Определение уравнения (физика)

В физике , определяющие уравнения являются уравнения , которые определяют новые величины в терминах базовых величин. ^[1] В этой статье использует текущую систему SI из единиц , а не естественные или характерные единиц .

Описание единиц и физических величин [ править ]

Физические величины и единицы следуют той же иерархии; выбранные базовые величины имеют определенные базовые единицы , из которых могут быть выведены любые другие величины, имеющие соответствующие производные единицы .

Аналогия смешения цветов [ править ]

Определение количества аналогично смешиванию цветов и может быть классифицировано аналогичным образом, хотя это не является стандартом. Основные цвета относятся к базовым количествам; вторичные (или третичные) цвета относятся к производным величинам. Смешивание цветов аналогично объединению величин с помощью математических операций. Но цвета могут быть для света или краски , и аналогично система единиц может быть одной из многих форм: таких как СИ (теперь наиболее распространенная), CGS , гауссовский , старые имперские единицы , конкретная форма натуральных единиц или даже произвольно определенные единицы. характеристика рассматриваемой физической системы ( характеристические единицы ).

Выбор базовой системы величин и единиц произвольный; но однажды выбранный, он должен соблюдаться на протяжении всего последующего анализа для согласованности. Нет смысла путать разные системы единиц. Выбор системы единиц, одной системы из СИ, СГС и т. Д., Подобен выбору использования краски или светлых тонов.

В свете этой аналогии первичные определения - это базовые величины без определяющего уравнения, но с определенным стандартизированным условием, «вторичные» определения - это количества, определенные исключительно в терминах базовых величин, «третичные» для количеств в терминах как базовых, так и «вторичных» величин. , «четвертичный» для количеств в терминах основных, «вторичных» и «третичных» величин и так далее.

Мотивация [ править ]

Большая часть физики требует, чтобы уравнения имели смысл.

Теоретические выводы: определения важны, поскольку они могут привести к новому пониманию раздела физики. Два таких примера имели место в классической физике. Когдабыла определена энтропия S - диапазон термодинамики был значительно расширен за счет связывания хаоса и беспорядка с числовой величиной, которая может относиться к энергии и температуре, что привело к пониманию второго закона термодинамики и статистической механики . ^[2]

Кроме того , действие функционала (также записывается S ) (вместе с обобщенными координатами и импульсами и лагранжевой функцией), первоначально альтернативная формулировка классической механики к законам Ньютона , в настоящее время расширяет спектр современной физики в целом - в частности , квантовой механика , физика элементарных частиц , и общая теория относительности . ^[3]

Аналитическое удобство: они позволяют записывать другие уравнения более компактно и, таким образом, упрощают математические манипуляции; путем включения параметра в определение его вхождения можно включить в заменяемую величину и удалить из уравнения. ^[4]

Пример

В качестве примера рассмотрим закон Ампера (с поправкой Максвелла) в интегральной форме для произвольного проводника с током в вакууме ( т.е. нулевая намагниченность из-за среды, т. Е. M = 0 ): ^[5]

${\ displaystyle \ oint _ {S} \ mathbf {B} \ cdot {\ rm {d}} \ mathbf {l} = \ mu _ {0} \ oint _ {S} \ left (\ mathbf {J} + \ epsilon _ {0} {\ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ partial t}} \ right) \ cdot {\ rm {d}} \ mathbf {A} \, \!}$

используя конститутивное определение

${\ Displaystyle \ mathbf {B} = \ mu _ {0} \ mathbf {H}, \, \!}$

и определение плотности тока

${\ Displaystyle I = \ oint _ {S} \ mathbf {J} \ cdot {\ rm {d}} \ mathbf {A}, \, \!}$

аналогично для плотности тока смещения

${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ rm {d}} = \ epsilon _ {0} {\ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ partial t}} \, \!}$ приводящий к току смещения ${\ displaystyle I_ {d} = \ oint _ {S} \ mathbf {J} _ {\ rm {d}} \ cdot {\ rm {d}} \ mathbf {A}, \, \!}$

у нас есть

${\ displaystyle \ oint _ {S} \ mathbf {B} \ cdot {\ rm {d}} \ mathbf {l} = \ mu _ {0} \ oint _ {S} \ mathbf {J} \ cdot {\ rm {d}} \ mathbf {A} + \ mu _ {0} \ oint _ {S} \ mathbf {J} _ {\ rm {d}} \ cdot {\ rm {d}} \ mathbf {A} , \, \!}$

${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {H} \cdot {\rm {d}}\mathbf {l} =I+I_{d},\,\!}$

которое проще написать, даже если уравнение такое же.

