Конфлюэнтная гипергеометрическая функция

В математике , А вырожденная гипергеометрическая функция является решением из вырожденного гипергеометрического уравнения , которая является вырожденной формой гипергеометрического дифференциального уравнения , где два из трех регулярных особенностей сливаются в нерегулярную особенность . Термин конфлюэнтный относится к слиянию особых точек семейств дифференциальных уравнений; confluere в переводе с латыни означает «течь вместе». Существует несколько распространенных стандартных форм конфлюэнтных гипергеометрических функций:

• Функция Куммера (конфлюэнтная гипергеометрическая) M ( a , b , z ) , введенная Куммером  ( 1837 ), является решением дифференциального уравнения Куммера . Это также известно как конфлюэнтная гипергеометрическая функция первого рода. Существует другая и не связанная с этим функция Куммера, носящая то же имя.
• Функция Трикоми (конфлюэнтная гипергеометрическая) U ( a , b , z ), введенная Франческо Трикоми  ( 1947 ), иногда обозначаемая как Ψ ( a ; b ; z ) , является другим решением уравнения Куммера. Это также известно как конфлюэнтная гипергеометрическая функция второго рода.
• Функции Уиттекера (для Эдмунда Тейлора Уиттекера ) являются решениями уравнения Уиттекера .
• Кулоновские волновые функции являются решениями кулоновского волнового уравнения .

Функции Куммера, функции Уиттекера и волновые функции Кулона по существу одинаковы и отличаются друг от друга только элементарными функциями и заменой переменных.

Уравнение Куммера [ править ]

Уравнение Куммера можно записать как:

${\ displaystyle z {\ frac {d ^ {2} w} {dz ^ {2}}} + (bz) {\ frac {dw} {dz}} - aw = 0,}$

с регулярной особой точкой в ​​точке z = 0 и нерегулярной особой точкой в ​​точке z = ∞ . Он имеет два (обычно) линейно независимых решения M ( a , b , z ) и U ( a , b , z ) .

Функция Куммера первого рода M представляет собой обобщенный гипергеометрический ряд, введенный в ( Kummer 1837 ) и определяемый следующим образом:

${\ Displaystyle M (a, b, z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {a ^ {(n)} z ^ {n}} {b ^ {(n)} n!}} = {} _ {1} F_ {1} (a; b; z),}$

где:

${\displaystyle a^{(0)}=1,}$

${\displaystyle a^{(n)}=a(a+1)(a+2)\cdots (a+n-1)\,,}$

- растущий факториал . Другое общее обозначение этого решения - Φ ( a , b , z ) . Рассматриваемый как функция от a , b или z с двумя другими постоянными, это определяет целую функцию от a или z , за исключением случаев, когда b = 0, −1, −2, ... Как функция от b это аналитический, за исключением полюсов в неположительных целых числах.

Некоторые значения a и b дают решения, которые могут быть выражены через другие известные функции. См. # Особые случаи . Когда a - неположительное целое число, функция Куммера (если она определена) является обобщенным многочленом Лагерра .

Подобно тому, как конфлюэнтное дифференциальное уравнение является пределом гипергеометрического дифференциального уравнения, когда особая точка в 1 перемещается к особой точке в ∞, конфлюэнтная гипергеометрическая функция может быть задана как предел гипергеометрической функции

${\displaystyle M(a,c,z)=\lim _{b\to \infty }{}_{2}F_{1}(a,b;c;z/b)}$

и многие свойства конфлюэнтной гипергеометрической функции являются предельными случаями свойств гипергеометрической функции.

