Конформное векторное поле Киллинга

В этой статье не процитировать какие - либо источники . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален . Найти источники:  «Векторное поле конформного убийства»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( февраль 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

В конформной геометрии , конформное Killing векторное поле на многообразии в размерности п с (псевдо) римановой метрики (называемой также умерщвление вектора конформной, или конформной colineation), векторное поле которого (локально определенные) потоком определяет конформные преобразования , т.е. сохранение до масштабирования и сохранить конформную структуру. Несколько эквивалентных формулировок, называемых конформным уравнением Киллинга , существуют в терминах производной Ли потока, например, для некоторой функции на многообразии. Поскольку существует конечное число решений, задающих${\ displaystyle g}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} g = \ lambda g}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle п \ neq 2}$конформная симметрия этого пространства, но в двух измерениях существует бесконечное множество решений . Имя Киллинг относится к Вильгельму Киллингу , который первым исследовал векторные поля Киллинга, которые сохраняют риманову метрику и удовлетворяют уравнению Киллинга .${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} г = 0}$

Денситизированный метрический тензор и конформные векторы Киллинга [ править ]

Векторное поле является векторным полем Киллинга тогда и только тогда, когда его поток сохраняет метрический тензор (строго говоря, для каждого компактного подмножества многообразия поток нужно определять только для конечного времени). Это можно сформулировать бесконечно (и более удобно), как и Киллинга, если и только если оно удовлетворяет ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} g = 0.}$

где - производная Ли. ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X}}$

В более общем смысле, определите w- векторное поле Киллинга как векторное поле, чей (локальный) поток сохраняет уплотненную метрику , где - объемная плотность, определяемая (т.е. локально ), и - ее вес. Обратите внимание, что векторное поле Киллинга сохраняет и автоматически удовлетворяет этому более общему уравнению. Также обратите внимание, что это уникальный вес, который делает комбинацию инвариантной при масштабировании метрики, поэтому в этом случае условие зависит только от конформной структуры . Теперь это w- векторное поле Киллинга, если и только если ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle g \ mu _ {g} ^ {w}}$${\ displaystyle \ mu _ {g}}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ mu _ {g} = {\ sqrt {| \ det (g) |}} \, dx ^ {1} \ cdots dx ^ {n}}$${\ Displaystyle ш \ в \ mathbf {R}}$${\ displaystyle \ mu _ {g}}$${\ Displaystyle ш = -2 / п}$${\ displaystyle g \ mu _ {g} ^ {w}}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} \ left (g \ mu _ {g} ^ {w} \ right) = ({\ mathcal {L}} _ {X} g) \ mu _ { g} ^ {w} + wg \ mu _ {g} ^ {w-1} {\ mathcal {L}} _ {X} \ mu _ {g} = 0.}$

Поскольку это эквивалентно${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} \ mu _ {g} = \ operatorname {div} (X) \ mu _ {g}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} g = -w \ operatorname {div} (X) g}$.

По следам обеих сторон делаем вывод . Следовательно, для обязательно и w- векторное поле Киллинга является просто нормальным векторным полем Киллинга, поток которого сохраняет метрику. Однако, поскольку поток должен просто сохранять конформную структуру и по определению является конформным векторным полем Киллинга .${\displaystyle 2\mathop {\mathrm {div} } (X)=-wn\operatorname {div} (X)}$${\displaystyle w\neq -2/n}$${\displaystyle \operatorname {div} (X)=0}$${\displaystyle w=-2/n}$${\displaystyle X}$

Эквивалентные формулировки [ править ]

Следующие эквивалентны

1. ${\displaystyle X}$ - конформное векторное поле Киллинга,
2. (Локально определенный) поток сохраняет конформную структуру,${\displaystyle X}$
3. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(g\mu _{g}^{-2/n})=0,}$
4. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g={\frac {2}{n}}\operatorname {div} (X)g,}$
5. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g}$ для какой-то функции ${\displaystyle \lambda .}$

Приведенное выше обсуждение доказывает эквивалентность всех, кроме, казалось бы, более общей последней формы. Тем не менее, две последние формы также эквивалентны: снятие следов показывает, что это обязательно .${\displaystyle \lambda =(2/n)\operatorname {div} (X)}$

Конформное уравнение Киллинга в (абстрактной) индексной нотации [ править ]

Используя это где - производная Леви Чивиты (также известная как ковариантная производная), двойственная форма 1 (также известная как связанный ковариантный вектор или вектор с пониженными индексами) и проекция на симметричную часть, можно записать конформное уравнение Киллинга в виде обозначение абстрактного индекса как ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=2\left(\nabla X^{\flat }\right)^{\mathrm {symm} }}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle g}$${\displaystyle X^{\flat }=g(X,\cdot )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {}^{\mathrm {symm} }}$

${\displaystyle \nabla _{a}X_{b}+\nabla _{b}X_{a}={\frac {2}{n}}g_{ab}\nabla _{c}X^{c}.}$

Еще одно индексное обозначение для записи конформных уравнений Киллинга:

${\displaystyle X_{\mu ;\nu }+X_{\nu ;\mu }={\frac {2}{n}}g_{\mu \nu }X_{;\sigma }^{\sigma }.}$

См. Также [ править ]

• Аффинное векторное поле
• Коллинеация кривизны
• Многообразие Эйнштейна
• Гомотетическое векторное поле
• инвариантный дифференциальный оператор
• Векторное поле убийства
• Коллинеация материи
• Симметрии пространства-времени