Ко-хопфианская группа

В математической теме теории групп , совместно хопфовой группа представляет собой группу , которая не изоморфна ни одному из своих собственных подгрупп . Это понятие двойственно по отношению к группе Хопфа , названной в честь Хайнца Хопфа . ^[1]

Формальное определение

Группа G называется со-хопфовой , если всякий раз , когда это инъективны гомоморфизм групп , то есть сюръективны , то есть . ^[2] ${\ displaystyle \ varphi: G \ to G}$ ${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ Displaystyle \ varphi (G) = G}$

Примеры и не примеры

Каждая конечная группа G кохопфова.
Бесконечная циклическая группа не является ко-хопфовой, поскольку является инъективным, но не сюръективным гомоморфизмом. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z}, f (n) = 2n}$
Аддитивная группа действительных чисел не является ко-хопфовой, поскольку является бесконечномерным векторным пространством над и, следовательно, как группа . ^[2] ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ cong \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R}}$
Аддитивная группа рациональных чисел и фактор-группа когопфовы. ^[2] ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z}}$
Мультипликативная группа ненулевых рациональных чисел не является ко-хопфовой, поскольку отображение является инъективным, но не сюръективным гомоморфизмом. ^[2] Таким же образом группа положительных рациональных чисел не когопфова. ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ^ {\ ast}}$ $\mathbb {Q} ^{\ast }\to \mathbb {Q} ^{\ast },q\mapsto \operatorname {sign} (q)\,q^{2}$ $\mathbb {Q} _{+}^{\ast }$
Мультипликативная группа ненулевых комплексных чисел не когопфова. ^[2] $\mathbb {C} ^{\ast }$
Для каждого свободная абелева группа не совместно хопфовый. ^[2] $n\geq 1$ $\mathbb {Z} ^{n}$
Для каждого свободной группа не совместно хопфовый. ^[2] $n\geq 1$ $F_{n}$
Существует конечно порожденная неэлементарная (т.е. не виртуально циклическая) виртуально свободная группа, ко-хопфова. Таким образом, подгруппа конечного индекса в конечно порожденной кохопфовой группе не обязательно должна быть кохопфовой, и ее кохопфова характеристика не является инвариантом квазиизометрии для конечно порожденных групп. ^[3]
Группы Баумслага – Солитера , где , не являются кохопфовыми. ^[4] $BS(1,m)$ $m\geq 1$
Если G является фундаментальной группой замкнутого асферического многообразия с ненулевым Эйлером характеристикой (или с ненулевым симплициальном объемом или ненулевой L ² -Betti числа ), то G является одним из хопфового. ^[5]
Если G - фундаментальная группа замкнутого связного ориентированного неприводимого трехмерного многообразия M, то G когопфово тогда и только тогда, когда никакое конечное покрытие M не является расслоением торов над окружностью или произведением окружности и замкнутой поверхности. ^[6]
Если G неприводимая решетка в вещественной полупростой группе Ли и G не является практически свободной группой, то G когопфова. ^[7] Например, этот факт относится к группе для . $SL(n,\mathbb {Z} )$ $n\geq 3$
Если G односторонняя гиперболическая группа без кручения, то G когопфова группа по результату Селы . ^[8]
Если G - фундаментальная группа полного гладкого риманова n -многообразия конечного объема (где n > 2) защемленной отрицательной кривизны, то G когопфово. ^[9]
Группа классов отображений замкнутой гиперболической поверхности когопфова. ^[10]
Группа Out ( F n ) (где n > 2) когопфова. ^[11]
Дельзант и Полягайло дали характеристику ко-хопфичности геометрически конечных клейновых групп изометрий без 2-кручения. ^[12] $\mathbb {H} ^{n}$
Прямоугольные артины группа (где есть конечный непустой граф) не является одним из хопфовой; отправка каждого стандартного генератора в степень определяет и эндоморфизм которого инъективен, но не сюръективен. ^[13] $A(\Gamma )$ $\Gamma$ $A(\Gamma )$ $>1$ $A(\Gamma )$
Конечно порожденная нильпотентная группа без кручения G может быть либо когопфовой, либо не когопфовой, в зависимости от свойств связанной с ней рациональной алгебры Ли . ^[5]^[3]
Если G является относительно гиперболической группы и является инъективным , но не сюръективен эндоморфизмом G , то либо параболический для некоторых к > 1 , или G расщепляется над практически циклическим или параболической подгруппой. ^[14] $\varphi :G\to G$ $\varphi ^{k}(G)$
Группа Григорчука G промежуточного роста не является кохопфовой. ^[15]
Группа Томпсона F не когопфова. ^[16]
Существует конечно порожденная группа G, которая не является кохопфовой, но обладает свойством Каждана (T) . ^[17]
Если G - универсальная конечно представленная группа Хигмана, то G не является кохопфовой, и G не может быть вложена в конечно порожденную рекурсивно представимую кохопфову группу. ^[18]