Поскольку уравнение Куммера имеет второй порядок, должно быть другое, независимое решение. Определяющие уравнение метода Фробениуса говорит нам , что самая низкая мощность степенного ряда решения уравнения Куммера является либо 0 , либо 1 - б . Если мы позволим w ( z ) быть

${\displaystyle w(z)=z^{1-b}v(z)}$

то дифференциальное уравнение дает

${\displaystyle z^{2-b}{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}+2(1-b)z^{1-b}{\frac {dv}{dz}}-b(1-b)z^{-b}v+(b-z)\left[z^{1-b}{\frac {dv}{dz}}+(1-b)z^{-b}v\right]-az^{1-b}v=0}$

которое после деления z ^{1− b} и упрощения принимает вид

${\displaystyle z{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}+(2-b-z){\frac {dv}{dz}}-(a+1-b)v=0.}$

Это означает, что z ^{1− b} M ( a + 1 - b , 2 - b , z ) является решением до тех пор, пока b не является целым числом больше 1, точно так же, как M ( a , b , z ) является решением, поэтому пока b не является целым числом меньше 1. Мы также можем использовать вырожденную гипергеометрическую функцию Трикоми U ( a , b , z ), введенную Франческо Трикоми  ( 1947 ) и иногда обозначаемую какΨ ( а ; б ; г ) . Это комбинация двух вышеупомянутых решений, определяемых

${\displaystyle U(a,b,z)={\frac {\Gamma (1-b)}{\Gamma (a+1-b)}}M(a,b,z)+{\frac {\Gamma (b-1)}{\Gamma (a)}}z^{1-b}M(a+1-b,2-b,z).}$

Хотя это выражение не определено для целого числа b , его преимущество состоит в том, что его можно расширить до любого целого числа b по непрерывности. В отличие от функции Куммера, которая является целой функцией от z , U ( z ) обычно имеет особенность в нуле. Например, если b = 0 и a ≠ 0, то Γ ( a +1) U ( a , b , z ) - 1 асимптотически относительно az ln z, когда z стремится к нулю. Но посмотри# Особые случаи для некоторых примеров, когда это целая функция (полином).

Обратите внимание, что решение z ^{1− b} M ( a + 1 - b , 2 - b , z ) уравнения Куммера совпадает с решением U ( a , b , z ) , см. # Преобразование Куммера .

Для большинства комбинаций действительных или комплексных a и b функции M ( a , b , z ) и U ( a , b , z ) независимы, и если b - неположительное целое число, то M ( a , b , z ) не существует, то мы можем использовать z ^{1− b} M ( a + 1− b , 2− b , z )в качестве второго решения. Но если a - целое неположительное число, а b - не целое неположительное число, то U ( z ) делится на M ( z ) . В этом случае также z ^{1− b} M ( a + 1− b , 2− b , z ) можно использовать в качестве второго решения, если оно существует и отличается. Но когда b - целое число больше 1, этого решения не существует, а если b = 1, то оно существует, но кратно U ( a ,b , z ) и M ( a , b , z ). В этих случаях существует второе решение следующей формы и действительно для любого действительного или комплексного a и любого положительного целого числа b, кроме случаев, когда a является положительным целым числом меньше b :

${\displaystyle M(a,b,z)\ln z+z^{1-b}\sum _{k=0}^{\infty }C_{k}z^{k}}$

Когда a = 0, мы можем альтернативно использовать:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{z}(-u)^{-b}e^{u}\mathrm {d} u.}$

Когда b = 1, это экспоненциальный интеграл E ₁ ( −z ) .

Аналогичная проблема возникает, когда a - b - отрицательное целое число, а b - целое число меньше 1. В этом случае M ( a , b , z ) не существует, а U ( a , b , z ) кратно z ^{1− b} M ( a + 1− b , 2− b , z ). Второе решение имеет следующий вид:

${\displaystyle z^{1-b}M(a+1-b,2-b,z)\ln z+\sum _{k=0}^{\infty }C_{k}z^{k}}$

Другие уравнения [ править ]

Конфлюэнтные гипергеометрические функции могут использоваться для решения расширенного конфлюэнтного гипергеометрического уравнения, общая форма которого имеет следующий вид:

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(b-z){\frac {dw}{dz}}-\left(\sum _{m=0}^{M}a_{m}z^{m}\right)w=0}$ ^[1]

Обратите внимание, что для M = 0 или когда суммирование включает только один член, оно сводится к обычному конфлюэнтному гипергеометрическому уравнению.

