В физике и технике , А определяющее уравнение или конститутивное отношение есть отношение между двумя физическими величинами (особенно кинетические величинами , как связанный с кинематическими величинами), специфичный к материалу или веществу , и приближает реакцию этого материала на внешние раздражители, как правило, приложенные поля или силы . Они сочетаются с другими уравнениями, управляющими физическими законами, для решения физических проблем; например, в механике жидкости поток жидкости в трубе, в физике твердого тела - реакция кристалла на электрическое поле, или вструктурный анализ , связь между приложенными напряжениями или силами к деформациям или деформациям .
Некоторые определяющие уравнения просто феноменологичны ; другие основаны на первых принципах . Обычное приближенное определяющее уравнение часто выражается как простая пропорциональность с использованием параметра, принимаемого в качестве свойства материала, такого как электрическая проводимость или жесткость пружины . Однако часто необходимо учитывать зависимость материала от направления, и скалярный параметр обобщается до тензора . Определяющие соотношения также изменены, чтобы учесть скорость реакции материалов и их нелинейное поведение. [1] См. Статью Функция линейного отклика .
Механические свойства материи [ править ]
Первое конститутивное уравнение (конститутивный закон) было разработано Робертом Гуком и известно как закон Гука. Он касается случая линейно-упругих материалов . После этого открытия широко использовался этот тип уравнения, часто называемый «отношением напряжения к деформации» в этом примере, но также называемый «определяющим допущением» или «уравнением состояния». Уолтер Нолл продвинул использование материальных уравнений, прояснив их классификацию и роль требований инвариантности, ограничений и определений таких терминов, как «материал», «изотропный», «эолотропный» и т. Д. Класс «определяющих соотношений» формы скорость напряжения = f (градиент скорости, напряжение,плотность) был предметом Уолтера Ноллазащитил диссертацию в 1954 году под руководством Клиффорда Трусделла . [2]
В современной физике конденсированных сред основную роль играет материальное уравнение. См. Разделы «Линейные основные уравнения» и « Нелинейные корреляционные функции» . [3]
Определения [ править ]
Количество (общепринятое наименование / а) (Общий) символ / с Определение уравнения Единицы СИ Измерение Общий стресс , Давление
P , σ F - перпендикулярная составляющая силы, приложенной к области A
Па = Н · м −2 [M] [L] −1 [T] −2 Общее напряжение ε - D = размер (длина, площадь, объем)
- Δ D = изменение размера материала
1 безразмерный Общий модуль упругости E мод Па = Н · м −2 [M] [L] −1 [T] −2 Модуль для младших E , Y Па = Н · м −2 [M] [L] −1 [T] −2 Модуль сдвига грамм Па = Н · м −2 [M] [L] −1 [T] −2 Объемный модуль К , В Па = Н · м −2 [M] [L] −1 [T] −2 Сжимаемость C Па −1 = м 2 ⋅N −1 [M] −1 [L] [T] 2
Деформация твердых тел [ править ]
Трение [ править ]
Трение - сложное явление. Макроскопически сила трения F между границей раздела двух материалов может быть смоделирована как пропорциональная силе реакции R в точке контакта между двумя поверхностями через безразмерный коэффициент трения μ f , который зависит от пары материалов:
Это может быть применено к статическому трению (трение, препятствующему скольжению двух неподвижных объектов по отдельности), кинетическому трению (трение между двумя объектами, царапающими / скользящими друг о друга) или качением (сила трения, которая предотвращает скольжение, но вызывает крутящий момент, действующий на круглый предмет).
Стресс и напряжение [ править ]
Материальное соотношение напряжение-деформация для линейных материалов обычно известно как закон Гука . В своей простейшей форме закон определяет жесткость пружины (или константу упругости) k в скалярном уравнении, утверждая, что растягивающая / сжимающая сила пропорциональна растянутому (или сжатому) смещению x :
это означает, что материал реагирует линейно. Эквивалентно, с точки зрения напряжения σ , модуля Юнга E и деформации ε (безразмерные):
В общем, силы, которые деформируют твердые тела, могут быть нормальными к поверхности материала (нормальные силы) или касательными (поперечные силы), это можно описать математически с помощью тензора напряжений :
где С представляет собой тензор упругости и S есть тензор соответствия .
Деформации твердого тела [ править ]
Несколько классов деформаций в упругих материалах: [4]
- Эластичность : материал восстанавливает свою первоначальную форму после деформации.
