Функция вопросительного знака Минковского
В математике функция вопросительного знака Минковского , обозначаемая ?( x ) , представляет собой функцию с необычными фрактальными свойствами, определенную Германом Минковским в 1904 году . [1] Она отображает квадратичные иррациональные числа в рациональные числа на единичном интервале с помощью выражения, связывающего разложение квадратичных чисел в непрерывную дробь в двоичное разложение рациональных чисел , данное Арно Данжуа в 1938 году. .
Один из способов определения функции вопросительного знака включает в себя соответствие между двумя различными способами представления дробных чисел с использованием конечных или бесконечных двоичных последовательностей . Наиболее привычно, что строка из 0 и 1 с одной точкой «.», например «11.001001000011111...», может интерпретироваться как двоичное представление числа. В данном случае это число
Функция вопросительного знака обращает этот процесс: она переводит непрерывную дробь данного действительного числа в двоичную последовательность, закодированную по длине, а затем переинтерпретирует эту последовательность как двоичное число. [3] [4] Например, для примера выше, . Чтобы определить это формально, если иррациональное число имеет (неокончательное) представление непрерывной дроби.
Аналогично тому, как функция вопросительного знака интерпретирует непрерывные дроби как двоичные числа, функцию Кантора можно понимать как интерпретацию троичных чисел как двоичные числа.
Вопросительный знак явно визуально самоподобен. Моноид самоподобий может быть порожден двумя операторами S и R , действующими на единичном квадрате, и определяться следующим образом:
Визуально S сжимает единичный квадрат до его нижней левой четверти, а R выполняет точечное отражение через его центр.