Легкость сравнения: они позволяют сравнивать измерения, если в противном случае они могут показаться неоднозначными и неясными.

Пример

Базовый пример - плотность массы. Непонятно, как сравнивать, сколько вещества составляет множество веществ, учитывая только их массы или только их объемы. Учитывая и то, и другое для каждого вещества, масса m на единицу объема V или массовая плотность ρ обеспечивает значимое сравнение между веществами, поскольку для каждого из них фиксированный объем будет соответствовать количеству массы, зависящему от вещества. Чтобы проиллюстрировать это; если два вещества A и B имеют массы m _A и m _B соответственно, занимая объемы V _A и V _B соответственно, использование определения массовой плотности дает:

ρ _A = m _A / V _A , ρ _B = m _B / V _B

после этого можно увидеть, что:

• если m _A > m _B или m _A < m _B и V _A = V _B , то ρ _A > ρ _B или ρ _A < ρ _B ,
• если m _A = m _B и V _A > V _B или V _A < V _B , то ρ _A < ρ _B или ρ _A > ρ _B ,
• если ρ _A = ρ _B , то m _A / V _A = m _B / V _B, так что m _A / m _B = V _A / V _B , демонстрируя, что если m _A > m _B или m _A < m _B , то V _A > В _В или В < В _В .

Проведение таких сравнений без логического использования математики было бы не таким систематическим.

Построение определяющих уравнений [ править ]

Объем определений [ править ]

Определяющие уравнения обычно формулируются в терминах элементарной алгебры и исчисления , векторной алгебры и исчисления или для наиболее общих приложений тензорной алгебры и исчисления , в зависимости от уровня изучения и представления, сложности темы и области применения. Функции могут быть включены в определение, в случае исчисления это необходимо. Количества также могут быть сложными-значен для теоретического преимущества, но для физического измерения актуальна действительная часть, мнимая часть может быть отброшена. Для более сложных методов лечения уравнение может быть записано в эквивалентной, но альтернативной форме с использованием других определяющих уравнений, чтобы определение было полезным. Часто определения могут начинаться с элементарной алгебры, затем преобразовываться в векторы, а затем в предельных случаях может использоваться исчисление. Используемые математические уровни различных уровней обычно следуют этому шаблону.

Обычно определения являются явными, что означает, что определяющая величина является предметом уравнения, но иногда уравнение не записывается явно - хотя определяющая величина может быть решена для того, чтобы сделать уравнение явным. Для векторных уравнений иногда определяющая величина находится в перекрестном или скалярном произведении и не может быть решена явно как вектор, но компоненты могут.

Примеры

Плотность электрического тока - это пример, охватывающий все эти методы, угловой момент - это пример, который не требует исчисления. См. Раздел классической механики ниже для номенклатуры и диаграмм справа.

Элементарная алгебра

Операции - это просто умножение и деление. Уравнения могут быть записаны в форме произведения или частного, оба, конечно же, эквивалентны.

	Угловой момент	Плотность электрического тока
Факторная форма	${\displaystyle p={\frac {L}{r}}\,\!}$	${\displaystyle J={\frac {I}{A}}\,\!}$
Форма продукта	${\displaystyle L=pr\,\!}$	${\displaystyle I=JA\,\!}$

Векторная алгебра

Невозможно разделить вектор на вектор, поэтому нет форм произведения или частного.

	Угловой момент	Плотность электрического тока
Факторная форма	N / A	${\displaystyle \mathbf {J} \cdot \mathbf {\hat {n}} ={\frac {I}{A}}\,\!}$
Форма продукта	Начиная с ${\displaystyle L=pr,\,\!}$ так как L = 0 , когда р и г является параллельными или антипараллелен , и является максимальным , когда перпендикулярны, так что единственным компонентом р , который способствует L является тангенциальным | p | sin θ величину углового момента L следует переписать как ${\displaystyle L=pr\sin \theta .\,\!}$ Поскольку r , p и L образуют правую триаду, это приводит к векторной форме ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} .\,\!}$	${\displaystyle \mathbf {J} \cdot \mathbf {\hat {n}} A=I,\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {J} \cdot \mathbf {A} =I,\,\!}$

Элементарное исчисление

Арифметические операции модифицированы до предельных случаев дифференцирования и интегрирования. Уравнения могут быть выражены этими эквивалентными и альтернативными способами.

