В математике термин « игра хаоса» первоначально относился к методу создания фрактала с использованием многоугольника и начальной точки, выбранной случайным образом внутри него. [1] [2] Фрактал создается путем итеративного создания последовательности точек, начиная с начальной случайной точки, в которой каждая точка в последовательности представляет собой заданную дробь.расстояния между предыдущей точкой и одной из вершин многоугольника; вершина выбирается случайным образом на каждой итерации. Повторение этого итеративного процесса большое количество раз, случайный выбор вершины на каждой итерации и отбрасывание первых нескольких точек в последовательности часто (но не всегда) приводит к образованию фрактальной формы. Использование правильного треугольника и множителя 1/2 приведет к треугольнику Серпинского , а создание правильного расположения с четырьмя точками и множителем 1/2 создаст отображение "Тетраэдра Серпинского", трехмерного аналога Серпинского. треугольник. Когда число точек увеличивается до числа N, расположение образует соответствующий (N-1) -мерный симплекс Серпинского .
Этот термин был обобщен для обозначения метода создания аттрактора или фиксированной точки любой итерированной функциональной системы (IFS). Начиная с любой точки x 0 , последовательные итерации формируются как x k + 1 = f r (x k ), где f r - член данной IFS, случайно выбранный для каждой итерации. Итерации сходятся к фиксированной точке IFS. Когда x 0 принадлежит аттрактору IFS, все итерации x k остаются внутри аттрактора и с вероятностью 1 образуют в нем плотное множество .
Метод «игры в хаос» строит точки в случайном порядке по всему аттрактору. Это отличается от других методов рисования фракталов, которые проверяют каждый пиксель на экране, чтобы увидеть, принадлежит ли он фракталу. Общая форма фрактала может быть быстро построена с помощью метода «игры хаоса», но может быть трудно отобразить некоторые области фрактала в деталях.
Метод «игры хаоса» упоминается в пьесе Тома Стоппарда « Аркадия» 1993 года . [3]
С помощью «игры в хаос» можно создать новый фрактал и при создании нового фрактала получить некоторые параметры. Эти параметры полезны для приложений теории фракталов, таких как классификация и идентификация. [4] [5] Новый фрактал самоподобен оригиналу в некоторых важных особенностях, таких как фрактальная размерность.
Если в «игре хаоса» вы начинаете с каждой вершины и проходите все возможные пути, которые может пройти игра, вы получите то же изображение, что и при выборе только одного случайного пути. Однако использование более одного пути выполняется редко, поскольку накладные расходы на отслеживание каждого пути значительно замедляют вычисление. У этого метода есть преимущества, заключающиеся в том, что он более четко иллюстрирует формирование фрактала, чем стандартный метод, а также в том, что он детерминирован.
Ограниченная игра хаоса [ править ]
Если игра в хаос запускается с квадратом, фрактал не появляется, а внутренняя часть квадрата равномерно заполняется точками. Однако, если на выбор вершин наложены ограничения, в квадрате появятся фракталы. Например, если текущая вершина не может быть выбрана на следующей итерации, появляется этот фрактал:
Если текущая вершина не может находиться на расстоянии одного места (против часовой стрелки) от ранее выбранной вершины, появляется этот фрактал:
Если точка не может приземлиться в определенной области квадрата, форма этой области будет воспроизведена как фрактал в других и очевидно неограниченных частях квадрата. Вот, например, фрактал, созданный, когда точка не может прыгнуть, чтобы приземлиться на красный символ Ом в центре квадрата [ требуется дальнейшее объяснение ] :
- Другие ограничения создают дополнительные фракталы:
Точка внутри квадрата многократно прыгает на половину расстояния к случайно выбранной вершине, но текущая выбранная вершина не может быть на 2 места от ранее выбранной вершины.
Точка внутри квадрата многократно прыгает на половину расстояния к случайно выбранной вершине, но текущая выбранная вершина не может соседствовать с ранее выбранной вершиной, если две ранее выбранные вершины совпадают.
Точка внутри пятиугольника многократно прыгает на половину расстояния к случайно выбранной вершине, но текущая выбранная вершина не может совпадать с ранее выбранной вершиной.
Точка внутри пятиугольника многократно прыгает на половину расстояния к случайно выбранной вершине, но текущая выбранная вершина не может соседствовать с ранее выбранной вершиной, если две ранее выбранные вершины совпадают.
Прыжки кроме 1/2 [ править ]
Когда длина прыжка к вершине или другой точке не равна 1/2, игра в хаос генерирует другие фракталы, некоторые из которых очень хорошо известны. Например, когда прыжок составляет 2/3, а точка может также прыгать к центру квадрата, игра хаоса генерирует фрактал Вичека :
Когда прыжок составляет 2/3 и точка может также прыгать к центрам четырех сторон, игра хаоса генерирует ковер Серпинского :
Когда прыжок равен 1 / фи, а точка случайным образом прыгает к той или иной из пяти вершин правильного пятиугольника, игра хаоса генерирует пятиугольную n-чешуйку :
См. Также [ править ]
- Теория хаоса
Внешние ссылки [ править ]
- Симуляторы игр хаоса, сделанные с помощью Scratch .
- Объяснение игры хаос на Beltoforion.de.
Ссылки [ править ]
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Игра хаоса» . MathWorld .
- ^ Барнсли, Майкл (1993). Фракталы везде . Морган Кауфманн . ISBN 978-0-12-079061-6.
- ^ Девани, Роберт Л. «Хаос, фракталы и Аркадия» . Математический факультет Бостонского университета.
- ^ Джампур, Махди; Ягуби, Махди; Ашурзаде, Марьям; Сулеймани, Адель (1 сентября 2010 г.). «Новая быстрая техника идентификации отпечатков пальцев с помощью теории фракталов и хаоса» . Фракталы . 18 (3): 293–300. DOI : 10.1142 / s0218348x10005020 . ISSN 0218-348X - через ResearchGate .
- ^ Джампур, Махди; Javidi, Mohammad M .; Солеймани, Адель; Ашурзаде, Марьям; Ягхуби, Махди (2010). «Новая техника сохранения отпечатков пальцев с низким уровнем громкости с помощью игры хаоса и теории фракталов» . Международный журнал интерактивных мультимедиа и искусственного интеллекта . 1 (3): 27. DOI : 10,9781 / ijimai.2010.135 . ISSN 1989-1660 .