Из Википедии, бесплатной энциклопедии
  (Перенаправлено с Cylindrical )
Перейти к навигации Перейти к поиску
Пример: жестяная банка имеет цилиндрическую форму.

Цилиндра (от греческого κύλινδρος - kulindros , «ролик», «тумблер» [1] ) традиционно является трехмерный твердым, один из самых основных криволинейных геометрических фигур. Это идеализированная версия жесткой жестяной банки с крышками сверху и снизу.

Этот традиционный взгляд все еще используется в элементарных трактовках геометрии, но передовая математическая точка зрения сместилась в сторону бесконечной криволинейной поверхности, и именно так цилиндр теперь определяется в различных современных областях геометрии и топологии.

Изменение основного значения (твердое тело по сравнению с поверхностью) создало некоторую двусмысленность с терминологией. Обычно есть надежда, что контекст проясняет смысл. Обе точки зрения обычно представлены и различаются, ссылаясь на твердые цилиндры и цилиндрические поверхности , но в литературе неприукрашенный термин цилиндр может относиться к любому из них или даже к более специализированному объекту, правильному круговому цилиндру .

Типы [ править ]

Определения и результаты в этом разделе взяты из текста « Плоская и сплошная геометрия» 1913 года, написанного Джорджем Вентвортом и Дэвидом Юджином Смитом ( Wentworth & Smith 1913 ).

Цилиндрическая поверхность представляет собой поверхность , состоящая из всех точек на всех линий , которые параллельны к данной линии и которые проходят через фиксированной плоской кривой в плоскости , не параллельной данной линии. Любая линия из этого семейства параллельных линий называется элементом цилиндрической поверхности. С кинематической точки зрения, если задана плоская кривая, называемая директрисой , цилиндрическая поверхность - это поверхность, очерченная линией, называемой образующей , не в плоскости направляющей, движущаяся параллельно себе и всегда проходящая через направляющую. . Любое конкретное положение образующей является элементом цилиндрической поверхности.

Правый и наклонный круговой цилиндр

Твердое ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями называется (твердое вещество) цилиндра . Сегменты линии, определяемые элементом цилиндрической поверхности между двумя параллельными плоскостями, называются элементом цилиндра . Все элементы цилиндра имеют одинаковую длину. Область, ограниченная цилиндрической поверхностью в любой из параллельных плоскостей, называется основанием цилиндра. Два основания цилиндра - конгруэнтные фигуры. Если элементы цилиндра перпендикулярны плоскостям, содержащим основания, цилиндр является правильным цилиндром , в противном случае он называется наклонным цилиндром . Если базы диски (области, граница которых представляет собой окружность ) цилиндр называется круговым цилиндром . В некоторых элементарных обработках цилиндр всегда означает круговой цилиндр. [2]

Высота (или высота) цилиндра является перпендикулярным расстоянием между его основаниями.

Цилиндр, полученный путем вращения отрезка прямой вокруг фиксированной линии, параллельной которой он является, является цилиндром вращения . Цилиндр вращения - это правильный круговой цилиндр. Высота цилиндра вращения - это длина сегмента образующей. Линия, вокруг которой вращается сегмент, называется осью цилиндра и проходит через центры двух оснований.

Правый круговой цилиндр радиусом r и высотой h

Правые круговые цилиндры [ править ]

Голый термин цилиндр часто относится к сплошному цилиндру с круговыми концами, перпендикулярными оси, то есть к правильному круговому цилиндру, как показано на рисунке. Цилиндрическая поверхность без концов называется открытым цилиндром . Формулы площади поверхности и объема правильного кругового цилиндра были известны с глубокой древности.

Правый круговой цилиндр можно также рассматривать как твердое тело вращения, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Эти цилиндры используются в технике интегрирования («дисковый метод») для получения объемов тел вращения. [3]

Свойства [ править ]

Цилиндрические секции [ править ]

Цилиндрическая секция

Цилиндрическое сечение - это пересечение поверхности цилиндра с плоскостью . Это, как правило, кривые и особые типы плоских сечений . Цилиндрическое сечение плоскостью, содержащей два элемента цилиндра, представляет собой параллелограмм . [4] Такое цилиндрическое сечение правого цилиндра представляет собой прямоугольник . [4]

Цилиндрическое сечение, в котором пересекающаяся плоскость пересекается и перпендикулярна всем элементам цилиндра, называется правым сечением . [5] Если правая часть цилиндра представляет собой круг, то цилиндр - это круговой цилиндр. В более общем смысле, если правое сечение цилиндра является коническим сечением (парабола, эллипс, гипербола), то твердый цилиндр называется параболическим, эллиптическим и гиперболическим соответственно.

