Цилиндра (от греческого κύλινδρος - kulindros , «ролик», «тумблер» [1] ) традиционно является трехмерный твердым, один из самых основных криволинейных геометрических фигур. Это идеализированная версия жесткой жестяной банки с крышками сверху и снизу.
Этот традиционный взгляд все еще используется в элементарных трактовках геометрии, но передовая математическая точка зрения сместилась в сторону бесконечной криволинейной поверхности, и именно так цилиндр теперь определяется в различных современных областях геометрии и топологии.
Изменение основного значения (твердое тело по сравнению с поверхностью) создало некоторую двусмысленность с терминологией. Обычно есть надежда, что контекст проясняет смысл. Обе точки зрения обычно представлены и различаются, ссылаясь на твердые цилиндры и цилиндрические поверхности , но в литературе неприукрашенный термин цилиндр может относиться к любому из них или даже к более специализированному объекту, правильному круговому цилиндру .
Типы [ править ]
Определения и результаты в этом разделе взяты из текста « Плоская и сплошная геометрия» 1913 года, написанного Джорджем Вентвортом и Дэвидом Юджином Смитом ( Wentworth & Smith 1913 ).
Цилиндрическая поверхность представляет собой поверхность , состоящая из всех точек на всех линий , которые параллельны к данной линии и которые проходят через фиксированной плоской кривой в плоскости , не параллельной данной линии. Любая линия из этого семейства параллельных линий называется элементом цилиндрической поверхности. С кинематической точки зрения, если задана плоская кривая, называемая директрисой , цилиндрическая поверхность - это поверхность, очерченная линией, называемой образующей , не в плоскости направляющей, движущаяся параллельно себе и всегда проходящая через направляющую. . Любое конкретное положение образующей является элементом цилиндрической поверхности.
Твердое ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями называется (твердое вещество) цилиндра . Сегменты линии, определяемые элементом цилиндрической поверхности между двумя параллельными плоскостями, называются элементом цилиндра . Все элементы цилиндра имеют одинаковую длину. Область, ограниченная цилиндрической поверхностью в любой из параллельных плоскостей, называется основанием цилиндра. Два основания цилиндра - конгруэнтные фигуры. Если элементы цилиндра перпендикулярны плоскостям, содержащим основания, цилиндр является правильным цилиндром , в противном случае он называется наклонным цилиндром . Если базы диски (области, граница которых представляет собой окружность ) цилиндр называется круговым цилиндром . В некоторых элементарных обработках цилиндр всегда означает круговой цилиндр. [2]
Высота (или высота) цилиндра является перпендикулярным расстоянием между его основаниями.
Цилиндр, полученный путем вращения отрезка прямой вокруг фиксированной линии, параллельной которой он является, является цилиндром вращения . Цилиндр вращения - это правильный круговой цилиндр. Высота цилиндра вращения - это длина сегмента образующей. Линия, вокруг которой вращается сегмент, называется осью цилиндра и проходит через центры двух оснований.
Правые круговые цилиндры [ править ]
Голый термин цилиндр часто относится к сплошному цилиндру с круговыми концами, перпендикулярными оси, то есть к правильному круговому цилиндру, как показано на рисунке. Цилиндрическая поверхность без концов называется открытым цилиндром . Формулы площади поверхности и объема правильного кругового цилиндра были известны с глубокой древности.
Правый круговой цилиндр можно также рассматривать как твердое тело вращения, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Эти цилиндры используются в технике интегрирования («дисковый метод») для получения объемов тел вращения. [3]
Свойства [ править ]
Цилиндрические секции [ править ]
Цилиндрическое сечение - это пересечение поверхности цилиндра с плоскостью . Это, как правило, кривые и особые типы плоских сечений . Цилиндрическое сечение плоскостью, содержащей два элемента цилиндра, представляет собой параллелограмм . [4] Такое цилиндрическое сечение правого цилиндра представляет собой прямоугольник . [4]
Цилиндрическое сечение, в котором пересекающаяся плоскость пересекается и перпендикулярна всем элементам цилиндра, называется правым сечением . [5] Если правая часть цилиндра представляет собой круг, то цилиндр - это круговой цилиндр. В более общем смысле, если правое сечение цилиндра является коническим сечением (парабола, эллипс, гипербола), то твердый цилиндр называется параболическим, эллиптическим и гиперболическим соответственно.
