Воображаемая единица
Мнимая единица или единичное мнимое число ( i ) является решением квадратного уравнения x 2 + 1 = 0 . Хотя вещественных чисел с этим свойством не существует, я могу использовать их для расширения действительных чисел до так называемых комплексных чисел , используя сложение и умножение . Простой пример использования i в комплексном числе — 2 + 3 i .
Мнимые числа - важная математическая концепция, которая расширяет систему действительных чисел до системы комплексных чисел , в которой существует по крайней мере один корень для каждого непостоянного многочлена (см. Алгебраическое замыкание и Основная теорема алгебры ). Здесь термин «воображаемый» используется потому, что не существует действительного числа , имеющего отрицательный квадрат .
Есть два комплексных квадратных корня из −1 , а именно i и − i , точно так же, как есть два комплексных квадратных корня из каждого действительного числа, отличного от нуля (которое имеет один двойной квадратный корень ).
В контекстах, в которых использование буквы i неоднозначно или проблематично, вместо нее иногда используется буква j или греческое ι . [a] Например, в электротехнике и разработке систем управления воображаемая единица обычно обозначается j вместо i , потому что i обычно используется для обозначения электрического тока .
При таком определении i из алгебры непосредственно следует, что i и − i оба являются квадратными корнями из −1.
Хотя эта конструкция называется «воображаемой» и хотя понятие мнимого числа может быть интуитивно более трудным для понимания, чем понятие действительного числа, с математической точки зрения эта конструкция совершенно правильна. Операции с действительными числами можно распространить на мнимые и комплексные числа, рассматривая i как неизвестную величину при манипулировании выражением (и используя определение для замены любого вхождения i 2 на -1). Более высокие целые степени i также можно заменить на - i , 1, i или -1:
