Топологическая K -теория

В математике , топологический K -теория является ветвью алгебраической топологии . Он был основан для изучения векторных расслоений на топологических пространствах с помощью идей, которые теперь считаются (общей) K-теорией, которые были введены Александром Гротендиком . Ранняя работа над топологической K- теорией принадлежит Майклу Атье и Фридриху Хирцебруху .

Определения [ править ]

Пусть X - компактное хаусдорфово пространство и или . Затем определяются , чтобы быть группой Гротендика из коммутативного моноиде из классов изоморфизма конечномерных K -векторных расслоения над X при Уитне суммы . Тензорное произведение расслоений придает K -теории коммутативную кольцевую структуру. Без индексов обычно обозначает комплексную K -теорию, тогда как реальная K -теория иногда записывается как . Остальное обсуждение сосредоточено на сложных${\ Displaystyle к = \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle K_ {k} (X)}$${\ Displaystyle К (Х)}$${\ Displaystyle КО (X)}$К -теория.

В качестве первого примера отметим, что K -теория точки - это целые числа. Это связано с тем, что векторные расслоения над точкой тривиальны и, следовательно, классифицируются по их рангу, а группа Гротендика натуральных чисел - это целые числа.

Существует также редуцированная версия K -теории, определяющая для X компактное точечное пространство (ср. Редуцированные гомологии ). Эта редуцированная теория интуитивно представляет собой K ( X ) по модулю тривиальных расслоений . Он определяется как группа стабильных классов эквивалентности расслоений. Два расслоения E и F называются стабильно изоморфными, если существуют тривиальные расслоения и , так что . Это отношение эквивалентности приводит к группе, поскольку каждое векторное расслоение может быть дополнено до тривиального расслоения путем суммирования с его ортогональным дополнением. В качестве альтернативы,${\ Displaystyle {\ widetilde {K}} (X)}$${\displaystyle \varepsilon _{1}}$${\displaystyle \varepsilon _{2}}$${\displaystyle E\oplus \varepsilon _{1}\cong F\oplus \varepsilon _{2}}$${\displaystyle {\widetilde {K}}(X)}$может быть определена как ядро отображения , индуцированного включением базовой точки х ₀ в X .${\displaystyle K(X)\to K(x_{0})\cong \mathbb {Z} }$

K -теория образует мультипликативную (обобщенную) теорию когомологий следующим образом. Короткая точная последовательность пары заостренных пространств ( Х , )

${\displaystyle {\widetilde {K}}(X/A)\to {\widetilde {K}}(X)\to {\widetilde {K}}(A)}$

распространяется на длинную точную последовательность

${\displaystyle \cdots \to {\widetilde {K}}(SX)\to {\widetilde {K}}(SA)\to {\widetilde {K}}(X/A)\to {\widetilde {K}}(X)\to {\widetilde {K}}(A).}$

Пусть S ⁿ - n -я приведенная надстройка пространства, а затем определим

${\displaystyle {\widetilde {K}}^{-n}(X):={\widetilde {K}}(S^{n}X),\qquad n\geq 0.}$

Отрицательные индексы выбираются так, чтобы кограничные карты увеличивали размерность.

Часто бывает полезно иметь нередуцированную версию этих групп, просто определяя:

${\displaystyle K^{-n}(X)={\widetilde {K}}^{-n}(X_{+}).}$

Вот это с непересекающимся меченым базисной «+» примыкает. ^[1]${\displaystyle X_{+}}$${\displaystyle X}$

Наконец, сформулированная ниже теорема Ботта о периодичности расширяет теорию на натуральные числа.

Свойства [ править ]

• ${\displaystyle K^{n}}$(соответственно ) - контравариантный функтор из гомотопической категории (точечных) пространств в категорию коммутативных колец. Так, например, K -теория над стягиваемыми пространствами всегда${\displaystyle {\widetilde {K}}^{n}}$${\displaystyle \mathbb {Z} .}$

• Спектр из K - теории является (с дискретной топологией ), то есть , где [,] обозначают классы заостренных гомотопические и Б является копределом классифицирующих пространств унитарных групп : Аналогичен,${\displaystyle BU\times \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle K(X)\cong \left[X^{+},\mathbb {Z} \times BU\right],}$${\displaystyle BU(n)\cong \operatorname {Gr} \left(n,\mathbb {C} ^{\infty }\right).}$

${\displaystyle {\widetilde {K}}(X)\cong [X,\mathbb {Z} \times BU].}$

Для реальной K -теории используйте БО .