Цилиндрические части правого кругового цилиндра

Для правильного кругового цилиндра существует несколько способов пересечения плоскостей с цилиндром. Во-первых, плоскости, которые пересекают основание не более чем в одной точке. Плоскость касается цилиндра, если она встречается с цилиндром в единственном элементе. Правые секции представляют собой круги, а все остальные плоскости пересекают цилиндрическую поверхность по эллипсу . [6] Если плоскость пересекает основание цилиндра ровно в двух точках, то отрезок, соединяющий эти точки, является частью цилиндрического сечения. Если такая плоскость содержит два элемента, она имеет прямоугольник как цилиндрическую секцию, в противном случае стороны цилиндрической секции являются частями эллипса. Наконец, если плоскость содержит более двух точек основания, она содержит всю основу, а цилиндрическое сечение представляет собой окружность.

В случае прямого кругового цилиндра с цилиндрическим сечением, которое является эллипсом, эксцентриситет e цилиндрического сечения и большая полуось a цилиндрического сечения зависят от радиуса цилиндра r и угла α между секущей плоскостью и ось цилиндра следующим образом:

Объем [ править ]

Если основание кругового цилиндра имеет радиус r, а высота цилиндра h , то его объем определяется как

V = π r 2 h .

Эта формула верна независимо от того, является ли цилиндр правильным. [7]

Эта формула может быть установлена ​​с использованием принципа Кавальери .

Сплошной эллиптический цилиндр с полуосями a и b для базового эллипса и высотой h

В более общем смысле, по тому же принципу объем любого цилиндра является произведением площади основания и высоты. Например, эллиптический цилиндр с основанием, имеющим большую полуось a , малую полуось b и высоту h, имеет объем V = Ah , где A - площадь основного эллипса (= π ab ). Этот результат для правых эллиптических цилиндров также может быть получен путем интегрирования, где ось цилиндра берется как положительная ось x, а A ( x ) = A - площадь каждого эллиптического поперечного сечения, таким образом:

Используя цилиндрические координаты , объем правого кругового цилиндра может быть вычислен путем интегрирования по

Площадь [ править ]

Имея радиус r и высоту (высоту) h , площадь поверхности правильного кругового цилиндра, ориентированного так, чтобы его ось была вертикальна, состоит из трех частей:

  • площадь верхнего основания: π r 2
  • площадь нижнего основания: π r 2
  • площадь стороны: прав.

Площадь верхней и нижней баз одно и то же, и называется площадь основания , B . Площадь стороны известна как боковая область , L .

Открытый цилиндр не включает в себя либо верхние или нижние элементы, и , следовательно , имеет площадь поверхности (площадь боковой)

L = 2π прав .

Площадь поверхности твердого правильного кругового цилиндра складывается из всех трех компонентов: верхней, нижней и боковой. Следовательно, его площадь поверхности составляет

A = L + 2 B = 2π rh + 2π r 2 = 2π r ( h + r ) = π d ( r + h ) ,

где d = 2 r - диаметр круглого верха или низа.

Для данного объема правый круговой цилиндр с наименьшей площадью поверхности имеет h = 2 r . Эквивалентно, для данной площади поверхности правый круговой цилиндр с наибольшим объемом имеет h = 2 r , то есть цилиндр плотно входит в куб со стороной, равной высоте (= диаметру основной окружности). [8]

Боковая площадь L кругового цилиндра, который не обязательно должен быть прямым цилиндром, в более общем случае определяется следующим образом:

L = e × p ,

где e - длина элемента, а p - периметр правой части цилиндра. [9] Это дает предыдущую формулу для поперечной площади, когда цилиндр является правильным круговым цилиндром.

Полый цилиндр

Правый полый круговой цилиндр (цилиндрическая оболочка) [ править ]

Прямой круговой полый цилиндр (или цилиндрическая оболочка ) представляет собой трехмерная область , ограниченная два правых круговых цилиндров , имеющих ту же ось и две параллельных кольцевые основания , перпендикулярных к общей оси цилиндров, как на диаграмме.

