Первобытный

В математике , и в частности в теории чисел , первичный , обозначаемый «#», является функцией от натуральных чисел к натуральным числам, подобной факториальной функции, но вместо последовательного умножения положительных целых чисел функция умножает только простые числа .

Название «первичный», придуманное Харви Дубнером , проводит аналогию с простыми числами, подобно тому, как название «факториал» относится к факторам .

Определение простых чисел [ править ]

p _n # как функция от n , построенная логарифмически.

Для n- го простого числа p _n приморное p _n # определяется как произведение первых n простых чисел: ^{[1] [2]}

${\ Displaystyle р_ {п} \ # \ эквив \ прод _ {к = 1} ^ {п} р_ {к}}$,

где p _k - k- е простое число. Например, p ₅ # означает произведение первых 5 простых чисел:

${\ displaystyle p_ {5} \ # = 2 \ times 3 \ times 5 \ times 7 \ times 11 = 2310.}$

Первые пять примитивов p _n # :

2 , 6 , 30 , 210 , 2310 (последовательность A002110 в OEIS ).

Последовательность также включает p ₀ # = 1 как пустой продукт . Асимптотически примориалы p _n # растут согласно:

${\displaystyle p_{n}\#=e^{(1+o(1))n\log n},}$

где O () является Литтл вывод обозначения . ^[2]

Определение натуральных чисел [ править ]

п ! (желтый) как функция от n по сравнению с n # (красный), оба графика построены логарифмически.

В общем, для положительного целого числа n его примор, n # , является произведением простых чисел, не превышающих n ; то есть ^{[1] [3]}

${\displaystyle n\#=\prod _{\{p\mid p{\text{ is prime and }}p\leq n\}}p=\prod _{i=1}^{\pi (n)}p_{i}=p_{\pi (n)}\#}$,

где π ( n ) - функция подсчета простых чисел (последовательность A000720 в OEIS ), которая дает количество простых чисел ≤ n . Это эквивалентно:

${\displaystyle n\#={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0,\ 1\\(n-1)\#\times n&{\text{if }}n{\text{ is prime}}\\(n-1)\#&{\text{if }}n{\text{ is composite}}.\end{cases}}}$

Например, 12 # представляет собой произведение этих простых чисел ≤ 12:

${\displaystyle 12\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.}$

Поскольку π (12) = 5 , это можно рассчитать как:

${\displaystyle 12\#=p_{\pi (12)}\#=p_{5}\#=2310.}$

Рассмотрим первые 12 значений n # :

1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.

Мы видим, что для составного n каждый член n # просто дублирует предыдущий член ( n - 1) # , как указано в определении. В приведенном выше примере 12 # = p ₅ # = 11 #, поскольку 12 - составное число.

Примитивы связаны с первой функцией Чебышева , записываемой ϑ ( n ) или θ ( n ) в соответствии с:

${\displaystyle \ln(n\#)=\vartheta (n).}$^[4]

Поскольку ϑ ( n ) асимптотически приближается к n для больших значений n , примориалы растут в соответствии с:

${\displaystyle n\#=e^{(1+o(1))n}.}$

Идея умножения всех известных простых чисел встречается в некоторых доказательствах бесконечности простых чисел , где она используется для вывода существования другого простого числа.

Характеристики [ править ]

• Позвольте и быть двумя соседними простыми числами. Учитывая любой , где :${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle p\leq n<q}$

${\displaystyle n\#=p\#}$

• Для Primorial известно следующее приближение: ^[5]

${\displaystyle n\#\leq 4^{n}}$.

• Более того:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n\#}}=e}$

Для значения меньше, чем , ^[6], но для большего значения функции превышают предел и в дальнейшем бесконечно колеблются вокруг .${\displaystyle n<10^{11}}$${\displaystyle e}$${\displaystyle n}$${\displaystyle e}$${\displaystyle e}$

• Позвольте быть -е простое число, тогда имеет ровно делители. Например, имеет 2 делителя, 4 делителя, 8 делителей и уже имеет делители, так как 97 - это 25-е простое число.${\displaystyle p_{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle p_{k}\#}$${\displaystyle 2^{k}}$${\displaystyle 2\#}$${\displaystyle 3\#}$${\displaystyle 5\#}$${\displaystyle 97\#}$${\displaystyle 2^{25}}$

• Сумма обратных величин примориала сходится к постоянной

${\displaystyle \sum _{p\,\in \,\mathbb {P} }{1 \over p\#}={1 \over 2}+{1 \over 6}+{1 \over 30}+\ldots =0{.}7052301717918\ldots }$

Расширение Энгеля этого числа приводит к последовательности простых чисел (см. (Последовательность A064648 в OEIS ))

• Согласно теореме Евклида , используется для доказательства бесконечности всех простых чисел.${\displaystyle p\#+1}$

Приложения и свойства [ править ]

Примитивы играют роль в поиске простых чисел в аддитивных арифметических прогрессиях . Например, 2 236 133 941  + 23 # приводит к простому числу, начиная с последовательности из тринадцати простых чисел, найденных путем повторного добавления 23 #, и заканчивая5 136 341 251 . 23 # также является общей разницей в арифметических прогрессиях пятнадцати и шестнадцати простых чисел.

Каждое очень сложное число является продуктом первоисточников (например, 360 = 2 × 6 × 30 ). ^[7]

Все примориалы представляют собой целые числа без квадратов , и у каждого из них больше различных простых множителей, чем у любого числа, меньшего его. Для каждого приморального n дробьφ ( п )/пменьше, чем для любого меньшего целого числа, где φ - функция Эйлера .

Любая полностью мультипликативная функция определяется своими значениями в примерах, поскольку она определяется своими значениями в простых числах, которые могут быть восстановлены путем деления смежных значений.

Базовые системы, соответствующие примориалам (например, основание 30, не путать с первичной системой счисления ), имеют меньшую долю повторяющихся дробей, чем любая меньшая основа.

Каждый примориал - это редкое число . ^[8]

П -compositorial из составного числа п является произведением всех составных чисел вплоть до п . ^[9] п -compositorial равно п - факториал , разделенный на primorial п # . Композиторы

1 , 4 , 24 , 192 , 1728,17 280 ,207 360 ,2 903 040 , г.43 545 600 ,696 729 600 , ... ^[10]

Внешний вид [ править ]

Дзета - функция Римана при положительных целых чисел , больших , чем можно выразить ^[11] , используя primorial функцию и функцию totient Джордана J _K ( п ) :

${\displaystyle \zeta (k)={\frac {2^{k}}{2^{k}-1}}+\sum _{r=2}^{\infty }{\frac {(p_{r-1}\#)^{k}}{J_{k}(p_{r}\#)}},\quad k=2,3,\dots }$

Таблица примориалов [ править ]

См. Также [ править ]

• Неравенство Бонса
• Функция Чебышева
• Первоначальная система счисления
• Первоначальный премьер

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Дубнер, Харви (1987). «Факториальные и примитивные простые числа». J. Recr. Математика. 19 : 197–203.
• Спенсер, Адам «Топ 100», номер 59, часть 4.