Для правильного кругового цилиндра существует несколько способов пересечения плоскостей с цилиндром. Во-первых, плоскости, которые пересекают основание не более чем в одной точке. Плоскость касается цилиндра, если она встречается с цилиндром в единственном элементе. Правые секции представляют собой круги, а все остальные плоскости пересекают цилиндрическую поверхность по эллипсу . [6] Если плоскость пересекает основание цилиндра ровно в двух точках, то отрезок, соединяющий эти точки, является частью цилиндрического сечения. Если такая плоскость содержит два элемента, она имеет прямоугольник как цилиндрическую секцию, в противном случае стороны цилиндрической секции являются частями эллипса. Наконец, если плоскость содержит более двух точек основания, она содержит всю основу, а цилиндрическое сечение представляет собой окружность.
В случае прямого кругового цилиндра с цилиндрическим сечением, которое является эллипсом, эксцентриситет e цилиндрического сечения и большая полуось a цилиндрического сечения зависят от радиуса цилиндра r и угла α между секущей плоскостью и ось цилиндра следующим образом:
Объем [ править ]
Если основание кругового цилиндра имеет радиус r, а высота цилиндра h , то его объем определяется как
- V = π r 2 h .
Эта формула верна независимо от того, является ли цилиндр правильным. [7]
Эта формула может быть установлена с использованием принципа Кавальери .
В более общем смысле, по тому же принципу объем любого цилиндра является произведением площади основания и высоты. Например, эллиптический цилиндр с основанием, имеющим большую полуось a , малую полуось b и высоту h, имеет объем V = Ah , где A - площадь основного эллипса (= π ab ). Этот результат для правых эллиптических цилиндров также может быть получен путем интегрирования, где ось цилиндра берется как положительная ось x, а A ( x ) = A - площадь каждого эллиптического поперечного сечения, таким образом:
Используя цилиндрические координаты , объем правого кругового цилиндра может быть вычислен путем интегрирования по
Площадь [ править ]
Имея радиус r и высоту (высоту) h , площадь поверхности правильного кругового цилиндра, ориентированного так, чтобы его ось была вертикальна, состоит из трех частей:
- площадь верхнего основания: π r 2
- площадь нижнего основания: π r 2
- площадь стороны: 2π прав.
Площадь верхней и нижней баз одно и то же, и называется площадь основания , B . Площадь стороны известна как боковая область , L .
Открытый цилиндр не включает в себя либо верхние или нижние элементы, и , следовательно , имеет площадь поверхности (площадь боковой)
- L = 2π прав .
Площадь поверхности твердого правильного кругового цилиндра складывается из всех трех компонентов: верхней, нижней и боковой. Следовательно, его площадь поверхности составляет
- A = L + 2 B = 2π rh + 2π r 2 = 2π r ( h + r ) = π d ( r + h ) ,
где d = 2 r - диаметр круглого верха или низа.
Для данного объема правый круговой цилиндр с наименьшей площадью поверхности имеет h = 2 r . Эквивалентно, для данной площади поверхности правый круговой цилиндр с наибольшим объемом имеет h = 2 r , то есть цилиндр плотно входит в куб со стороной, равной высоте (= диаметру основной окружности). [8]
Боковая площадь L кругового цилиндра, который не обязательно должен быть прямым цилиндром, в более общем случае определяется следующим образом:
- L = e × p ,
где e - длина элемента, а p - периметр правой части цилиндра. [9] Это дает предыдущую формулу для поперечной площади, когда цилиндр является правильным круговым цилиндром.
Правый полый круговой цилиндр (цилиндрическая оболочка) [ править ]
Прямой круговой полый цилиндр (или цилиндрическая оболочка ) представляет собой трехмерная область , ограниченная два правых круговых цилиндров , имеющих ту же ось и две параллельных кольцевые основания , перпендикулярных к общей оси цилиндров, как на диаграмме.
Пусть высота будет ч , внутренний радиус R , и внешний радиус R . Объем определяется как
- .
Таким образом, объем цилиндрической оболочки равен 2 π (средний радиус) (высота) (толщина). [10]
Площадь поверхности, включая верхнюю и нижнюю, определяется выражением
- .