Таким образом, сливающиеся гипергеометрические функции могут использоваться для решения «большинства» обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, все переменные коэффициенты которых являются линейными функциями от z , поскольку они могут быть преобразованы в расширенное сливающееся гипергеометрическое уравнение. Рассмотрим уравнение:

${\displaystyle (A+Bz){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(C+Dz){\frac {dw}{dz}}+(E+Fz)w=0}$

Сначала мы переместим регулярную особую точку в 0 , используя замену A + Bz ↦ z , которая преобразует уравнение в:

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(C+Dz){\frac {dw}{dz}}+(E+Fz)w=0}$

с новыми значениями C, D, E и F . Далее используем замену:

${\displaystyle z\mapsto {\frac {1}{\sqrt {D^{2}-4F}}}z}$

и умножим уравнение на тот же коэффициент, получив:

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left(C+{\frac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}z\right){\frac {dw}{dz}}+\left({\frac {E}{\sqrt {D^{2}-4F}}}+{\frac {F}{D^{2}-4F}}z\right)w=0}$

чье решение

${\displaystyle \exp \left(-\left(1+{\frac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}\right){\frac {z}{2}}\right)w(z),}$

где w ( z ) - решение уравнения Куммера с

${\displaystyle a=\left(1+{\frac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}\right){\frac {C}{2}}-{\frac {E}{\sqrt {D^{2}-4F}}},\qquad b=C.}$

Обратите внимание, что квадратный корень может давать мнимое или комплексное число. Если он равен нулю, необходимо использовать другое решение, а именно

${\displaystyle \exp \left(-{\tfrac {1}{2}}Dz\right)w(z),}$

где w ( z ) - вырожденная гипергеометрическая предельная функция, удовлетворяющая

${\displaystyle zw''(z)+Cw'(z)+\left(E-{\tfrac {1}{2}}CD\right)w(z)=0.}$

Как отмечено ниже, даже уравнение Бесселя можно решить с помощью конфлюэнтных гипергеометрических функций.

Интегральные представления [ править ]

Если Re b > Re a > 0 , M ( a , b , z ) можно представить в виде интеграла

${\displaystyle M(a,b,z)={\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)\Gamma (b-a)}}\int _{0}^{1}e^{zu}u^{a-1}(1-u)^{b-a-1}\,du.}$

Таким образом , М ( , + б , она ) является характеристической функцией от бета - распределения . Для a с положительной действительной частью U можно получить с помощью интеграла Лапласа

${\displaystyle U(a,b,z)={\frac {1}{\Gamma (a)}}\int _{0}^{\infty }e^{-zt}t^{a-1}(1+t)^{b-a-1}\,dt,\quad (\operatorname {Re} \ a>0)}$

Интеграл определяет решение в правой полуплоскости 0 <Re z < π / 2 .

Их также можно представить в виде интегралов Барнса

${\displaystyle M(a,b,z)={\frac {1}{2\pi i}}{\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (-s)\Gamma (a+s)}{\Gamma (b+s)}}(-z)^{s}ds}$

где контур проходит по одну сторону от полюсов Γ (- s ) и по другую сторону от полюсов Γ ( a + s ) .

Асимптотическое поведение [ править ]

Если решение уравнения Куммера является асимптотическим по степени z при z → ∞ , то степень должна быть - a . Фактически, это так для решения Трикоми U ( a , b , z ) . Его асимптотика при z → ∞ может быть получена из интегральных представлений. Если z = x ∈ R , то замена переменных в интеграле с последующим расширением биномиального ряда и его формальным интегрированием по членам приводит к асимптотическому рядуразложение, справедливое при x → ∞ : ^[2]

${\displaystyle U(a,b,x)\sim x^{-a}\,_{2}F_{0}\left(a,a-b+1;\,;-{\frac {1}{x}}\right),}$

