, 5776
25	2	100, 144	57	3	64, 343, 784
26 год	3	1, 42 849 , г.6 436 343	58	0	никто
27	3	9, 169, 216	59	1	841
28 год	7	4, 8, 36, 100, 484, 50 625 , г.131 044	60	4	4, 196, г. 2 515 396 , г.2 535 525 316
29	1	196	61	2	64, 900
30	1	6859	62	0	никто
31 год	2	1, 225	63	4	1, 81, 961, 183 250 369
32	4	4, 32, 49, 7744	64	4	36, 64, 225, 512

Гипотеза Пиллаи [ править ]

Нерешенная задача по математике :

Каждое ли положительное целое число встречается только конечное число раз как разность совершенных степеней?

(больше нерешенных задач по математике)

Гипотеза Пиллаи касается общего различия совершенных степеней (последовательность A001597 в OEIS ): это открытая проблема, первоначально предложенная С.С. Пиллаи , который предположил, что промежутки в последовательности совершенных степеней стремятся к бесконечности. Это эквивалентно утверждению, что каждое положительное целое число встречается только конечное число раз как разность совершенных степеней: в более общем плане, в 1931 году Пиллаи предположил, что для фиксированных целых положительных чисел A , B , C уравнение имеет только конечное число решений ( x , y , m , n ) с ( m , n ${\ displaystyle Ax ^ {n} -По ^ {m} = C}$ ) ≠ (2, 2). Пиллаи доказал, что разница для любого λ меньше 1 равномерна по m и n . ^[7] ${\ displaystyle | Ax ^ {n} -By ^ {m} | \ gg x ^ {\ lambda n}}$

Общая гипотеза вытекает из гипотезы ABC . ^[7]^[8]

Пол Эрдеш предположил ^{[ необходима цитата ],} что возрастающая последовательность совершенных степеней удовлетворяет некоторой положительной константе c и всем достаточно большим n . $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ $a_{n+1}-a_{n}>n^{c}$

См. Также [ править ]

Гипотеза Била
Уравнение xʸ = yˣ
Гипотеза Ферма – Каталонии
Уравнение Рамануджана – Нагелла
Теорема Стёрмера
Теорема Тийдемана

Заметки [ править ]

^ Вайсштейн, Эрик В. , гипотеза Каталонии , MathWorld
^ Mihailescu 2004
↑ Victor-Amédée Lebesgue (1850), "Sur l'impossibilité, en nombres entiers, de l'équation x ^m = y ² +1", Nouvelles annales de mathématiques , 1 ^re série, 9 : 178–181
^ Рибенбойм, Пауло (1979), 13 лекций по Великой теореме Ферма , Springer-Verlag , стр. 236, ISBN 0-387-90432-8, Zbl 0456,10006
^ Бил, Юрий (2004), «гипотеза Каталана» , Seminaire Бурбаки об. 2003/04 Exposés 909-923 , Astérisque, 294 , стр. 1-26
^ Mihailescu 2005
^ Б Narkiewicz, Wladyslaw (2011), Рациональная теория чисел в 20 - м веке: От ПНТ к FLT , Springer Монография в области математики, Springer-Verlag ., Стр 253 -254, ISBN 978-0-857-29531-6
^ Шмидт, Вольфганг М. (1996), Диофантовы приближения и диофантовы уравнения , Лекционные заметки по математике, 1467 (2-е изд.), Springer-Verlag , p. 207, ISBN 3-540-54058-Х, Zbl 0754,11020

Ссылки [ править ]

Билу, Юрий (2004), «Гипотеза Каталонии (после Михайлеску)», Astérisque , 294 : vii, 1–26, MR 2111637
Каталонский, Евгений (1844), «Note extraite d'une lettre adressée à l'éditeur» , J. Reine Angew. Математика. (по - французски), 27 : 192, DOI : 10,1515 / crll.1844.27.192 , МР 1578392
Коэн, Анри (2005). Демонстрация каталонской гипотезы [ Доказательство каталонской гипотезы ]. Théorie algorithmique des nombres et équations diophantiennes (на французском языке). Palaiseau: Éditions de l'École Polytechnique. С. 1–83. ISBN 2-7302-1293-0. Руководство по ремонту 0222434 .
Метсянкюля, Тауно (2004), «Гипотеза Каталонии: решена еще одна старая диофантова проблема» (PDF) , Бюллетень Американского математического общества , 41 (1): 43–57, DOI : 10.1090 / S0273-0979-03-00993-5 , MR 2015449
Михэилеску, Преда (2004), «Первичные циклотомические единицы и доказательство гипотезы Каталонии», J. Reine Angew. Математика. , Две тысячи четыре (572): 167-195, DOI : 10,1515 / crll.2004.048 , МР 2076124
Михэилеску, Преда (2005), «Отражение, числа Бернулли и доказательство гипотезы Каталонии» (PDF) , Европейский математический конгресс , Цюрих: Eur. Математика. Soc .: 325–340, MR 2185753
Рибенбойм, Пауло (1994), Catalan's Conjecture , Бостон, Массачусетс: Academic Press, Inc., ISBN 0-12-587170-8, Руководство по ремонту 1259738 Предтечает доказательство Михэилеску.
Тийдеман, Роберт (1976), "Об уравнении каталонского языка" (PDF) , Acta Arith. , 29 (2): 197-209, DOI : 10,4064 / аа-29-2-197-209 , МР 0404137

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза Каталонии» . MathWorld .
MathTrek Иварса Петерсона
О разнице совершенных сил
Жанин Дэмс: циклотомическое доказательство гипотезы Каталонии

[1] Вайсштейн, Эрик В. , гипотеза Каталонии , MathWorld

[2] Mihailescu 2004

[3] Victor-Amédée Lebesgue (1850), "Sur l'impossibilité, en nombres entiers, de l'équation x ^m = y ² +1", Nouvelles annales de mathématiques , 1 ^re série, 9 : 178–181

[4] Рибенбойм, Пауло (1979), 13 лекций по Великой теореме Ферма , Springer-Verlag , стр. 236, ISBN 0-387-90432-8, Zbl 0456,10006

[5] Бил, Юрий (2004), «гипотеза Каталана» , Seminaire Бурбаки об. 2003/04 Exposés 909-923 , Astérisque, 294 , стр. 1-26

[6] Mihailescu 2005

[rnt-7] Б Narkiewicz, Wladyslaw (2011), Рациональная теория чисел в 20 - м веке: От ПНТ к FLT , Springer Монография в области математики, Springer-Verlag ., Стр 253 -254, ISBN 978-0-857-29531-6

[8] Шмидт, Вольфганг М. (1996), Диофантовы приближения и диофантовы уравнения , Лекционные заметки по математике, 1467 (2-е изд.), Springer-Verlag , p. 207, ISBN 3-540-54058-Х, Zbl 0754,11020

[1]