В теории групп , теорема Кэли , названная в честь Артура Кэли , утверждает , что каждая группа G является изоморфной к подгруппе из симметрической группы , действующей на G . [1] Это может быть понято как пример действия группы из G на элементах G . [2] Теорема может быть получена путем явного построения представления внутри представления симметрической группы матриц перестановок, которое иногда называют регулярным представлением .
Перестановка множества G любая биективен функция принимает G на G . Множество всех перестановок группы G образует группу относительно композиции функций , называемую симметрической группой на G и записываемой как Sym ( G ). [3]
Теорема Кэли ставит все группы на одну и ту же основу, рассматривая любую группу (включая бесконечные группы, такие как ( R , +)) как группу перестановок некоторого основного множества. Таким образом, теоремы, которые верны для подгрупп групп перестановок, верны и для групп в целом. Тем не менее, Альперин и Белл отмечают, что «в целом тот факт, что конечные группы вложены в симметрические группы, не повлиял на методы, используемые для изучения конечных групп». [4]
Регулярное действие используется в стандартном доказательстве теоремы Кэли не дает представление G в минимальной - порядка группы перестановок. Например,, уже являющаяся симметричной группой порядка 6, будет представлена регулярным действием как подгруппа (группа порядка 720). [5] Действительно, комплексное регулярное представление конечных групп фактически образовано прямой суммой всех неприводимых представлений с кратностью, равной их размерности. Проблема вложения группы в симметрическую группу минимального порядка довольно сложна. [6] [7]
История
Хотя это кажется достаточно элементарным, в то время современных определений не существовало, и когда Кэли представил то, что теперь называется группами, не сразу стало ясно, что это эквивалентно ранее известным группам, которые теперь называются группами перестановок . Теорема Кэли объединяет их.
Хотя бернсайдовского [8] приписывает теорему Иордана , [9] Эрик Nummela [10] , тем не менее утверждает , что стандарт name- «Теорема Кэли» -это на самом деле уместно. Кэли в своей оригинальной статье 1854 года [11] показал, что соответствие в теореме взаимно однозначно, но ему не удалось явно показать, что это гомоморфизм (и, следовательно, вложение). Тем не менее, Нуммела отмечает, что Кэли сделал этот результат известным математическому сообществу в то время, таким образом опередив Иорданию примерно на 16 лет.
Теорема была позже опубликована Вальтером Дайком в 1882 году [12] и приписывается Дейку в первом издании книги Бернсайда. [13]
Доказательство теоремы
Если g - любой элемент группы G с операцией ∗, рассмотрим функцию f g : G → G , определенную формулой f g ( x ) = g ∗ x . По наличию обратных эта функция имеет двустороннюю обратную:. Таким образом, умножение на g действует как биективная функция. Таким образом, f g является перестановкой G , а значит, и членом Sym ( G ).
Множество К = { е г : г ∈ G } является подгруппой Sym ( G ) , что изоморфна G . Быстрый способ установить это, чтобы рассмотреть функцию T : G → Sym ( G ) с Т ( г ) = е г для каждого г в G . T - гомоморфизм групп, потому что (используя · для обозначения композиции в Sym ( G )):
для всех x в G , а значит:
Гомоморфизм Т является инъективны , так как Т ( г ) = Идентификатор G (единичный элемент Sym ( G )) следует , что г * х = х для всех х в G , и принимая х , чтобы быть единичный элемент е из G дает г = g ∗ e = e , т.е. ядро тривиально. С другой стороны, T также инъективен, поскольку g ∗ x = g ′ ∗ x влечет, что g = g ′ (поскольку каждая группа сокращается ).
Таким образом , G изоморфна образу T , который является подгруппой К .
T иногда называют регулярное представление G .
Альтернативная установка доказательства
В альтернативной настройке используется язык групповых действий . Мы рассматриваем группу как действующий сам на себя левым умножением, т.е. , который имеет перестановочное представление, скажем .
Представление является верным, если инъективно, т. е. если ядро тривиально. Предполагать. Потом,. Таким образом,тривиально. Результат следует из первой теоремы об изоморфизме , из которой получаем.
Замечания о регулярном представлении группы
Идентификационный элемент группы соответствует перестановке идентичности. Все остальные элементы группы соответствуют расстройствам : перестановкам, которые не оставляют ни один элемент неизменным. Поскольку это также применимо к степеням элемента группы, меньшему, чем порядок этого элемента, каждый элемент соответствует перестановке, которая состоит из циклов одинаковой длины: эта длина является порядком этого элемента. Элементы в каждом цикле образуют правый смежный класс подгруппы, порожденной элементом.