где представляет собой обобщенный гипергеометрический ряд с 1 в качестве ведущего термина, который обычно не сходится нигде, но существует как формальный степенной ряд в 1 / х . Это асимптотическое разложение также справедливо для комплексного z вместо действительного x , с | arg z | <3 π / 2.${\displaystyle _{2}F_{0}(\cdot ,\cdot ;;-1/x)}$

Асимптотика решения Куммера при больших | z | является:

${\displaystyle M(a,b,z)\sim \Gamma (b)\left({\frac {e^{z}z^{a-b}}{\Gamma (a)}}+{\frac {(-z)^{-a}}{\Gamma (b-a)}}\right)}$

Степени z взяты с использованием −3 π / 2 <arg z ≤ π / 2 . ^[3] Первый член не нужен, когда Γ ( b - a ) конечно, то есть когда b - a не является целым неположительным числом, а действительная часть z стремится к отрицательной бесконечности, тогда как второй член не нужен когда Γ ( a ) конечно, то есть когда a не является целым неположительным числом, а действительная часть z стремится к положительной бесконечности.

Всегда существует какое-то решение уравнения Куммера, асимптотическое к e ^z z ^{a - b} при z → −∞ . Обычно это будет комбинация M ( a , b , z ) и U ( a , b , z ), но также может быть выражена как e ^z (−1) ^{a - b} U ( b - a , b , - z ) .

Отношения [ править ]

Существует множество соотношений между функциями Куммера для различных аргументов и их производных. В этом разделе приводится несколько типичных примеров.

Смежные отношения [ править ]

Для данного M ( a , b , z ) четыре функции M ( a ± 1, b , z ), M ( a , b ± 1, z ) называются смежными с M ( a , b , z ) . Функция M ( a , b , z ) может быть записана как линейная комбинация любых двух ее смежных функций с рациональными коэффициентами через a, b, и z . Это дает (⁴
₂) = 6 отношений, задаваемых путем определения любых двух строк в правой части

${\displaystyle {\begin{aligned}z{\frac {dM}{dz}}=z{\frac {a}{b}}M(a+,b+)&=a(M(a+)-M)\\&=(b-1)(M(b-)-M)\\&=(b-a)M(a-)+(a-b+z)M\\&=z(a-b)M(b+)/b+zM\\\end{aligned}}}$

В обозначениях выше M = M ( a , b , z ) , M ( a +) = M ( a + 1, b , z ) и т. Д.

Повторное применение этих соотношений дает линейную связь между любыми тремя функциями вида M ( a + m , b + n , z ) (и их высшими производными), где m , n - целые числа.

Есть аналогичные соотношения для U .

Преобразование Куммера [ править ]

Функции Куммера также связаны преобразованиями Куммера:

${\displaystyle M(a,b,z)=e^{z}\,M(b-a,b,-z)}$

${\displaystyle U(a,b,z)=z^{1-b}U\left(1+a-b,2-b,z\right)}$.

Теорема умножения [ править ]

Верны следующие теоремы умножения :

${\displaystyle {\begin{aligned}U(a,b,z)&=e^{(1-t)z}\sum _{i=0}{\frac {(t-1)^{i}z^{i}}{i!}}U(a,b+i,zt)\\&=e^{(1-t)z}t^{b-1}\sum _{i=0}{\frac {\left(1-{\frac {1}{t}}\right)^{i}}{i!}}U(a-i,b-i,zt).\end{aligned}}}$

Связь с многочленами Лагерра и аналогичными представлениями [ править ]

В терминах полиномов Лагерра функции Куммера имеют несколько разложений, например

${\displaystyle M\left(a,b,{\frac {xy}{x-1}}\right)=(1-x)^{a}\cdot \sum _{n}{\frac {a^{(n)}}{b^{(n)}}}L_{n}^{(b-1)}(y)x^{n}}$( Erdélyi et al. 1953 , 6.12)