Цилиндрические оболочки используются в общей технике интеграции для определения объемов тел вращения. [11]
О сфере и цилиндре [ править ]
В трактате под этим названием написано ок. В 225 г. до н. Э. Архимед получил результат, которым он очень гордился, а именно: формулы для объема и площади поверхности сферы , используя взаимосвязь между сферой и описанным ею правым круговым цилиндром той же высоты и диаметра . Сфера имеет объем, составляющий две трети объема описанного цилиндра, и площадь поверхности, равную 2/3 площади цилиндра (включая основания). Поскольку значения для цилиндра были уже известны, он впервые получил соответствующие значения для сферы. Объем шара радиуса r равен4/3π r 3 =2/3(2 π r 3 ) . Площадь поверхности этой сферы равна 4 π r 2 =2/3(6 π r 2 ) . Скульптурная сфера и цилиндр были помещены на могилу Архимеда по его просьбе.
Цилиндрические поверхности [ править ]
В некоторых областях геометрии и топологии термин цилиндр относится к так называемой цилиндрической поверхности . Цилиндр определяется как поверхность, состоящая из всех точек на всех прямых, которые параллельны данной прямой и которые проходят через фиксированную плоскую кривую в плоскости, не параллельной данной прямой. [12] Такие цилиндры иногда называют обобщенными цилиндрами . Через каждую точку обобщенного цилиндра проходит уникальная линия, содержащаяся в цилиндре. [13] Таким образом, это определение можно перефразировать, чтобы сказать, что цилиндр - это любая линейчатая поверхность, натянутая на однопараметрическое семейство параллельных прямых.
Цилиндр, имеющий правое сечение, которое является эллипсом , параболой или гиперболой , называется эллиптическим цилиндром , параболическим цилиндром и гиперболическим цилиндром соответственно. Это вырожденные квадратичные поверхности . [14]
Когда главные оси квадрики выровнены с системой отсчета (всегда возможно для квадрики), общее уравнение квадрики в трех измерениях задается следующим образом:
с коэффициентами, являющимися действительными числами, и не все A , B и C равны 0. Если хотя бы одна переменная не появляется в уравнении, то квадрика является вырожденной. Если одна переменная отсутствует, мы можем предположить, соответствующим поворотом осей, что переменная z не появляется, и общее уравнение этого типа вырожденной квадрики можно записать как [15]
где
Эллиптический цилиндр [ править ]
Если AB > 0, это уравнение эллиптического цилиндра . [15] Дальнейшее упрощение может быть получено путем перевода осей и скалярного умножения. Если имеет тот же знак, что и коэффициенты A и B , то уравнение эллиптического цилиндра может быть переписано в декартовых координатах как:
Это уравнение эллиптического цилиндра является обобщением уравнения обычного кругового цилиндра ( a = b ). Эллиптические цилиндры также известны как цилиндроиды , но это название неоднозначно, так как оно также может относиться к коноиду Плюккера .
Если имеет другой знак, чем коэффициенты, получаем мнимые эллиптические цилиндры :
на которых нет настоящих очков. ( дает единственную действительную точку.)
Гиперболический цилиндр [ править ]
Если A и B имеют разные знаки и , мы получаем гиперболические цилиндры , уравнения которых можно переписать как:
Параболический цилиндр [ править ]
Наконец, если AB = 0, предположим, без ограничения общности , что B = 0 и A = 1, чтобы получить параболические цилиндры с уравнениями, которые можно записать как: [16]
Проективная геометрия [ править ]
В проективной геометрии цилиндр - это просто конус , вершина которого лежит на бесконечно удаленной плоскости . Если конус является квадратичным конусом, бесконечно удаленная плоскость (проходящая через вершину) может пересекать конус по двум действительным прямым, одной действительной прямой (фактически совпадающая пара прямых) или только в вершине. Эти случаи приводят к появлению гиперболического, параболического или эллиптического цилиндра соответственно. [17]
Эта концепция полезна при рассмотрении вырожденных коник , которые могут включать цилиндрические коники.
