Критический аспект

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Критическое измерение»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( декабрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

В ренормгрупповом анализе фазовых переходов в физике , А критический размером является размерностью пространства , при котором изменяется характер фазового перехода. Ниже нижнего критического размера фазовый переход отсутствует. Над верхней критической размерности на критические индексы теории становятся такими же , как и в теории среднего поля . Изящный критерий получения критической размерности в рамках теории среднего поля принадлежит В. Гинзбургу .

Поскольку ренормализационная группа устанавливает связь между фазовым переходом и квантовой теорией поля , это имеет значение для последней и для нашего более широкого понимания перенормировки в целом. Выше верхнего критического измерения квантовая теория поля, которая принадлежит модели фазового перехода, является теорией свободного поля . Ниже нижнего критического размера теории поля, соответствующей модели, не существует.

В контексте теории струн значение более ограничено: критическое измерение - это измерение, при котором теория струн согласована, предполагая постоянный дилатонный фон без дополнительных искажающих изменений из-за эффектов фонового излучения. Точное число может быть определено путем отмены конформной аномалии на мировом листе ; это 26 для теории бозонных струн и 10 для теории суперструн .

Верхнее критическое измерение в теории поля [ править ]

Определение верхней критической размерности теории поля - это вопрос линейной алгебры . Целесообразно формализовать процедуру, поскольку она дает приближение самого низкого порядка для масштабирования и существенные входные данные для ренормализационной группы . Он также выявляет условия, в первую очередь, для создания критической модели.

Показатели мономов критического лагранжиана определяют гиперплоскость в пространстве показателей. Верхний критический размер можно определить по оси-оси ..${\ displaystyle E_ {1}}$

Лагранжиан может быть записана в виде суммы членов, каждый из которых состоит из интеграла по одночлену координат и поле . Примерами являются стандартная -модель и изотропная трикритическая точка Лифшица с лагранжианами${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle \ phi _ {я}}$${\ displaystyle \ phi ^ {4}}$

${\displaystyle \displaystyle S=\int d^{d}x\left\{{\frac {1}{2}}\left(\nabla \phi \right)^{2}+u\phi ^{4}\right\},}$

${\displaystyle \displaystyle S_{L.T.P}=\int d^{d}x\left\{{\frac {1}{2}}\left(\nabla ^{2}\phi \right)^{2}+u\phi ^{3}\nabla ^{2}\phi +w\phi ^{6}\right\},}$

см. также рисунок справа. Эта простая структура может быть совместима с масштабной инвариантностью при изменении масштаба координат и полей с коэффициентом в соответствии с${\displaystyle b}$

${\displaystyle \displaystyle x_{i}\rightarrow x_{i}b^{\left[x_{i}\right]},\phi _{i}\rightarrow \phi _{i}b^{\left[\phi _{i}\right]}.}$

Время здесь не выделяется - это просто еще одна координата: если лагранжиан содержит временную переменную, то эту переменную необходимо масштабировать как с некоторым постоянным показателем . Цель состоит в том, чтобы определить набор экспонент .${\displaystyle t\rightarrow tb^{-z}}$${\displaystyle z=-[t]}$${\displaystyle N=\{[x_{i}],[\phi _{i}]\}}$

Например, один показатель степени может быть выбран произвольно . На языке размерного анализа это означает, что экспоненты учитывают факторы волнового вектора ( обратную длину ). Таким образом, каждый моном лагранжиана приводит к однородному линейному уравнению для показателей . Если в лагранжиане есть (неэквивалентные) координаты и поля, то такие уравнения составляют квадратную матрицу. Если бы эта матрица была обратимой, то было бы только тривиальное решение .${\displaystyle [x_{1}]}$${\displaystyle [x_{1}]=-1}$${\displaystyle N}$ ${\displaystyle k=1/L_{1}}$${\displaystyle \sum E_{i,j}N_{j}=0}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N=0}$

Условие нетривиального решения дает уравнение между размерами пространства, которое определяет верхнюю критическую размерность (при условии, что в лагранжиане есть только одно переменное измерение ). Переопределение координат и полей теперь показывает, что определение масштабных показателей эквивалентно анализу размерностей по отношению к волновому вектору , когда все константы связи, встречающиеся в лагранжиане, становятся безразмерными. Безразмерные константы связи являются техническим признаком верхнего критического размера.${\displaystyle \det(E_{i,j})=0}$${\displaystyle d_{u}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle N}$${\displaystyle k}$