Особые случаи [ править ]

Функции, которые могут быть выражены как частные случаи конфлюэнтной гипергеометрической функции, включают:

• Некоторые элементарные функции, левая часть которых не определена, если b - целое неположительное число, но правая часть по-прежнему является решением соответствующего уравнения Куммера:

${\displaystyle M(0,b,z)=1}$

${\displaystyle U(0,c,z)=1}$

${\displaystyle M(b,b,z)=e^{z}}$

${\displaystyle U(a,a,z)=e^{z}\int _{z}^{\infty }u^{-a}e^{-u}du}$(многочлен, если a - целое неположительное число)

${\displaystyle {\frac {U(1,b,z)}{\Gamma (b-1)}}+{\frac {M(1,b,z)}{\Gamma (b)}}=z^{1-b}e^{z}}$

${\displaystyle M(n,b,z)}$для целого неположительного n - обобщенный многочлен Лагерра .

${\displaystyle U(n,c,z)}$для целого неположительного числа n является кратным обобщенному многочлену Лагерра, равному, когда последний существует.${\displaystyle {\tfrac {\Gamma (1-c)}{\Gamma (n+1-c)}}M(n,c,z)}$

${\displaystyle U(c-n,c,z)}$когда n является положительным целым числом, это замкнутая форма со степенями z , равными, когда последняя существует.${\displaystyle {\tfrac {\Gamma (c-1)}{\Gamma (c-n)}}z^{1-c}M(1-n,2-c,z)}$

${\displaystyle U(a,a+1,z)=z^{-a}}$

${\displaystyle U(-n,-2n,z)}$для целого неотрицательного числа n - многочлен Бесселя (см. ниже).

${\displaystyle M(1,2,z)=(e^{z}-1)/z,\ \ M(1,3,z)=2!(e^{z}-1-z)/z^{2}}$ и т.п.

Используя отношение смежности, получаем, например,${\displaystyle aM(a+)=(a+z)M+z(a-b)M(b+)/b}$${\displaystyle M(2,1,z)=(1+z)e^{z}.}$

• Функция Бейтмана
• Функции Бесселя и много связанных функций , такие как функции Эйри , функция Кельвина , функции Ханкель . Например, в частном случае b = 2 a функция сводится к функции Бесселя :

${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a,2a,x)=e^{x/2}\,{}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)=e^{x/2}\left({\tfrac {x}{4}}\right)^{1/2-a}\Gamma \left(a+{\tfrac {1}{2}}\right)I_{a-1/2}\left({\tfrac {x}{2}}\right).}$

Эту идентичность иногда также называют второй трансформацией Куммера . так же

${\displaystyle U(a,2a,x)={\frac {e^{x/2}}{\sqrt {\pi }}}x^{1/2-a}K_{a-1/2}(x/2),}$

Когда a - целое неположительное число, это равно 2 ^{- a} θ _{- a} ( x / 2), где θ - многочлен Бесселя .

• Функция ошибки может быть выражена как

${\displaystyle \mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}dt={\frac {2x}{\sqrt {\pi }}}\ {}_{1}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}},-x^{2}\right).}$

• Кулоновская волновая функция
• Функции Каннингема
• Экспоненциальный интеграл и связанные с ним функции, такие как синусоидальный интеграл , логарифмический интеграл
• Полиномы Эрмита
• Неполная гамма-функция
• Многочлены Лагерра
• Функция параболического цилиндра (или функция Вебера)
• Функция Пуассона – Шарлье
• Функции Торонто
• Функции Уиттекера M _{κ, μ} ( z ), W _{κ, μ} ( z ) являются решениями уравнения Уиттекера, которые могут быть выражены через функции Куммера M и U следующим образом:

${\displaystyle M_{\kappa ,\mu }(z)=e^{-{\tfrac {z}{2}}}z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}M\left(\mu -\kappa +{\tfrac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)}$