	Плотность тока
Дифференциальная форма	${\displaystyle J=\lim _{A\rightarrow 0}{\frac {I}{A}}={\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} A}}\,\!}$
Интегральная форма	${\displaystyle I=\lim _{A_{i}\rightarrow 0}\sum _{i}JA_{i}=\int _{S}J{\mathrm {d} A}\,\!}$ где d A означает элемент дифференциальной площади (см. также поверхностный интеграл ). Альтернативно для интегральной формы ${\displaystyle \mathrm {d} I=J{\mathrm {d} A},\,\!}$ ${\displaystyle I=\int _{S}J{\mathrm {d} A}.\,\!}$

Векторное исчисление

	Плотность тока
Дифференциальная форма	${\displaystyle \mathbf {J} \cdot \mathbf {\hat {n}} ={\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} A}}\,\!}$
Интегральная форма	${\displaystyle I=\int _{S}\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} \,\!}$ где d A = n d A - площадь дифференциального вектора .

Тензорный анализ

Векторы являются тензорами ранга 1 . Приведенные ниже формулы являются не более чем векторными уравнениями на языке тензоров.

	Угловой момент	Плотность электрического тока
Дифференциальная форма	N / A	${\displaystyle J_{i}n_{i}={\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} A}}\,\!}$
Продукт / целостная форма	Начиная с ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} \,\!}$ компоненты - это L i , r j , p i , где i, j, k - каждый фиктивный индекс, каждый из которых принимает значения 1, 2, 3, с использованием идентичности из тензорного анализа. ${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {b} \times \mathbf {c} ,\quad a_{i}=\epsilon _{ijk}b_{j}c_{k},\,\!}$ где ε ijk - тензор перестановки / Леви-Чита , приводит к ${\displaystyle L_{i}=\epsilon _{ijk}r_{j}p_{k}.\,\!}$	Используя соглашение Эйнштейна о суммировании , ${\displaystyle J_{i}n_{i}\mathrm {d} A=\mathrm {d} I\,\!}$ ${\displaystyle \int _{S}J_{i}\mathrm {d} A_{i}=I\,\!}$

Определения с множественным выбором [ править ]

Иногда в выбранной системе единиц все еще есть свобода определять одно или несколько величин более чем одним способом. Ситуация распадается на два случая: ^[6]

Взаимоисключающие определения: существует ряд возможных вариантов определения количества в терминах других, но можно использовать только одно, а другие нельзя. Выбор более чем одного исключительного уравнения для определения приводит к противоречию: одно уравнение может требовать, чтобы величина X была определена одним способом с использованием другой величины Y , в то время как другое уравнение требует обратного , Y должно быть определено с помощью X , но затем другое уравнение может исказить использование как X, так и Y , и так далее. Из-за взаимного несогласия невозможно сказать, какое уравнение какое количество определяет.

Эквивалентные определения: определение уравнений, которые эквивалентны и самосогласованы с другими уравнениями и законами в рамках физической теории, просто написанные по-разному.

Для каждого случая есть две возможности:

Одно определяющее уравнение - одна определенная величина: определяющее уравнение используется для определения одной величины через ряд других.

Одно определяющее уравнение - ряд определенных величин: определяющее уравнение используется для определения ряда величин с точки зрения ряда других. Одно определяющее уравнение не должно содержать одну величину, определяющую все остальные величины в том же уравнении , иначе снова возникнут противоречия. Отдельного определения определенных величин не существует, поскольку они определяются одной величиной в одном уравнении. Кроме того, определенные количества могут быть уже определены ранее, поэтому, если другая величина определяет их в том же уравнении, между определениями возникает конфликт.

Противоречий можно избежать, определяя количества последовательно ; порядок , в котором определены величины должны быть учтены. Примеры, охватывающие эти случаи, встречаются в электромагнетизме и приведены ниже.