- Неэластичный : если материал близок к эластичному, но приложенная сила вызывает дополнительные зависящие от времени силы сопротивления (т.е. зависят от скорости изменения растяжения / сжатия в дополнение к растяжению / сжатию). Металлы и керамика имеют эту характеристику, но обычно ею можно пренебречь, хотя и не так сильно, когда происходит нагрев из-за трения (например, вибрации или напряжения сдвига в машинах).
- Вязкоупругий : если зависящие от времени резистивные вклады велики, и ими нельзя пренебрегать Каучуки и пластмассы обладают этим свойством и определенно не удовлетворяют закону Гука. Фактически возникает упругий гистерезис.
- Пластичность : приложенная сила вызывает невосстановимые деформации в материале, когда напряжение (или упругая деформация) достигает критической величины, называемой пределом текучести.
- Гиперупругость : приложенная сила вызывает смещения в материале в соответствии с функцией плотности энергии деформации .
Столкновения [ править ]
Относительная скорость разделение об разделении объекта А после столкновения с другим объектом B связана с относительной скоростью захода на посадку об подходе к коэффициенту восстановления , определяемому экспериментальному закон Ньютона воздействия : [5]
который зависит от материалов, из которых сделаны A и B, поскольку столкновение включает взаимодействия на поверхностях A и B. Обычно 0 ≤ e ≤ 1 , в котором e = 1 для полностью упругих столкновений и e = 0 для полностью неупругих столкновений. . Возможно, что e ≥ 1 - для сверхупругих (или взрывных) столкновений.
Деформация жидкостей [ править ]
Уравнение сопротивления дает силу сопротивления D для объекта с площадью поперечного сечения A, движущегося в жидкости плотности ρ со скоростью v (относительно жидкости)
где коэффициент сопротивления (безразмерный) c d зависит от геометрии объекта и сил сопротивления на границе раздела между жидкостью и объектом.
Для ньютоновской жидкости из вязкости ц , то напряжение сдвига τ линейно связан с скоростью деформации (поперечная скорость потока градиента ) ∂ U / ∂ у (единица с -1 ). В равномерном сдвиговом потоке :
с u ( y ) изменение скорости потока u в поперечном (поперечном) направлении y . В общем, для ньютоновской жидкости связь между элементами тензора напряжения сдвига τ ij и деформацией жидкости определяется выражением
- с и
где v i - компоненты вектора скорости потока в соответствующих направлениях координат x i , e ij - компоненты тензора скорости деформации, Δ - объемная скорость деформации (или скорость дилатации), а δ ij - дельта Кронекера . [6]
Закон идеального газа является определяющим соотношением в том смысле, что давление p и объем V связаны с температурой T через число молей газа n :
где R - газовая постоянная (Дж⋅К −1 моль −1 ).
Электромагнетизм [ править ]
[ править ]
Как в классической, так и в квантовой физике точная динамика системы образует набор связанных дифференциальных уравнений , которые почти всегда слишком сложны для точного решения даже на уровне статистической механики . В контексте электромагнетизма это замечание относится не только к динамике свободных зарядов и токов (которые непосредственно входят в уравнения Максвелла), но также к динамике связанных зарядов и токов (которые входят в уравнения Максвелла через определяющие соотношения). В результате обычно используются различные схемы аппроксимации.
Например, в реальных материалах необходимо решить сложные уравнения переноса, чтобы определить временную и пространственную реакцию зарядов, например, уравнение Больцмана или уравнение Фоккера – Планка или уравнения Навье – Стокса . Например, см. Магнитогидродинамику , гидродинамику , электрогидродинамику , сверхпроводимость , моделирование плазмы . Разработан целый физический аппарат для решения этих вопросов. См., Например, теорию линейного отклика , соотношения Грина – Кубо и функцию Грина (теория многих тел) .
Эти сложные теории предоставляют подробные формулы для определяющих соотношений, описывающих электрический отклик различных материалов, таких как диэлектрическая проницаемость , проницаемость , проводимость и так далее.
Перед выполнением расчетов по электромагнетизму (т.е. применением макроскопических уравнений Максвелла ) необходимо определить отношения между полем смещения D и E и магнитным H-полем H и B. Эти уравнения определяют реакцию связанного заряда и тока на приложенные поля и называются определяющими соотношениями.
Определение определяющего отношения между вспомогательными полями D и H и полями E и B начинается с определения самих вспомогательных полей:
где P - поле поляризации, а M - поле намагничивания, которые определяются в терминах микроскопических связанных зарядов и связанного тока соответственно. Прежде чем приступить к вычислению M и P, полезно рассмотреть следующие частные случаи.
