Теорема Дарбу - это теорема в математической области дифференциальной геометрии и, в частности, дифференциальных форм , частично обобщающая теорему интегрирования Фробениуса . Это основополагающий результат в нескольких областях, главной из которых является симплектическая геометрия . Теорема названа в честь Жана Гастона Дарбу [1], который установил ее как решение проблемы Пфаффа . [2]
Одно из многих следствий теоремы состоит в том, что любые два симплектических многообразия одной размерности локально симплектоморфны друг другу. То есть любое 2 n -мерное симплектическое многообразие можно сделать локально похожим на линейное симплектическое пространство C n с его канонической симплектической формой. Аналогичное следствие теоремы имеет и применительно к контактной геометрии .
Заявление и первые последствия [ править ]
Точное заявление выглядит следующим образом. [3] Предположим, что это дифференциальная 1-форма на n- мерном многообразии, имеющая постоянный ранг p . Если
- везде,
тогда существует локальная система координат, в которой
- .
Если же, с другой стороны,
- везде,
тогда существует локальная система координат ', в которой
- .
Обратите внимание, если везде и то есть контактная форма .
В частности, предположим , что симплектическая 2-форма на п = 2 м мерного многообразия М . В окрестности каждой точки p многообразия M по лемме Пуанкаре существует 1-форма с . Более того, удовлетворяет первому набору гипотез теоремы Дарбу, и поэтому локально существует координатная карта U около p, в которой
- .
Взяв внешнюю производную теперь показывает
Диаграмма U называется диаграммой Дарбу вокруг p . [4] Такими картами можно покрыть многообразие M.
Другими словами, отождествляйтесь с тем, что позволяете . Если это диаграмма Дарбу, то это откат стандартной симплектической формы на :
Сравнение с римановой геометрией [ править ]
Этот результат означает, что в симплектической геометрии нет локальных инвариантов: всегда можно взять базис Дарбу , справедливый вблизи любой заданной точки. Это резко контрастирует с ситуацией в римановой геометрии, где кривизна является локальным инвариантом, а препятствие для метрики локально является суммой квадратов координатных дифференциалов.
Разница заключается в том, что теорема Дарбу утверждает , что ω можно взять стандартную форму в целом окрестности вокруг р . В римановой геометрии метрика всегда может принимать стандартную форму в любой заданной точке, но не всегда в окрестности этой точки.
См. Также [ править ]
- Теорема Каратеодори-Якоби-Ли , обобщение этой теоремы.
- Симплектическая основа
Заметки [ править ]
- ^ Дарбу (1882).
- ↑ Пфафф (1814–1815).
- ^ Штернберг (1964) стр. 140–141.
- ^ Ср. с Макдаффом и Саламоном (1998) стр. 96.
Ссылки [ править ]
- Дарбу, Гастон (1882). "Sur le problème de Pfaff" . Бык. Sci. Математика . 6 : 14–36, 49–68.
- Пфафф, Иоганн Фридрих (1814–1815). "Methodus generalis, aequationes difficarum partialium nec non aequationes Differentiales vulgates, ultrasque primi ordinis, inter quotcunque переменные, полные интегранды". Abhandlungen der Königlichen Akademie der Wissenschaften в Берлине : 76–136.
- Штернберг, Шломо (1964). Лекции по дифференциальной геометрии . Прентис Холл.
- McDuff, D .; Саламон, Д. (1998). Введение в симплектическую топологию . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-850451-9.
Внешние ссылки [ править ]
- «Доказательство теоремы Дарбу» . PlanetMath .
- Дарбу Дж. К проблеме Пфаффа. по Д.Х. Дельфених
- Дж. Дарбу, "О проблеме Пфаффа (продолжение)", пер. по Д.Х. Дельфених