Примеры регулярного группового представления
Z 2 = {0,1} со сложением по модулю 2; элемент группы 0 соответствует тождественной перестановке e, элемент группы 1 - перестановке (12). Например, 0 +1 = 1 и 1 + 1 = 0, поэтому 1 -> 0 и 0 -> 1, как при перестановке.
Z 3 = {0,1,2} со сложением по модулю 3; групповой элемент 0 соответствует тождественной перестановке e, групповой элемент 1 - перестановке (123), а групповой элемент 2 - перестановке (132). Например, 1 + 1 = 2 соответствует (123) (123) = (132).
Z 4 = {0,1,2,3} со сложением по модулю 4; элементы соответствуют e, (1234), (13) (24), (1432).
Элементы четырехгруппы Клейна {e, a, b, c} соответствуют e, (12) (34), (13) (24) и (14) (23).
S 3 ( группа диэдра порядка 6 ) - это группа всех перестановок 3 объектов, но также группа перестановок из 6 элементов группы, и последняя - это то, как она реализуется с помощью своего регулярного представления.
* | е | а | б | c | d | ж | перестановка |
---|---|---|---|---|---|---|---|
е | е | а | б | c | d | ж | е |
а | а | е | d | ж | б | c | (12) (35) (46) |
б | б | ж | е | d | c | а | (13) (26) (45) |
c | c | d | ж | е | а | б | (14) (25) (36) |
d | d | c | а | б | ж | е | (156) (243) |
ж | ж | б | c | а | е | d | (165) (234) |
Более общая формулировка теоремы
Более общее утверждение теоремы Кэли состоит в рассмотрении ядра произвольной группы. В общем, если это группа и является подгруппой с , тогда изоморфна подгруппе . В частности, если конечная группа, и положим тогда получаем классический результат.
Смотрите также
- Теорема Вагнера – Престона является аналогом для инверсных полугрупп.
- порядок включения , аналогичный результат в теории порядка
- По теореме Фрухта каждая конечная группа является группой автоморфизмов графа
- Лемма Йонеды , обобщение теоремы Кэли в теории категорий
- Теорема представления
Заметки
- ^ Якобсон (2009 , стр. 38)
- Перейти ↑ Jacobson (2009 , p. 72, ex.1)
- ^ Якобсон (2009 , стр.31)
- ^ JL Альперин; Роуэн Б. Белл (1995). Группы и представления . Springer. п. 29 . ISBN 978-0-387-94525-5.
- ^ Питер Дж. Кэмерон (2008). Введение в алгебру, второе издание . Издательство Оксфордского университета. п. 134 . ISBN 978-0-19-852793-0.
- ^ Джонсон, DL (1971). «Представления конечных групп с минимальной перестановкой». Американский журнал математики . 93 (4): 857. DOI : 10,2307 / 2373739 . JSTOR 2373739 .
- ^ Гречкосеева, М.А. (2003). «О минимальных перестановочных представлениях классических простых групп». Сибирский математический журнал . 44 (3): 443–462. DOI : 10,1023 / A: 1023860730624 .
- ^ Бернсайд, Уильям (1911), Теория групп конечного порядка (2-е изд.), Кембридж, стр. 22, ISBN 0-486-49575-2
- ^ Джордан, Камилла (1870), Traite des замен и алгебраических уравнений , Париж: Gauther-Villars
- ^ Nummela, Эрик (1980), "Теорема Кэли для топологических групп", American Mathematical Monthly , Математическая ассоциация Америки, 87 (3): 202-203, DOI : 10,2307 / 2321608 , JSTOR 2321608
- ^ Кэли, Артур (1854), «К теории групп, зависящих от символического уравнения θ n = 1» , Philosophical Magazine , 7 (42): 40–47
- ^ фон Дайк, Вальтер (1882), "Gruppentheoretische Studien" [теоретико-групповые исследования], Mathematische Annalen , 20 (1): 30, doi : 10.1007 / BF01443322 , hdl : 2027 / njp.32101075301422 , ISSN 0025-5831. (на немецком)
- ^ Бернсайд, Уильям (1897), Теория групп конечного порядка (1-е изд.), Кембридж, стр. 22
Рекомендации
- Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра (2-е изд.), Довер, ISBN 978-0-486-47189-1.