Без магнитных или диэлектрических материалов [ править ]
В отсутствие магнитных или диэлектрических материалов определяющие соотношения просты:
где ε 0 и μ 0 две универсальные константы, называемые диэлектрической проницаемостью от свободного пространства и проницаемостей свободного пространства, соответственно.
Изотропные линейные материалы [ править ]
В ( изотропном [7] ) линейном материале, где P пропорционально E , а M пропорционально B , определяющие соотношения также просты. С точки зрения поляризации P и намагниченности M они:
где χ e и χ m - электрическая и магнитная восприимчивости данного материала соответственно. В терминах D и H определяющими отношениями являются:
где ε и μ - константы (которые зависят от материала), называемые диэлектрической проницаемостью и проницаемостью , соответственно, материала. Они связаны с восприимчивостью:
Общий случай [ править ]
Для реальных материалов определяющие отношения не являются линейными, за исключением приблизительно. Расчет определяющих соотношений из первых принципов включает в себя определение того, как Р и М созданы из заданного E и B . [примечание 1] Эти отношения могут быть эмпирическими (основанными непосредственно на измерениях) или теоретическими (основанными на статистической механике , теории переноса или других инструментах физики конденсированного состояния ). Используемые детали могут быть макроскопическими или микроскопическими , в зависимости от уровня, необходимого для изучаемой проблемы.
В общем, определяющие отношения обычно еще можно записать:
но ε и μ, как правило, не являются простыми константами, а являются функциями E , B , положения и времени и имеют тензорный характер. Примеры:
- Дисперсия и поглощение, где ε и μ являются функциями частоты. (Причинность не не допускает материалы не диспергирующей, см, например, Kramers-Кронига .) Ни делать поля должны быть в фазе, что приводит к epsi ; и μ является сложным . Это также приводит к абсорбции.
- Нелинейность , где ε и μ являются функциями E и B .
- Анизотропия (например, двулучепреломление или дихроизм ), которая возникает, когда ε и μ являются тензорами второго ранга,
- Зависимость P и M от E и B в других местах и в другое время. Это могло быть связано с пространственной неоднородностью ; например, в доменной структуре , гетероструктуре или жидком кристалле , или чаще всего в ситуации, когда есть просто несколько материалов, занимающих разные области пространства. Или это может быть из-за изменяющейся во времени среды или из-за гистерезиса . В таких случаях P и M можно рассчитать как: [8] [9]
- в котором функции диэлектрической проницаемости и магнитной проницаемости заменены интегралами по более общим электрическим и магнитным восприимчивостям. [10] В однородных материалах зависимость от других мест известна как пространственная дисперсия .
В качестве разновидности этих примеров, как правило, материалы являются бианизотропными, где D и B зависят как от E, так и от H через дополнительные константы связи ξ и ζ : [11]
На практике некоторые свойства материалов в определенных обстоятельствах оказывают незначительное влияние, что позволяет пренебречь небольшими эффектами. Например: оптическими нелинейностями можно пренебречь при низкой напряженности поля; материальная дисперсия не важна, когда частота ограничена узкой полосой пропускания ; поглощением материала можно пренебречь для длин волн, для которых материал прозрачен; а металлы с конечной проводимостью часто аппроксимируются в микроволновом диапазоне или более длинных волнах как совершенные металлы с бесконечной проводимостью (образующие жесткие барьеры с нулевой скин-глубиной проникновения поля).
Некоторые искусственные материалы, такие как метаматериалы и фотонные кристаллы , имеют индивидуальную диэлектрическую проницаемость и магнитную проницаемость.
Расчет материальных отношений [ править ]
Теоретический расчет определяющих уравнений материала - обычная, важная, а иногда и сложная задача в теоретической физике конденсированного состояния и материаловедении . В общем, основные уравнения теоретически определяются путем вычисления того, как молекула реагирует на локальные поля через силу Лоренца . Также может потребоваться моделирование других сил, таких как колебания решетки в кристаллах или силы связи. Учет всех сил приводит к изменениям в молекуле, которые используются для расчета P и M как функции локальных полей.
Локальные поля отличаются от приложенных полей из-за полей, создаваемых поляризацией и намагниченностью близлежащего материала; эффект, который также необходимо смоделировать. Кроме того, реальные материалы не являются непрерывными средами ; локальные поля реальных материалов сильно различаются в атомном масштабе. Поля необходимо усреднить по подходящему объему, чтобы сформировать континуальное приближение.