Обобщения и родственные понятия

Группа G называется конечно ко-хопфовой ^[19], если всякий раз, когда она является инъективным эндоморфизмом, образ которого имеет конечный индекс в G, тогда . Например, для в свободную группе не совместно хопфовый , но это конечно со-хопфовое. $\varphi :G\to G$ $\varphi (G)=G$ $n\geq 2$ $F_{n}$
Конечно порожденная группа G называется масштабно-инвариантной, если существует вложенная последовательность подгрупп конечного индекса группы G , каждая из которых изоморфна G и пересечение которых является конечной группой. ^[4]
Группа G называется дис-когопфовой ^[3], если существует такой инъективный эндоморфизм , что . $\varphi :G\to G$ $\bigcap _{n=1}^{\infty }\varphi ^{n}(G)=\{1\}$
В грубой геометрии метрическое пространство X называется квазиизометрически ко-хопфом, если каждое квазиизометрическое вложение грубо сюръективно (то есть является квазиизометрией). Точно так же X называется грубо ко-хопфовым, если каждое грубое вложение грубо сюръективно. ^[20] $f:X\to X$ $f:X\to X$
В метрической геометрии метрическое пространство K называется квазисимметрично ко-хопфовым, если каждое квазисимметричное вложение находится на. ^[21] $K\to K$

Смотрите также

Хопфовский объект

использованная литература

^ Вильгельм Магнус , Абрахам Каррасс, Дональд Солитар, комбинаторная теория групп. Представления групп в терминах генераторов и отношений , Перепечатка второго издания 1976 г., Dover Publications, Inc., Минеола, Нью-Йорк, 2004. ISBN 0-486-43830-9
^ a b c d e f g П. де ла Харп, Вопросы геометрической теории групп . Чикагские лекции по математике. University of Chicago Press, Чикаго, Иллинойс, 2000. ISBN 0-226-31719-6 ; п. 58
^ a b c Ив Корнелье, Градуировки на алгебрах Ли, систолический рост и когопфовые свойства нильпотентных групп . Бюллетень математического общества Франции 144 (2016), вып. 4. С. 693–744.
^ a b Владимир Некрашевич, Габор Пит, Масштабно-инвариантные группы . Группы, геометрия и динамика 5 (2011), вып. 1. С. 139–167.
^ a b Игорь Белеград, О кохопфовых нильпотентных группах . Бюллетень Лондонского математического общества 35 (2003), вып. 6. С. 805–811.
^ Ши Ченг Ван, и Ин Цин Ву, Накрывающие инварианты и ко-хопфичность групп трехмерных многообразий. Труды Лондонского математического общества 68 (1994), вып. 1. С. 203–224.
^ Гопал Прасад Дискретные подгруппы, изоморфные решеткам в полупростых группах Ли . Американский журнал математики 98 (1976), вып. 1, 241–261
^ Злил Села , Структура и жесткость в (Громов) гиперболических группах и дискретных группах в группах Ли ранга 1. II. Геометрический и функциональный анализ 7 (1997), вып. 3. С. 561–593.
^ I. Белеградек, О жесткости Мостова для переменной отрицательной кривизны . Топология 41 (2002), вып. 2. С. 341–361.
^ Николай Иванов и Джон Маккарти, Об инъективных гомоморфизмах между модулярными группами Тейхмюллера. I. Inventiones Mathematicae 135 (1999), нет. 2. С. 425–486.
^ Бенсон Фарб и Майкл Handel, Commensurations из Out ( F_п) , публикации Mathématiques де l'IHES 105 (2007), стр. 1-48
^ Томас Дельзант и Леонид Потягайло, Эндоморфизмы клейновых групп . Геометрический и функциональный анализ 13 (2003), вып. 2. С. 396–436.
^ Монтсеррат Казальс-Руис, Вложимость и квазиизометрическая классификация частично коммутативных групп . Алгебраическая и геометрическая топология 16 (2016), вып. 1, 597–620
^ Корнелия Druţu и Марк Сапир , Группы, действующие на древовидных пространствах и расщеплениях относительно гиперболических групп . Успехи математики 217 (2008), вып. 3. С. 1313–1367.
^ Игорь Лысёнок, Набор определяющих соотношений для группы Григорчука. (на русском языке ) Математические заметки 38 (1985), нет. 4, 503–516
^ Bronlyn Wassink, Подгруппы группы Р. Томпсона F, которые изоморфны F. Группы, Сложность, Криптология 3 (2011), нет. 2, 239–256
^ Ян Оливье и Дэниел Вайз , Группы Каждана с бесконечной группой внешних автоморфизмов . Труды Американского математического общества 359 (2007), вып. 5. С. 1959–1976.
^ Чарльз Ф. Миллер и Пол Шупп , Вложения в группы Хопфа . Журнал алгебры 17 (1971), стр. 171–176.
^ Мартин Бридсон , Дэниел Гроувс, Джонатан Хиллман, Гавен Мартин , Cofinither Hopfian группы, открытые отображения и узловые дополнения. Группы, геометрия и динамика 4 (2010), вып. 4. С. 693–707.
^ Илья Капович, Антон Лукьяненко, Квазиизометрическая ко-хопфичность неоднородных решеток в полупростых группах Ли ранга один. Конформная геометрия и динамика 16 (2012), стр. 269–282.
^ Сергей Меренков, Ковер Серпинского с ко-хопфовским свойством . Математические изобретения 180 (2010), нет. 2. С. 361–388.