Примеры

Взаимоисключающие определения:

Поле магнитной индукции B может быть определено в терминах электрического заряда q или тока I и силы Лоренца (магнитного члена) F, испытываемой носителями заряда из-за поля,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &=q\left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\\&=\left(\int I\mathrm {d} t\right)\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {B} \right)\\&=\left(\int I\mathrm {d} t{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)\times \mathbf {B} \\&=I\left(\int \mathrm {d} \mathbf {r} \right)\times \mathbf {B} \\&=I\left(\mathbf {l} \times \mathbf {B} \right),\end{aligned}}\,\!}$

где - изменение положения, через которое проходят носители заряда (предполагая, что ток не зависит от положения, в противном случае необходимо выполнить линейный интеграл вдоль пути тока) или в терминах магнитного потока Φ _B через поверхность S , где площадь используется как скаляр A и вектор: и является единичной нормалью к A , либо в дифференциальной форме${\displaystyle \mathbf {l} =\int \mathrm {d} \mathbf {r} \,\!}$${\displaystyle \mathbf {A} =A\mathbf {\hat {n}} \,\!}$${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} \,\!}$

${\displaystyle \mathbf {B} \cdot \mathbf {\hat {n}} ={\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} A}},\,\!}$

или интегральная форма,

${\displaystyle \mathbf {B} \cdot \mathbf {\hat {n}} \mathrm {d} A=\mathrm {d} \Phi _{B},\,\!}$

${\displaystyle \Phi _{B}=\int _{S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} .\,\!}$

Однако только одно из приведенных выше уравнений может использоваться для определения B по следующей причине, учитывая, что A , r , v и F были определены в другом месте однозначно (скорее всего, механика и евклидова геометрия ).

Если уравнение силы определяет B , где q или I были ранее определены, тогда уравнение потока определяет Φ _B , поскольку B был ранее определен однозначно. Если уравнение потока определяет B , где Φ _B , уравнение силы может быть определяющим уравнением для I или q . Обратите внимание на противоречие, когда B оба уравнения определяют B одновременно и когда B не является базовой величиной; уравнение силы требует, чтобы q или Iбыть определенным в другом месте, в то время как уравнение потока требует, чтобы q или I определялись уравнением силы, аналогично уравнение силы требует, чтобы Φ _B определялась уравнением потока, в то же время уравнение потока требует, чтобы Φ _B была определено в другом месте. Чтобы оба уравнения одновременно использовались в качестве определений, B должно быть базовой величиной, чтобы можно было однозначно определить F и Φ _B как вытекающие из B. ^[6]

Эквивалентные определения:

Другой пример - индуктивность L, для которой используются два эквивалентных уравнения. ^{[7] [8]}

В терминах I и Φ _B индуктивность определяется выражением

${\displaystyle L=N{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} I}},\,\!}$

через I и наведенную ЭДС V

${\displaystyle V=-L{\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}.\,\!}$

Эти два эквивалента согласно закону индукции Фарадея :

${\displaystyle V=-N{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}},\,\!}$

${\displaystyle V{\mathrm {d} t}=-N\mathrm {d} \Phi _{B},\,\!}$

подставляя в первое определение L

${\displaystyle L=-V{\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} I}}\,\!}$

${\displaystyle V=-L{\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}\,\!}$

и поэтому они не исключают друг друга.

Одно определяющее уравнение - количество определенных величин

Обратите внимание, что L не может определять I и Φ _B одновременно - это не имеет смысла. I , Φ _B и V , скорее всего, все ранее были определены как ( Φ _B, приведенное выше в уравнении потока);

${\displaystyle V={\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} q}},\quad I={\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}},\,\!}$

где W = работа, выполненная на заряде q . Кроме того, не существует определения I или Φ _{B по} отдельности - потому что L определяет их в одном и том же уравнении.

Однако, используя силу Лоренца для электромагнитного поля : ^{[9] [10] [11]}

${\displaystyle \mathbf {F} =q\left[\mathbf {E} +\left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\right],\,\!}$

как одно определяющее уравнение для электрического поля E и магнитного поля B допускается, поскольку E и B определяются не только одной переменной, но и тремя ; сила F , скорость v и заряд q . Это согласуется с изолированными определениями E и B, поскольку E определяется с помощью F и q :

${\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {F} /q.\,\!}$

и B определяется как F , v и q , как указано выше.