Эти приближения континуума часто требуют определенного типа квантово-механического анализа, такого как квантовая теория поля в применении к физике конденсированного состояния . См., Например, теорию функционала плотности , соотношения Грина – Кубо и функцию Грина .
Другой набор методов гомогенизации (развивающийся из традиции обработки материалов, таких как конгломераты и ламинаты ) основан на приближении неоднородного материала однородной эффективной средой [12] [13] (справедлив для возбуждений с длинами волн, намного превышающими масштаб неоднородности). [14] [15] [16] [17]
Теоретическое моделирование свойств приближения континуума многих реальных материалов часто также основывается на экспериментальных измерениях. [18] Например, ε изолятора на низких частотах можно измерить, превратив его в конденсатор с параллельными пластинами , а ε на частотах оптического света часто измеряют эллипсометрией .
Термоэлектрические и электромагнитные свойства вещества [ править ]
Эти определяющие уравнения часто используются в кристаллографии - области физики твердого тела . [19]
Электромагнитные свойства твердых тел Свойство / эффект Стимулы / параметры реакции системы Учредительный тензор системы Уравнение эффект Холла - E = напряженность электрического поля (N⋅C −1 )
- J = плотность электрического тока (А⋅м −2 )
- H = напряженность магнитного поля (А · м −1 )
ρ = удельное электрическое сопротивление (Ом⋅м) Прямой пьезоэлектрический эффект - σ = напряжение (Па)
- P = (диэлектрическая) поляризация (Клм −2 )
d = прямой пьезоэлектрический коэффициент (C⋅N −1 ) Converse пьезоэлектрический эффект - ε = деформация (безразмерная)
- E = напряженность электрического поля (N⋅C −1 )
d = прямой пьезоэлектрический коэффициент (C⋅N −1 ) Пьезомагнитный эффект - σ = напряжение (Па)
- M = намагниченность (A⋅m −1 )
q = пьезомагнитный коэффициент (A⋅N −1 m)
Термоэлектрические свойства твердых тел Свойство / эффект Стимулы / параметры реакции системы Учредительный тензор системы Уравнение Пироэлектричество - P = (диэлектрическая) поляризация (Клм −2 )
- T = температура (K)
p = пироэлектрический коэффициент (C⋅m −2 ⋅K −1 ) Электрокалорийный эффект - S = энтропия (ДжK −1 )
- E = напряженность электрического поля (N⋅C −1 )
p = пироэлектрический коэффициент (C⋅m −2 ⋅K −1 ) Эффект Зеебека - E = напряженность электрического поля (N⋅C −1 = V⋅m −1 )
- T = температура (K)
- x = смещение (м)
β = термоЭДС (V⋅K −1 ) Эффект Пельтье - E = напряженность электрического поля (N⋅C −1 )
- J = плотность электрического тока (А⋅м −2 )
- q = тепловой поток (Вт⋅м −2 )
Π = коэффициент Пельтье (W⋅A −1 )
Фотоника [ править ]
- Показатель преломления
(Абсолютный) показатель преломления среды n (безразмерный) - это по своей сути важное свойство геометрической и физической оптики, определяемое как отношение скорости света в вакууме c 0 к скорости света в среде c :
где ε - диэлектрическая проницаемость и ε r - относительная диэлектрическая проницаемость среды, аналогично μ - проницаемость и μ r - относительная проницаемость среды. Диэлектрическая проницаемость вакуума ε 0, проницаемость вакуума μ 0 . В общем, n (также ε r ) - комплексные числа .