${\displaystyle W_{\kappa ,\mu }(z)=e^{-{\tfrac {z}{2}}}z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}U\left(\mu -\kappa +{\tfrac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)}$

• Общий p -й необработанный момент ( p не обязательно целое число) может быть выражен как ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[\left|N\left(\mu ,\sigma ^{2}\right)\right|^{p}\right]&={\frac {\left(2\sigma ^{2}\right)^{p/2}\Gamma \left({\tfrac {1+p}{2}}\right)}{\sqrt {\pi }}}\ {}_{1}F_{1}\left(-{\tfrac {p}{2}},{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\\\operatorname {E} \left[N\left(\mu ,\sigma ^{2}\right)^{p}\right]&=\left(-2\sigma ^{2}\right)^{p/2}U\left(-{\tfrac {p}{2}},{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

Во второй формуле сечение второй ветви функции может быть выбрано умножением на (−1) ^p .

Применение к непрерывным дробям [ править ]

Применяя ограничивающий аргумент к непрерывной дроби Гаусса, можно показать, что

${\displaystyle {\frac {M(a+1,b+1,z)}{M(a,b,z)}}={\cfrac {1}{1-{\cfrac {\displaystyle {\frac {b-a}{b(b+1)}}z}{1+{\cfrac {\displaystyle {\frac {a+1}{(b+1)(b+2)}}z}{1-{\cfrac {\displaystyle {\frac {b-a+1}{(b+2)(b+3)}}z}{1+{\cfrac {\displaystyle {\frac {a+2}{(b+3)(b+4)}}z}{1-\ddots }}}}}}}}}}}$

и что эта цепная дробь равномерно сходится к мероморфной функции от z в любой ограниченной области, не содержащей полюса.

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 13» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 504. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036 . Руководство по ремонту  0167642 . LCCN  65-12253 .
• Чистова, Е.А. (2001) [1994], "Конфлюэнтная гипергеометрическая функция" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Даалхуис, Адри Б. Олде (2010), «Конфлюэнтная гипергеометрическая функция» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• Эрдейи, Артур ; Магнус, Вильгельм ; Оберхеттингер, Фриц и Трикоми, Франческо Г. (1953). Высшие трансцендентные функции. Vol. Я . Нью-Йорк – Торонто – Лондон: McGraw – Hill Book Company, Inc. MR  0058756 .
• Куммер, Эрнст Эдуард (1837). "De Integrationibus quibusdam Definitis et seriebus infinitis" . Journal für die reine und angewandte Mathematik (на латыни). 1837 (17): 228–242. DOI : 10,1515 / crll.1837.17.228 . ISSN  0075-4102 . S2CID  121351583 .
• Слейтер, Люси Джоан (1960). Конфлюэнтные гипергеометрические функции . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. Руководство по ремонту  0107026 .
• Трикоми, Франческо Г. (1947). "Sulle funzioni ipergeometriche confluenti". Annali di Matematica Pura ed Applicata . Серия 4 (на итальянском). 26 : 141–175. DOI : 10.1007 / bf02415375 . ISSN  0003-4622 . Руководство по ремонту  0029451 . S2CID  119860549 .
• Трикоми, Франческо Г. (1954). Funzioni ipergeometriche confluenti . Consiglio Nazionale Delle Ricerche Monografie Matematiche (на итальянском языке). 1 . Рим: кремонская эдизиони ISBN 978-88-7083-449-9. Руководство по ремонту  0076936 .
• Олдхэм, КБ; Myland, J .; Спаниер, Дж. (2010). Атлас функций: с Equator, калькулятор функций Атласа . Атлас функций. Springer Нью-Йорк. ISBN 978-0-387-48807-3. Проверено 23 августа 2017 .

Внешние ссылки [ править ]

• Конфлюэнтные гипергеометрические функции в цифровой библиотеке математических функций NIST
• Гипергеометрическая функция Куммера на сайте Wolfram Functions
• Гипергеометрическая функция Трикоми на сайте Wolfram Functions