Ограничения определений [ править ]

Определения и функции: Определение количеств может варьироваться в зависимости от параметров, отличных от тех, что указаны в определении. Определяющее уравнение только определяет, как вычислить определенное количество, оно не может описать, как количество изменяется в зависимости от других параметров, поскольку функция будет варьироваться от одного приложения к другому. То, как определяемая величина изменяется в зависимости от других параметров, описывается определяющим уравнением или уравнениями, поскольку она изменяется от одного приложения к другому и от одного приближения (или упрощения) к другому.

Примеры

Массовая плотность ρ определяется с использованием массы m и объема V , но может изменяться в зависимости от температуры T и давления p , ρ = ρ ( p , T )

Угловая частота ω от распространения волн определяется с использованием частоты (или , что эквивалентно период времени T ) от колебаний, в зависимости от волнового числа к , ω = ω ( к ). Это дисперсионное соотношение для распространения волн.

Коэффициент восстановления для объекта сталкивающегося определяются с использованием скорости разделения и захода на посадку по отношению к точке столкновения, но зависит от характера поверхности в вопросе.

Определения против теорем : существует очень важное различие между определяющими уравнениями и общими или производными результатами, теоремами или законами. Определяющие уравнения действительно не найти любую информацию о физической системе, они просто повторно-STATE одно измерение с точки зрения других. Результаты, теоремы и законы, с другой стороны делать дают существенную информацию, если только немного, такони представляют расчет для величины данного другие свойства системы, и описатькак система ведет себя как переменные изменяются.

Примеры

Выше был приведен пример закона Ампера. Другой - сохранение импульса для N ₁ начальных частиц, имеющих начальные импульсы p _i, где i = 1, 2 ... N ₁ , и N ₂ конечных частиц, имеющих конечные импульсы p _i (некоторые частицы могут взорваться или прилипнуть), где j = 1 , 2 ... N ₂ , уравнение сохранения гласит:

${\displaystyle \sum _{i}^{N_{1}}\mathbf {p} _{\rm {i}}=\sum _{j}^{N_{2}}\mathbf {p} _{\rm {j}}\,\!}$

Используя определение количества движения в терминах скорости:

${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} \,\!}$

так что для каждой частицы:

${\displaystyle \mathbf {p} _{\rm {i}}=m_{i}\mathbf {v} _{\rm {i}}\,\!}$ а также ${\displaystyle \mathbf {p} _{\rm {j}}=m_{j}\mathbf {v} _{\rm {j}}\,\!}$

уравнение сохранения можно записать как

${\displaystyle \sum _{i}^{N_{1}}m_{i}\mathbf {v} _{\rm {i}}=\sum _{j}^{N_{2}}m_{i}\mathbf {v} _{\rm {i}}.\,\!}$

Он идентичен предыдущей версии. Никакая информация не теряется или не приобретается при изменении количества при замене определений, но само уравнение дает информацию о системе.

Одноразовые определения [ править ]

Некоторые уравнения, обычно получаемые в результате вывода, включают полезные величины, которые служат одноразовым определением в пределах его области применения.

Примеры

В специальной теории относительности , релятивистская масса имеет поддержку и умаление физик. ^[12] Это определяется как:

${\displaystyle m=\gamma m_{0}\,\!}$

где m ₀ - масса покоя объекта, а γ - фактор Лоренца . Это позволяет легко получить некоторые величины, такие как импульс p и энергия E движущегося массивного объекта, из других уравнений, просто используя релятивистскую массу:

${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} \rightarrow \mathbf {p} =\gamma m_{0}\mathbf {v} }$

${\displaystyle E=mc^{2}\rightarrow E=\gamma m_{0}c^{2}}$

Однако это не всегда применимо, например, кинетическая энергия T и сила F одного и того же объекта не определяются по формуле:

${\displaystyle T={\frac {m}{2}}\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} \nrightarrow T={\frac {\gamma m_{0}}{2}}\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} \nrightarrow \mathbf {F} =\gamma m_{0}\mathbf {a} }$

Фактор Лоренца имеет более глубокое значение и происхождение и используется в терминах собственного времени и координатного времени с четырьмя векторами . Правильные уравнения выше являются следствием применения определений в правильном порядке.