Относительный показатель преломления определяется как отношение двух показателей преломления. Абсолютное относится к материалу, относительное относится ко всем возможным парам интерфейсов;
- Скорость света в материи
Как следствие определения, скорость света в веществе равна
для особого случая вакуума; ε = ε 0 и μ = μ 0 ,
- Пьезооптический эффект
Пьезооптический эффект относится напряжения в твердых телах сг к диэлектрической непроницаемости а , которые соединены тензором четвертого ранга называются пьезооптический коэффициент Π (единицы К -1 ):
Транспортные явления [ править ]
Определения [ править ]
Определения (тепловые свойства вещества) Количество (общее название / а) (Обычный) Символ / с Определение уравнения Единицы СИ Измерение Общая теплоемкость C = теплоемкость вещества J⋅K −1 [M] [L] 2 [T] −2 [Θ] −1 Линейное тепловое расширение - L = длина материала (м)
- α = коэффициент линейного теплового расширения (безразмерный)
- ε = тензор деформации (безразмерный)
К −1 [Θ] −1 Объемное тепловое расширение β , γ - V = объем объекта (м 3 )
- p = постоянное давление окружающей среды
К −1 [Θ] −1 Теплопроводность κ , K , λ , - A = поперечное сечение поверхности материала (м 2 )
- P = тепловой ток / мощность через материал (Вт)
- ∇ T = температурный градиент в материале (K⋅m −1 )
Вт⋅м −1 ⋅K −1 [M] [L] [T] −3 [Θ] −1 Теплопроводность U Вт⋅м −2 К −1 [M] [T] −3 [Θ] −1 Термическое сопротивление р Δ x = смещение теплопередачи (м)
м 2 ⋅K⋅W −1 [M] −1 [L] [T] 3 [Θ]
Определения (электрические / магнитные свойства вещества) Количество (общее название / а) (Обычный) Символ / с Определение уравнения Единицы СИ Измерение Электрическое сопротивление р Ω = V⋅A −1 = J⋅s⋅C −2 [M] [L] 2 [T] −3 [I] −2 Удельное сопротивление ρ Ом⋅м [M] 2 [L] 2 [T] −3 [I] −2 Температурный коэффициент удельного сопротивления , линейная температурная зависимость α К −1 [Θ] −1 Электрическая проводимость грамм S = Ω −1 [M] −1 [L] −2 [T] 3 [I] 2 Электрическая проводимость σ Ω −1 ⋅m −1 [M] −2 [L] −2 [T] 3 [I] 2 Магнитное сопротивление R , R м , A⋅Wb −1 = H −1 [M] −1 [L] −2 [T] 2 Магнитная проницаемость P , P m , Λ, Wb⋅A −1 = H [M] [L] 2 [T] −2
Окончательные законы [ править ]
Есть несколько законов, которые описывают перенос материи или ее свойства почти одинаково. В каждом случае словами они читают:
- Поток (плотность) пропорционален градиенту , коэффициент пропорциональности является характеристикой материала.
В общем случае постоянная должна быть заменена тензором 2-го ранга, чтобы учесть зависимости материала от направления.
Свойство / эффект Номенклатура Уравнение Закон Фика о диффузии , определяет коэффициент диффузии D - D = массовый коэффициент диффузии (м 2 ⋅ с −1 )
- J = диффузионный поток вещества (моль⋅м −2 с −1 )
- ∂ C / ∂ x = (1d) градиент концентрации вещества (моль⋅дм −4 )
Закон Дарси для потока жидкости в пористой среде определяет проницаемость κ - κ = проницаемость среды (м 2 )
- μ = вязкость жидкости (Па⋅с)
- q = поток вещества при разряде (м⋅с −1 )
- ∂ P / ∂ x = (1d) градиент давления системы (Па⋅м −1 )
Закон электропроводности Ома определяет электрическую проводимость (и, следовательно, удельное сопротивление и сопротивление). - V = разность потенциалов в материале (В)
- I = электрический ток через материал (A)
- R = сопротивление материала (Ом)
- ∂ V / ∂ x = градиент потенциала ( электрического поля ) в материале (V⋅m −1 )
- J = плотность электрического тока через материал (А⋅м −2 )
- σ = электрическая проводимость материала (Ω -1 ⋅m -1 )
- ρ = удельное электрическое сопротивление материала (Ом⋅м)
- Упрощенная форма:
- Более общие формы:
Закон теплопроводности Фурье определяет теплопроводность λ - λ = теплопроводность материала (Вт⋅м −1 ⋅K −1 )
- q = тепловой поток через материал (Вт⋅м −2 )
- ∂ T / ∂ x = температурный градиент в материале (K⋅m −1 )
Закон Стефана – Больцмана излучения черного тела , определяет излучательную способность ε - I = интенсивность излучения (Вт⋅м −2 )
- σ = постоянная Стефана – Больцмана (W⋅m −2 ⋅K −4 )
- T sys = температура излучающей системы (K)
- T ext = температура внешней среды (K)
- ε = коэффициент излучения (безразмерный)
Для разницы температур:- Для одиночного радиатора:
- 0 ≤ ε ≤ 1
- ε = 0 для идеального отражателя
- ε = 1 для идеального поглотителя (истинное черное тело)
См. Также [ править ]
- Принцип материальной объективности
- Реология
Заметки [ править ]
- ^ В свободные заряды и токи реагируют на поля через силы Лоренца закона и этот ответ рассчитывается на фундаментальном уровнеиспользуя механику. Реакция связанных зарядов и токов рассматривается с использованием более грубых методов, относящихся к понятиям намагниченности и поляризации. В зависимости от проблемы можно вообще отказаться от бесплатных платежей.