дальнейшее чтение

К. Варадараджан, Хопфианские и ко-хопфианские объекты , Publicacions Matemàtiques 36 (1992), нет. 1. С. 293–317.

[1] Вильгельм Магнус , Абрахам Каррасс, Дональд Солитар, комбинаторная теория групп. Представления групп в терминах генераторов и отношений , Перепечатка второго издания 1976 г., Dover Publications, Inc., Минеола, Нью-Йорк, 2004. ISBN 0-486-43830-9

[DLH-2] П. де ла Харп, Вопросы геометрической теории групп . Чикагские лекции по математике. University of Chicago Press, Чикаго, Иллинойс, 2000. ISBN 0-226-31719-6 ; п. 58

[COR-3] Ив Корнелье, Градуировки на алгебрах Ли, систолический рост и когопфовые свойства нильпотентных групп . Бюллетень математического общества Франции 144 (2016), вып. 4. С. 693–744.

[NP-4] Владимир Некрашевич, Габор Пит, Масштабно-инвариантные группы . Группы, геометрия и динамика 5 (2011), вып. 1. С. 139–167.

[B-5] Игорь Белеград, О кохопфовых нильпотентных группах . Бюллетень Лондонского математического общества 35 (2003), вып. 6. С. 805–811.

[6] Ши Ченг Ван, и Ин Цин Ву, Накрывающие инварианты и ко-хопфичность групп трехмерных многообразий. Труды Лондонского математического общества 68 (1994), вып. 1. С. 203–224.

[7] Гопал Прасад Дискретные подгруппы, изоморфные решеткам в полупростых группах Ли . Американский журнал математики 98 (1976), вып. 1, 241–261

[8] Злил Села , Структура и жесткость в (Громов) гиперболических группах и дискретных группах в группах Ли ранга 1. II. Геометрический и функциональный анализ 7 (1997), вып. 3. С. 561–593.

[9] I. Белеградек, О жесткости Мостова для переменной отрицательной кривизны . Топология 41 (2002), вып. 2. С. 341–361.

[10] Николай Иванов и Джон Маккарти, Об инъективных гомоморфизмах между модулярными группами Тейхмюллера. I. Inventiones Mathematicae 135 (1999), нет. 2. С. 425–486.

[11] Бенсон Фарб и Майкл Handel, Commensurations из Out ( F_п) , публикации Mathématiques де l'IHES 105 (2007), стр. 1-48

[12] Томас Дельзант и Леонид Потягайло, Эндоморфизмы клейновых групп . Геометрический и функциональный анализ 13 (2003), вып. 2. С. 396–436.

[13] Монтсеррат Казальс-Руис, Вложимость и квазиизометрическая классификация частично коммутативных групп . Алгебраическая и геометрическая топология 16 (2016), вып. 1, 597–620

[14] Корнелия Druţu и Марк Сапир , Группы, действующие на древовидных пространствах и расщеплениях относительно гиперболических групп . Успехи математики 217 (2008), вып. 3. С. 1313–1367.

[15] Игорь Лысёнок, Набор определяющих соотношений для группы Григорчука. (на русском языке ) Математические заметки 38 (1985), нет. 4, 503–516

[16] Bronlyn Wassink, Подгруппы группы Р. Томпсона F, которые изоморфны F. Группы, Сложность, Криптология 3 (2011), нет. 2, 239–256

[17] Ян Оливье и Дэниел Вайз , Группы Каждана с бесконечной группой внешних автоморфизмов . Труды Американского математического общества 359 (2007), вып. 5. С. 1959–1976.

[18] Чарльз Ф. Миллер и Пол Шупп , Вложения в группы Хопфа . Журнал алгебры 17 (1971), стр. 171–176.

[19] Мартин Бридсон , Дэниел Гроувс, Джонатан Хиллман, Гавен Мартин , Cofinither Hopfian группы, открытые отображения и узловые дополнения. Группы, геометрия и динамика 4 (2010), вып. 4. С. 693–707.

[20] Илья Капович, Антон Лукьяненко, Квазиизометрическая ко-хопфичность неоднородных решеток в полупростых группах Ли ранга один. Конформная геометрия и динамика 16 (2012), стр. 269–282.

[21] Сергей Меренков, Ковер Серпинского с ко-хопфовским свойством . Математические изобретения 180 (2010), нет. 2. С. 361–388.

[1]