Наивное масштабирование на уровне лагранжиана не соответствует напрямую физическому масштабированию, поскольку требуется обрезание, чтобы придать смысл теории поля и интегралу по путям . Изменение масштаба длины также меняет количество степеней свободы. Это усложнение учитывается ренормализационной группой . Главный результат в верхнем критическом измерении состоит в том, что масштабная инвариантность остается в силе для больших факторов , но с дополнительными факторами при масштабировании координат и полей.${\displaystyle b}$${\displaystyle ln(b)}$

То, что происходит внизу или наверху, зависит от того, интересуют ли вы большие расстояния ( статистическая теория поля ) или короткие расстояния ( квантовая теория поля ). Квантовые теории поля тривиальны (сходятся) снизу и не перенормируемы сверху . ^[1] Статистические теории поля тривиальны (сходятся) сверху и перенормируемы снизу . В последнем случае возникают «аномальные» вклады в наивные показатели масштабирования . Эти аномальные вклады в эффективные критические показатели исчезают в верхнем критическом измерении.${\displaystyle d_{u}}$${\displaystyle d_{u}}$${\displaystyle d_{u}}$${\displaystyle d_{u}}$${\displaystyle d_{u}}$${\displaystyle N}$

Поучительно увидеть, как масштабная инвариантность в верхнем критическом измерении становится масштабной инвариантностью ниже этого измерения. Например, для малых внешних волновых векторов вершинные функции приобретают дополнительные показатели . Если эти показатели вставляются в матрицу (которая имеет значения только в первом столбце), становится условие масштабной инвариантности . Это уравнение может быть выполнено только в том случае, если аномальные показатели вершинных функций каким-либо образом взаимодействуют. Фактически, вершинные функции иерархически зависят друг от друга. Одним из способов выражения этой взаимозависимости являются уравнения Дайсона-Швингера .${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma _{2}(k)\thicksim k^{2-\eta (d)}}$${\displaystyle A(d)}$${\displaystyle \det(E+A(d))=0}$

Таким образом, наивное масштабирование важно как приближение нулевого порядка. Наивное масштабирование в верхнем критическом измерении также классифицирует члены лагранжиана как релевантные, нерелевантные или маргинальные. Лагранжиан совместим с масштабированием, если - и -экспоненты лежат на гиперплоскости, примеры см. На рисунке выше. - нормальный вектор этой гиперплоскости.${\displaystyle d_{u}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle \phi _{i}}$${\displaystyle E_{i,j}}$${\displaystyle N}$

Нижний критический размер [ править ]

Нижняя критическая размерность фазового перехода данного класса универсальности является последним измерением, для которого этот фазовый переход не происходит, если размерность увеличивается, начиная с .${\displaystyle d_{L}}$${\displaystyle d=1}$

Термодинамическая стабильность упорядоченной фазы зависит от энтропии и энергии. Количественно это зависит от типа доменных стенок и режимов их флуктуации. По-видимому, не существует общего формального способа вывести нижнюю критическую размерность теории поля. Нижние оценки могут быть получены с помощью аргументов статистической механики .

Рассмотрим сначала одномерную систему с короткодействующими взаимодействиями. Создание доменной стенки требует фиксированного количества энергии . Извлечение этой энергии из других степеней свободы уменьшает энтропию на . Это изменение энтропии необходимо сравнить с энтропией самой доменной стенки. ^[2] В системе длины есть позиции для доменной стенки, ведущие (согласно принципу Больцмана ) к увеличению энтропии . При ненулевой температуре и достаточно больших всегда преобладает выигрыш энтропии, и поэтому в одномерных системах с короткодействующими взаимодействиями при . Космическое измерение${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \Delta S=-\epsilon /T}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L/a}$${\displaystyle \Delta S=k_{B}\log(L/a)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle L}$${\displaystyle T>0}$${\displaystyle d_{1}=1}$ таким образом, это нижняя граница нижней критической размерности таких систем.

Более сильная нижняя оценка может быть получена с помощью аналогичных аргументов для систем с короткодействующими взаимодействиями и параметром порядка с непрерывной симметрией. В этом случае теорема Мермина-Вагнера утверждает, что математическое ожидание параметра порядка обращается в нуль в точке при , и поэтому фазовый переход обычного типа при температуре и ниже отсутствует.${\displaystyle d_{L}=2}$${\displaystyle d=2}$${\displaystyle T>0}$${\displaystyle d_{L}=2}$

Для систем с подавленным беспорядком может быть применим критерий, данный Имри и Ма ^[3] . Эти авторы использовали критерий для определения нижнего критического размера магнитов со случайным полем.

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Kanon: бесплатная программа для Windows для определения верхнего критического измерения с примерами, онлайн-справкой и математическими подробностями.