Непрерывный случайный процесс

В теории вероятностей , А непрерывный случайный процесс представляет собой тип стохастического процесса , которые могут быть названы « непрерывным » в зависимости от своего «времени» или параметра индекса. Непрерывность - хорошее свойство (примерные пути) процесса, поскольку оно подразумевает, что они в некотором смысле хорошо работают и, следовательно, их намного легче анализировать. Здесь неявно подразумевается, что индекс случайного процесса является непрерывной переменной. Некоторые авторы ^[1] определяют «непрерывный (стохастический) процесс» как требующий только того, чтобы индексная переменная была непрерывной, без непрерывности траекторий выборки: в некоторой терминологии это будет стохастический процесс с непрерывным временем, параллельно с «дискретным временем». Учитывая возможную путаницу, осторожность необходима. ^[1]

Определения [ править ]

Пусть (Ω, Σ,  P ) - вероятностное пространство , пусть T - некоторый интервал времени, и пусть X  :  T  × Ω →  S - случайный процесс. Для простоты в остальной части этой статьи пространство состояний S будет считаться действительной линией R , но определения проходят mutatis mutandis, если S является R ⁿ , нормированным векторным пространством или даже общим метрическим пространством .

Непрерывность с вероятностью один [ править ]

Принимая во внимание время , т  ∈  Т , Х называется непрерывной с вероятностью единица при т , если

${\ Displaystyle \ mathbf {P} \ left (\ left \ {\ omega \ in \ Omega \ left | \ lim _ {s \ to t} {\ big |} X_ {s} (\ omega) -X_ {t } (\ omega) {\ big |} = 0 \ right. \ right \} \ right) = 1.}$

Среднеквадратичная непрерывность [ править ]

Учитывая время , т  ∈  T , X называется непрерывной в среднеквадратичных при т , если Е [| X _t | ² ] <+ ∞ и

${\ displaystyle \ lim _ {s \ to t} \ mathbf {E} \ left [{\ big |} X_ {s} -X_ {t} {\ big |} ^ {2} \ right] = 0.}$

Непрерывность в вероятности [ править ]

С учетом времени T  ∈  T , X называется непрерывной по вероятности при т , если для всех е  > 0,

${\ displaystyle \ lim _ {s \ to t} \ mathbf {P} \ left (\ left \ {\ omega \ in \ Omega \ left | {\ big |} X_ {s} (\ omega) -X_ {t } (\ omega) {\ big |} \ geq \ varepsilon \ right. \ right \} \ right) = 0.}$

Эквивалентно, X непрерывно по вероятности в момент времени t, если

${\displaystyle \lim _{s\to t}\mathbf {E} \left[{\frac {{\big |}X_{s}-X_{t}{\big |}}{1+{\big |}X_{s}-X_{t}{\big |}}}\right]=0.}$

Непрерывность распространения [ править ]

Для момента времени t  ∈  T , X называется непрерывным по распределению в момент t, если

${\displaystyle \lim _{s\to t}F_{s}(x)=F_{t}(x)}$

для всех точек х , при которых Р _т непрерывно, где Р _т обозначает интегральную функцию распределения в случайной величины X _т .

Образец непрерывности [ править ]

X называется выборочно непрерывным, если X _t ( ω ) непрерывно по t для P - почти всех ω  ∈ Ω. Непрерывность образца является подходящим понятием непрерывности для таких процессов, как диффузия Itō .

Феллерская преемственность [ править ]

Х называется быть Валочно-непрерывным процессом , если для любого фиксированного т  ∈  T и любого ограничена , непрерывна и Σ- измеримой функции г  :  S  →  R , Е ^х [ г ( Х _т )] непрерывно зависит от х . Здесь x обозначает начальное состояние процесса X , а E ^x обозначает ожидание, обусловленное событием, которое X начинается с x .

Отношения [ править ]

Отношения между различными типами непрерывности случайных процессов сродни отношениям между различными типами сходимости случайных величин . Особенно:

• непрерывность с вероятностью единица подразумевает непрерывность вероятности;
• непрерывность в среднеквадратичном означает непрерывность в вероятности;
• непрерывность с вероятностью единица не подразумевает и не подразумевается непрерывностью в среднем квадрате;
• Непрерывность в вероятности подразумевает, но не подразумевается, непрерывность в распределении.

Возникает соблазн спутать непрерывность с вероятностью единица и непрерывностью выборки. Непрерывность с вероятностью единица в момент времени t означает, что P ( A _t ) = 0, где событие A _t задается формулой

${\displaystyle A_{t}=\left\{\omega \in \Omega \left|\lim _{s\to t}{\big |}X_{s}(\omega )-X_{t}(\omega ){\big |}\neq 0\right.\right\},}$

и это вполне осуществимо , чтобы проверить , действительно ли имеет место это для каждого т  Е  Т . С другой стороны, непрерывность образца требует, чтобы P ( A ) = 0, где

${\displaystyle A=\bigcup _{t\in T}A_{t}.}$

A - это неисчислимое объединение событий, поэтому на самом деле оно может не быть самим событием, поэтому P ( A ) может быть неопределенным! Еще хуже, даже если это событие, Р ( ) может быть строго положительным , даже если Р ( _т ) = 0 для всех т  ∈  Т . Так обстоит дело, например, с телеграфным процессом .

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Ноябрь 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

• Kloeden, Peter E .; Платен, Экхард (1992). Численное решение стохастических дифференциальных уравнений . Приложения математики (Нью-Йорк) 23. Берлин: Springer-Verlag. С. 38–39. ISBN 3-540-54062-8.
• Эксендал, Бернт К. (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями (шестое изд.). Берлин: Springer. ISBN 3-540-04758-1. (См. Лемму 8.1.4)