• Существует естественный гомоморфизм колец характер Черна , таким образом, что является изоморфизмом.${\displaystyle K^{0}(X)\to H^{2*}(X,\mathbb {Q} ),}$${\displaystyle K^{0}(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{2*}(X,\mathbb {Q} )}$

• Эквивалентным операциям Стинрода в K -теории являются операции Адамса . Их можно использовать для определения характеристических классов в топологической K -теории.

• Принцип расщепления топологической K -теории позволяет свести утверждения о произвольных векторных расслоениях к утверждениям о суммах линейных расслоений.

• Теорема Тома об изоморфизме в топологической K -теории такова:

${\displaystyle K(X)\cong {\widetilde {K}}(T(E)),}$

где Т ( Е ) является пространством Тома векторного расслоения Е над X . Это верно, когда E - спин-расслоение.

• Спектральная последовательность Атьи-Хирцебруха позволяет вычисление K -группы от обычных групп когомологий.

• Топологическая K -теория может быть значительно обобщена до функтора на C * -алгебрах , см. Операторную K-теорию и KK-теорию .

Периодичность Ботта [ править ]

Явление периодичности, названное в честь Рауля Ботта (см. Теорему о периодичности Ботта ), можно сформулировать так:

• ${\displaystyle K(X\times \mathbb {S} ^{2})=K(X)\otimes K(\mathbb {S} ^{2}),}$и где H является класс тавтологического расслоения на то есть сфера Римана .${\displaystyle K(\mathbb {S} ^{2})=\mathbb {Z} [H]/(H-1)^{2}}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}=\mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} ),}$

• ${\displaystyle {\widetilde {K}}^{n+2}(X)={\widetilde {K}}^{n}(X).}$

• ${\displaystyle \Omega ^{2}BU\cong BU\times \mathbb {Z} .}$

В реальной K -теории есть аналогичная периодичность, но по модулю 8.

Приложения [ править ]

Два самых известных приложения топологической K -теории принадлежат Фрэнку Адамсу . Сначала он решил проблему с инвариантом Хопфа , выполнив вычисления с помощью своих операций Адамса . Затем он доказал верхнюю оценку числа линейно независимых векторных полей на сферах .

Черн персонаж [ править ]

Майкл Атья и Фридрих Хирцебрух доказали теорему, связывающую топологическую K-теорию CW-комплекса с его рациональными когомологиями. В частности, они показали, что существует гомоморфизм${\displaystyle X}$

${\displaystyle ch:K_{\text{top}}^{*}(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{*}(X;\mathbb {Q} )}$

такой, что

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\text{top}}^{0}(X)\otimes \mathbb {Q} &\cong \bigoplus _{k}H^{2k}(X;\mathbb {Q} )\\K_{\text{top}}^{1}(X)\otimes \mathbb {Q} &\cong \bigoplus _{k}H^{2k+1}(X;\mathbb {Q} )\end{aligned}}}$

Существует алгебраический аналог, связывающий группу Гротендика когерентных пучков и кольцо Чжоу гладкого проективного многообразия .${\displaystyle X}$

См. Также [ править ]

• Спектральная последовательность Атьи – Хирцебруха (вычислительный инструмент для поиска групп K-теории)
• КР-теория
• Теорема Атьи – Зингера об индексе
• Теорема Снайта
• Алгебраическая K-теория

Ссылки [ править ]

• Атья, Майкл Фрэнсис (1989). К-теория . Advanced Book Classics (2-е изд.). Эддисон-Уэсли . ISBN 978-0-201-09394-0. Руководство по ремонту  1043170 .
• Фридлендер, Эрик; Грейсон, Дэниел, ред. (2005). Справочник по K-теории . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . DOI : 10.1007 / 978-3-540-27855-9 . ISBN 978-3-540-30436-4. Руководство по ремонту  2182598 .
• Каруби, Макс (1978). K-теория: введение . Классика по математике. Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-3-540-79890-3 . ISBN 0-387-08090-2.
• Каруби, Макс (2006). «К-теория. Элементарное введение». arXiv : math / 0602082 .
• Хэтчер, Аллен (2003). "Векторные расслоения и K-теория" .
• Стыков, Максим (2013). «Связь K-теории с геометрией и топологией» .