Постоянная Чигера

В римановой геометрии , то Чигера изопериметрическая константа из компактного риманова многообразия М является положительной действительным числом ч ( М ) определяется в терминах минимальной площади о наличии гиперповерхности , которая делит М на две непересекающихся части. В 1970 году Джефф Чигера доказал неравенство, связанные с первым нетривиальное собственное из оператора Лапласа-Бельтрами на М в ч ( М ). Эта идея оказалась очень влиятельной в римановой геометрии и глобальном анализе.и вдохновил аналогичную теорию на графы .

Определение [ править ]

Пусть M - n -мерное замкнутое риманово многообразие. Пусть V ( A ) обозначает объем n- мерного подмногообразия A, а S ( E ) обозначает n −1-мерный объем подмногообразия E (обычно называемого «площадью» в этом контексте). Чигера изопериметрическая константа из М определяется как

{\ Displaystyle час (М) = \ inf _ {E} {\ гидроразрыва {S (E)} {\ min (V (A), V (B))}},}

где нижняя грань берется по всем гладким п -1-мерных подмногообразий Е из М , которые делят его на два непересекающихся подмногообразий A и B . Изопериметрическая постоянная может быть определена в более общем виде для некомпактных римановых многообразий конечного объема.

Неравенство Чигера [ править ]

Постоянная Чигера h ( M ) и наименьшее положительное собственное значение лапласиана на M связаны следующим фундаментальным неравенством, доказанным Джеффом Чигером : ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ lambda _ {1} (M)},}$

{\ displaystyle \ lambda _ {1} (M) \ geq {\ frac {h ^ {2} (M)} {4}}.}

Это неравенство оптимально в следующем смысле: для любого h > 0, натурального числа k и ε > 0 существует двумерное риманово многообразие M с изопериметрической константой h ( M ) = h и такое, что k- е собственное значение лапласиан находится в пределах ε от границы Чигера (Buser, 1978).

Неравенство Баззера [ править ]

Питер Базер доказал верхнюю оценку в терминах изопериметрической константы h ( M ). Пусть M - n -мерное замкнутое риманово многообразие, кривизна Риччи которого ограничена снизу величиной - ( n - 1) a ² , где a ≥ 0. Тогда ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ lambda _ {1} (M)}}$

{\ displaystyle \ lambda _ {1} (M) \ leq 2a (n-1) h (M) + 10h ^ {2} (M).}

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Баззар, Питер (1982). «Примечание об изопериметрической постоянной» . Аня. Sci. École Norm. Как дела. (4) . 15 (2): 213–230. Руководство по ремонту 0683635 .
Баззар, Питер (1978). "Über eine Ungleichung von Cheeger" [О неравенстве Чигера]. Математика. З. (на немецком языке). 158 (3): 245–252. DOI : 10.1007 / BF01214795 . Руководство по ремонту 0478248 .
Чигер, Джефф (1970). «Нижняя оценка наименьшего собственного значения лапласиана». В Ганнинге, Роберт С. (ред.). Проблемы анализа (Статьи, посвященные Саломону Бохнеру , 1969) . Принстон, Нью-Джерси: Princeton Univ. Нажмите. С. 195–199. Руководство по ремонту 0402831 .

Любоцкий, Александр (1994). Дискретные группы, расширяющиеся графы и инвариантные меры . Современная классика Биркхойзера. С приложением Джонатана Д. Рогавски. Базель: Birkhäuser Verlag. DOI : 10.1007 / 978-3-0346-0332-4 . ISBN 978-3-0346-0331-7. Руководство по ремонту 2569682 .