- Для определения этого слова см. Определение виртуального слова в Викисловаре .
В математике , особенно в области абстрактной алгебры , изучающей бесконечные группы , наречие виртуально используется для модификации свойства, так что оно должно выполняться только для подгруппы конечного индекса . Учитывая свойство P, группа G называется виртуально P, если существует подгруппа конечного индекса такая, что H обладает свойством P.
Обычно это используется, когда P является абелевым , нильпотентным , разрешимым или свободным . Например, виртуально разрешимые группы являются одной из двух альтернатив альтернативы Титса , в то время как теорема Громова утверждает, что конечно порожденные группы с полиномиальным ростом являются в точности конечно порожденными виртуально нильпотентными группами.
Эта терминология также используется, когда P - просто другая группа. То есть, если G и Н представляет собой группа , то G является практически Н , если G имеет подгруппу K конечного индекса в G такое , что К является изоморфно к H .
В частности, группа практически тривиальна тогда и только тогда, когда она конечна. Две группы практически равны тогда и только тогда, когда они соизмеримы .
Примеры [ править ]
Практически абелев [ править ]
Следующие группы практически абелевы.
- Любая абелева группа.
- Любое полупрямое произведение, где N абелево, а H конечно. (Например, любая обобщенная группа диэдра .)
- Любое полупрямое произведение, где N конечно, а H абелева.
- Любая конечная группа (поскольку тривиальная подгруппа абелева).
Практически нильпотентный [ править ]
- Любая практически абелева группа.
- Любая нильпотентная группа.
- Любое полупрямое произведение, где N нильпотентно, а H конечно.
- Любое полупрямое произведение, где N конечно, а H нильпотентно.
Теорема Громова утверждает, что конечно порожденная группа практически нильпотентна тогда и только тогда, когда она имеет полиномиальный рост.
Практически полициклический [ править ]
Практически бесплатно [ править ]
- Любая бесплатная группа .
- Любая практически циклическая группа.
- Любое полупрямое произведение, в котором N свободно, а H конечно.
- Любое полупрямое произведение, где N конечно, а H свободно.
- Любое свободное произведение , где H и K конечны. (Например, модульная группа .)
Из теоремы Столлинга следует, что любая виртуально свободная группа без кручения свободна.
Другое [ править ]
Свободная группа на 2 образующих является практически любой как следствие теоремы Нильсена – Шрайера и формулы индекса Шрайера .
Группа виртуально подключена, так как имеет в ней индекс 2.
Ссылки [ править ]
Поищите практически в Викисловаре , бесплатном словаре. |
- Шнебели, Ганс Рудольф (1978). «О виртуальных свойствах и расширениях групп». Mathematische Zeitschrift . 159 : 159–167. DOI : 10.1007 / bf01214488 . Zbl 0358.20048 .