В электромагнетизме заряженная частица (массы m и заряда q ) в однородном магнитном поле B отклоняется полем по круговой винтовой дуге со скоростью v и радиусом кривизны r , при этом спиральная траектория наклонена под углом θ к B . Магнитная сила является центростремительной силой , так что сила F , действующая на частицу;

${\displaystyle \mathbf {F} =-{\frac {m\left(\mathbf {v} \cdot {\mathbf {v} }\right)\mathbf {\hat {r}} }{\left|\mathbf {r} \right|}}=q\left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right),\,\!}$

приведение к скалярной форме и решение для | B || г |;

${\displaystyle {\frac {m\left|\mathbf {v} \right|^{2}}{\left|\mathbf {r} \right|}}=q\left|\mathbf {v} \right|\left|\mathbf {B} \right|\sin \theta ,\,\!}$

${\displaystyle {\frac {m\left|\mathbf {v} \right|}{\left|\mathbf {r} \right|}}=q\left|\mathbf {B} \right|\sin \theta ,\,\!}$

${\displaystyle \left|\mathbf {B} \right|\left|\mathbf {r} \right|={\frac {m\left|\mathbf {v} \right|}{q\sin \theta }},\,\!}$

служит определением магнитной жесткости частицы. ^[13] Поскольку это зависит от массы и заряда частицы, это полезно для определения степени отклонения частицы в B- поле, что экспериментально происходит в масс-спектрометрии и детекторах частиц .

См. Также [ править ]

• Материальное уравнение
• Определяющее уравнение (физическая химия)
• Список уравнений электромагнетизма
• Список уравнений классической механики
• Список уравнений механики жидкости
• Список уравнений гравитации
• Список уравнений в ядерной физике и физике элементарных частиц
• Список уравнений квантовой механики
• Список уравнений фотоники
• Список релятивистских уравнений
• Таблица уравнений термодинамики

Сноски [ править ]

Источники [ править ]

• PM Уилан; MJ Hodgeson (1978). Основные принципы физики (2-е изд.). Джон Мюррей. ISBN 0-7195-3382-1.
• Г. Воан (2010). Кембриджский справочник по физическим формулам . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-57507-2.
• А. Халперн (1988). 3000 Решенных задач по физике, Серия Шаум . Мак Гроу Хилл. ISBN 978-0-07-025734-4.
• Р.Г. Лернер ; Г.Л. Тригг (2005). Энциклопедия физики (2-е изд.). Издательство VHC, Ханс Варлимонт, Springer. С. 12–13. ISBN 978-0-07-025734-4.
• CB Parker (1994). Энциклопедия физики Макгроу Хилла (2-е изд.). Макгроу Хилл. ISBN 0-07-051400-3.
• П.А. Типлер; Г. Моска (2008). Физика для ученых и инженеров: с современной физикой (6-е изд.). WH Freeman and Co. ISBN 978-1-4292-0265-7.
• LN Hand; Джей Ди Финч (2008). Аналитическая механика . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-57572-0.
• ТБ Аркилл; Си Джей Миллар (1974). Механика, колебания и волны . Джон Мюррей. ISBN 0-7195-2882-8.
• HJ Pain (1983). Физика колебаний и волн (3-е изд.). Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-90182-2.
• JR Forshaw; А.Г. Смит (2009). Динамика и относительность . Вайли. ISBN 978-0-470-01460-8.
• ГАГ Беннет (1974). Электричество и современная физика (2-е изд.). Эдвард Арнольд (Великобритания). ISBN 0-7131-2459-8.
• IS Grant; WR Phillips; Манчестерская физика (2008). Электромагнетизм (2-е изд.). Джон Вили и сыновья. ISBN 978-0-471-92712-9.
• Ди-джей Гриффитс (2007). Введение в электродинамику (3-е изд.). Pearson Education, Дорлинг Киндерсли. ISBN 81-7758-293-3.

Дальнейшее чтение [ править ]

• Л. Х. Гринберг (1978). Физика с современными приложениями . Holt-Saunders International WB Saunders and Co. ISBN 0-7216-4247-0.
• JB Marion; У. Ф. Хорняк (1984). Основы физики . Международный колледж Сондерса Холт-Сондерс. ISBN 4-8337-0195-2.
• А. Бейзер (1987). Концепции современной физики (4-е изд.). Макгроу-Хилл (международный). ISBN 0-07-100144-1.
• HD Young; Р.А. Вольноотпущенник (2008). Университетская физика - с современной физикой (12-е изд.). Эддисон-Уэсли (Pearson International). ISBN 0-321-50130-6.