Пусть высота будет ч , внутренний радиус R , и внешний радиус R . Объем определяется как

.

Таким образом, объем цилиндрической оболочки равен 2 π (средний радиус) (высота) (толщина). [10]

Площадь поверхности, включая верхнюю и нижнюю, определяется выражением

.

Цилиндрические оболочки используются в общей технике интеграции для определения объемов тел вращения. [11]

О сфере и цилиндре [ править ]

Сфера имеет 2/3 объема и площади поверхности описывающего цилиндра, включая его основания.

В трактате под этим названием написано ок. В 225 г. до н. Э. Архимед получил результат, которым он очень гордился, а именно: формулы для объема и площади поверхности сферы , используя взаимосвязь между сферой и описанным ею правым круговым цилиндром той же высоты и диаметра . Сфера имеет объем, составляющий две трети объема описанного цилиндра, и площадь поверхности, равную 2/3 площади цилиндра (включая основания). Поскольку значения для цилиндра были уже известны, он впервые получил соответствующие значения для сферы. Объем шара радиуса r равен4/3π r 3 =2/3(2 π r 3 ) . Площадь поверхности этой сферы равна 4 π r 2 =2/3(6 π r 2 ) . Скульптурная сфера и цилиндр были помещены на могилу Архимеда по его просьбе.

Цилиндрические поверхности [ править ]

В некоторых областях геометрии и топологии термин цилиндр относится к так называемой цилиндрической поверхности . Цилиндр определяется как поверхность, состоящая из всех точек на всех прямых, которые параллельны данной прямой и которые проходят через фиксированную плоскую кривую в плоскости, не параллельной данной прямой. [12] Такие цилиндры иногда называют обобщенными цилиндрами . Через каждую точку обобщенного цилиндра проходит уникальная линия, содержащаяся в цилиндре. [13] Таким образом, это определение можно перефразировать, чтобы сказать, что цилиндр - это любая линейчатая поверхность, натянутая на однопараметрическое семейство параллельных прямых.

Цилиндр, имеющий правое сечение, которое является эллипсом , параболой или гиперболой , называется эллиптическим цилиндром , параболическим цилиндром и гиперболическим цилиндром соответственно. Это вырожденные квадратичные поверхности . [14]

Параболический цилиндр

Когда главные оси квадрики выровнены с системой отсчета (всегда возможно для квадрики), общее уравнение квадрики в трех измерениях задается следующим образом:

с коэффициентами, являющимися действительными числами, и не все A , B и C равны 0. Если хотя бы одна переменная не появляется в уравнении, то квадрика является вырожденной. Если одна переменная отсутствует, мы можем предположить, соответствующим поворотом осей, что переменная z не появляется, и общее уравнение этого типа вырожденной квадрики можно записать как [15]

где

Эллиптический цилиндр [ править ]

Если AB > 0, это уравнение эллиптического цилиндра . [15] Дальнейшее упрощение может быть получено путем перевода осей и скалярного умножения. Если имеет тот же знак, что и коэффициенты A и B , то уравнение эллиптического цилиндра может быть переписано в декартовых координатах как:

Это уравнение эллиптического цилиндра является обобщением уравнения обычного кругового цилиндра ( a = b ). Эллиптические цилиндры также известны как цилиндроиды , но это название неоднозначно, так как оно также может относиться к коноиду Плюккера .

Если имеет другой знак, чем коэффициенты, получаем мнимые эллиптические цилиндры :

на которых нет настоящих очков. ( дает единственную действительную точку.)

Гиперболический цилиндр [ править ]

Если A и B имеют разные знаки и , мы получаем гиперболические цилиндры , уравнения которых можно переписать как:

Параболический цилиндр [ править ]

Наконец, если AB = 0, предположим, без ограничения общности , что B = 0 и A = 1, чтобы получить параболические цилиндры с уравнениями, которые можно записать как: [16]

В проективной геометрии цилиндр - это просто конус, вершина которого находится на бесконечности, что визуально соответствует цилиндру в перспективе, который выглядит как конус к небу.