Призмы [ править ]
Твердый круговой цилиндр можно рассматривать как предельный случай п -gonal призмы , где п приближается к бесконечности . Связь очень сильная, и многие старые тексты рассматривают призмы и цилиндры одновременно. Формулы для площади поверхности и объема выводятся из соответствующих формул для призм с использованием вписанных и описанных призм и последующего неограниченного увеличения количества сторон призмы. [18]Одна из причин раннего акцента (а иногда и исключительного рассмотрения) круговых цилиндров заключается в том, что круговое основание является единственным типом геометрической фигуры, для которой этот метод работает с использованием только элементарных соображений (без обращения к исчислению или более продвинутой математике). Терминология относительно призм и цилиндров идентична. Так, например, поскольку усеченная призма - это призма, основания которой не лежат в параллельных плоскостях, твердый цилиндр, основания которого не лежат в параллельных плоскостях, будет называться усеченным цилиндром .
С точки зрения многогранной, цилиндр может также рассматриваться как двойная из бикона как бесконечной односторонней бипирамиде .
Имя призмы | Дигональная призма | (Тригональная) Треугольная призма | (Тетрагональная) Квадратная призма | Пятиугольная призма | Шестиугольная призма | Семиугольная призма | Восьмиугольная призма | Эннеагональная призма | Десятиугольная призма | Шестиугольная призма | Додекагональная призма | ... |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Изображение многогранника | ... | |||||||||||
Мозаичное изображение | ... | |||||||||||
Конфигурация вершины. | 2.4.4 | 3.4.4 | 4.4.4 | 5.4.4 | 6.4.4 | 7.4.4 | 8.4.4 | 9.4.4 | 10.4.4 | 11.4.4 | 12.4.4 | ... |
Диаграмма Кокстера | ... |
См. Также [ править ]
- Список фигур
- Твердое тело Штейнмеца , пересечение двух или трех перпендикулярных цилиндров
Заметки [ править ]
- ^ κύλινδρος Архивировано 30 июля 2013 г. в Wayback Machine , Генри Джордж Лидделл, Роберт Скотт, Греко-английский лексикон , на Персее
- ^ Джейкобс, Гарольд Р. (1974), Геометрия , WH Freeman and Co., стр. 607, ISBN 0-7167-0456-0
- ^ Swokowski 1983 , стр. 283
- ^ a b Wentworth & Smith 1913 , стр. 354
- ↑ Wentworth & Smith 1913 , стр. 357
- ^ "MathWorld: Цилиндрическая секция" . Архивировано 23 апреля 2008 года.
- ↑ Wentworth & Smith 1913 , стр. 359
- ^ Лакс, Питер Д .; Террелл, Мария Ши (2013), Исчисление с приложениями , Тексты для бакалавров по математике , Springer, стр. 178, ISBN 9781461479468, заархивировано из оригинала 2018-02-06.
- ↑ Wentworth & Smith 1913 , стр. 358
- ^ Swokowski 1983 , стр. 292
- ^ Swokowski 1983 , стр. 291
- ^ Альберт 2016 , стр. 43 год
- ^ Альберт 2016 , стр. 49
- ^ Браннан, Дэвид А .; Эсплен, Мэтью Ф .; Грей, Джереми Дж. (1999), Геометрия , Cambridge University Press, стр. 34, ISBN 978-0-521-59787-6
- ^ а б Альберт 2016 , стр. 74
- ^ Альберт 2016 , стр. 75
- ^ Пидо, Dan (1988) [1970], Геометрия Всесторонняя курс , Dover, стр. 398, ISBN 0-486-65812-0
- ^ Slaught, ОН ; Леннес, штат Нью-Джерси (1919), Solid Geometry with Problems and Applications (PDF) (Revised ed.), Allyn and Bacon, pp. 79–81, заархивировано (PDF) из оригинала 06 марта 2013 г.
Ссылки [ править ]
- Альберт, Абрахам Адриан (2016) [1949], Solid Analytic Geometry , Dover, ISBN 978-0-486-81026-3
- Своковски, Эрл В. (1983), Исчисление с аналитической геометрией (альтернативное издание), Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-341-7
- Вентворт, Джордж; Смит, Дэвид Юджин (1913), Плоская и твердотельная геометрия , Ginn and Co.
Внешние ссылки [ править ]
Викискладе есть медиафайлы по теме цилиндра (геометрия) . |
В Wikisource есть текст статьи Cylinder из Британской энциклопедии 1911 года . |
Найдите цилиндр в Викисловаре, бесплатном словаре. |
- Вайсштейн, Эрик В. «Цилиндр» . MathWorld .
- Площадь поверхности цилиндра в MATHguide
- Объем цилиндра в MATHguide