- ^ Клиффорд Трусделл и Уолтер Нолл; Стюарт С. Антман, редактор (2004). Нелинейные полевые теории механики . Springer. п. 4. ISBN 3-540-02779-3.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
- ^ См. Отчет Трусделла в Truesdell Натурализация и апофеоз Уолтера Нолла . См. Также отчет Нолла и классический трактат обоих авторов: Клиффорд Трусделл и Уолтер Нолл - Стюарт С. Антман (редактор) (2004). "Предисловие". Нелинейные полевые теории механики (Первоначально опубликованы как Том III / 3 знаменитой Энциклопедии физики в 1965 году) (3-е изд.). Springer. п. xiii. ISBN 3-540-02779-3.CS1 maint: extra text: authors list (link)
- ^ Йорген Раммер (2007). Квантовая теория поля неравновесных состояний . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-87499-1.
- ^ Энциклопедия физики (2-е издание), RG Lerner , GL Trigg, VHC publishers, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
- ^ Essential Principles of Physics, PM Whelan, MJ Hodgeson, 2nd Edition, 1978, John Murray, ISBN 0 7195 3382 1.
- Перейти ↑ Kay, JM (1985). Гидравлическая механика и процессы переноса . Издательство Кембриджского университета. С. 10 и 122–124. ISBN 9780521316248.
- ^ Обобщение на неизотропные материалы прямолинейно; просто замените константы тензорными величинами.
- ^ Галеви, Питер (1992). Пространственная дисперсия в твердых телах и плазме . Амстердам: Северная Голландия. ISBN 978-0-444-87405-4.
- ^ Джексон, Джон Дэвид (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Нью-Йорк: Вили. ISBN 0-471-30932-X.
- ^ Следует отметитьчто термин «магнитная восприимчивость» используется здесь в терминах B и отличается от стандартного определения в терминах H .
- ^ TG Mackay; А Лахтакия (2010). Электромагнитная анизотропия и бианизотропия: практическое руководство . World Scientific. Архивировано из оригинала на 2010-10-13 . Проверено 22 мая 2012 .
- ^ Аспнес, DE , "Эффекты локального поля и теория эффективной среды: микроскопическая перспектива", Am. J. Phys. 50. С. 704–709 (1982).
- ^ Хабиб Аммари; Хёнбэ Кан (2006). Обратные задачи, многомасштабный анализ и теория эффективной среды: семинар в Сеуле, Обратные задачи, многомасштабный анализ и гомогенизация, 22–24 июня 2005 г., Сеульский национальный университет, Сеул, Корея . Провиденс Р.И.: Американское математическое общество. п. 282. ISBN. 0-8218-3968-3.
- ^ OC Zienkiewicz; Роберт Лерой Тейлор; JZ Zhu; Перумал Нитиарасу (2005). Метод конечных элементов (шестое изд.). Оксфорд, Великобритания: Баттерворт-Хайнеманн. п. 550 сл. ISBN 0-7506-6321-9.
- ^ Н. Бахвалов и Г. Панасенко, Усреднение: процессы усреднения в периодических средах (Kluwer: Dordrecht, 1989); Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник О.А. Усреднение дифференциальных операторов и интегральных функционалов .
- ^ Виталий Ломакин; Steinberg BZ; Heyman E; Фельзен Л.Б. (2003). «Гомогенизация с несколькими разрешениями полевых и сетевых составов для многомасштабных ламинатных диэлектрических плит» (PDF) . Транзакции IEEE по антеннам и распространению . 51 (10): 2761 и сл. Bibcode : 2003ITAP ... 51.2761L . DOI : 10.1109 / TAP.2003.816356 . Архивировано из оригинального (PDF) 14 мая 2012 года.
- ↑ AC Gilbert (Рональд Р. Койфман, редактор) (май 2000 г.). Вопросы анализа и его приложений: Избранные тезисы . Сингапур: Всемирная научная издательская компания. п. 155. ISBN 981-02-4094-5.
- ^ Эдвард Д. Палик; Гош Г (1998). Справочник оптических констант твердых тел . Лондон Великобритания: Academic Press. п. 1114. ISBN 0-12-544422-2.
- ^ «2. Физические свойства как тензоры» . www.mx.iucr.org . Архивировано из оригинального 19 апреля 2018 года . Проверено 19 апреля 2018 года .