Проективная геометрия [ править ]

В проективной геометрии цилиндр - это просто конус , вершина которого лежит на бесконечно удаленной плоскости . Если конус является квадратичным конусом, бесконечно удаленная плоскость (проходящая через вершину) может пересекать конус по двум действительным прямым, одной действительной прямой (фактически совпадающая пара прямых) или только в вершине. Эти случаи приводят к появлению гиперболического, параболического или эллиптического цилиндра соответственно. [17]

Эта концепция полезна при рассмотрении вырожденных коник , которые могут включать цилиндрические коники.

Призмы [ править ]

Здание планетария Тихо Браге , Копенгаген, представляет собой пример усеченного цилиндра.

Твердый круговой цилиндр можно рассматривать как предельный случай п -gonal призмы , где п приближается к бесконечности . Связь очень сильная, и многие старые тексты рассматривают призмы и цилиндры одновременно. Формулы для площади поверхности и объема выводятся из соответствующих формул для призм с использованием вписанных и описанных призм и последующего неограниченного увеличения количества сторон призмы. [18]Одна из причин раннего акцента (а иногда и исключительного рассмотрения) круговых цилиндров заключается в том, что круговое основание является единственным типом геометрической фигуры, для которой этот метод работает с использованием только элементарных соображений (без обращения к исчислению или более продвинутой математике). Терминология относительно призм и цилиндров идентична. Так, например, поскольку усеченная призма - это призма, основания которой не лежат в параллельных плоскостях, твердый цилиндр, основания которого не лежат в параллельных плоскостях, будет называться усеченным цилиндром .

С точки зрения многогранной, цилиндр может также рассматриваться как двойная из бикона как бесконечной односторонней бипирамиде .

См. Также [ править ]

  • Список фигур
  • Твердое тело Штейнмеца , пересечение двух или трех перпендикулярных цилиндров

Заметки [ править ]

  1. ^ κύλινδρος Архивировано 30 июля 2013 г. в Wayback Machine , Генри Джордж Лидделл, Роберт Скотт, Греко-английский лексикон , на Персее
  2. ^ Джейкобс, Гарольд Р. (1974), Геометрия , WH Freeman and Co., стр. 607, ISBN 0-7167-0456-0
  3. ^ Swokowski 1983 , стр. 283
  4. ^ a b Wentworth & Smith 1913 , стр. 354
  5. Wentworth & Smith 1913 , стр. 357
  6. ^ "MathWorld: Цилиндрическая секция" . Архивировано 23 апреля 2008 года.
  7. Wentworth & Smith 1913 , стр. 359
  8. ^ Лакс, Питер Д .; Террелл, Мария Ши (2013), Исчисление с приложениями , Тексты для бакалавров по математике , Springer, стр. 178, ISBN 9781461479468, заархивировано из оригинала 2018-02-06.
  9. Wentworth & Smith 1913 , стр. 358
  10. ^ Swokowski 1983 , стр. 292
  11. ^ Swokowski 1983 , стр. 291
  12. ^ Альберт 2016 , стр. 43 год
  13. ^ Альберт 2016 , стр. 49
  14. ^ Браннан, Дэвид А .; Эсплен, Мэтью Ф .; Грей, Джереми Дж. (1999), Геометрия , Cambridge University Press, стр. 34, ISBN 978-0-521-59787-6
  15. ^ а б Альберт 2016 , стр. 74
  16. ^ Альберт 2016 , стр. 75
  17. ^ Пидо, Dan (1988) [1970], Геометрия Всесторонняя курс , Dover, стр. 398, ISBN 0-486-65812-0
  18. ^ Slaught, ОН ; Леннес, штат Нью-Джерси (1919), Solid Geometry with Problems and Applications (PDF) (Revised ed.), Allyn and Bacon, pp. 79–81, заархивировано (PDF) из оригинала 06 марта 2013 г.

Ссылки [ править ]

  • Альберт, Абрахам Адриан (2016) [1949], Solid Analytic Geometry , Dover, ISBN 978-0-486-81026-3
  • Своковски, Эрл В. (1983), Исчисление с аналитической геометрией (альтернативное издание), Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-341-7
  • Вентворт, Джордж; Смит, Дэвид Юджин (1913), Плоская и твердотельная геометрия , Ginn and Co.

Внешние ссылки [ править ]

  • Вайсштейн, Эрик В. «Цилиндр» . MathWorld .
  • Площадь поверхности цилиндра в MATHguide
  • Объем цилиндра в MATHguide