Теорема Фробениуса (дифференциальная топология)

В математике , Фробениус теорема дает необходимые и достаточные условия для нахождения максимального набора независимых решений в недоопределённой системе линейных однородных первого порядка дифференциальных уравнений в частных . В современных геометрических терминах, учитывая семейство векторных полей , теорема дает необходимые и достаточные условия интегрируемости для существования слоения на максимальные интегральные многообразия , касательные расслоения которых натянуты на данные векторные поля. Теорема обобщает теорему существованиядля обыкновенных дифференциальных уравнений, что гарантирует, что одно векторное поле всегда приводит к интегральным кривым ; Фробениус дает условия совместности, при которых интегральные кривые r векторных полей соединяются в координатные сетки на r -мерных интегральных многообразиях. Теорема лежит в основе дифференциальной топологии и исчисления на многообразиях .

Введение [ править ]

В своей наиболее элементарной форме теорема обращается к проблеме поиска максимального набора независимых решений регулярной системы линейных однородных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка . Позволять

${\ displaystyle \ left \ {f_ {k} ^ {i}: \ mathbf {R} ^ {n} \ to \ mathbf {R} \: \ 1 \ leq i \ leq n, 1 \ leq k \ leq r \верно\}}$

- набор C ¹ функций с r < n и таких, что матрица (  f^я
_к ) имеет ранг r . Рассмотрим следующую систему дифференциальных уравнений для С ² функции у  : R ^п → R :

${\displaystyle (1)\quad {\begin{cases}L_{1}u\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{i}f_{1}^{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}=0\\L_{2}u\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{i}f_{2}^{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}=0\\\qquad \cdots \\L_{r}u\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{i}f_{r}^{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}=0\end{cases}}}$

Один ищет условия о существовании коллекции решений у ₁ , ..., у _{п - г} , такие , что градиенты ∇ U ₁ , ..., ∇ у _{п - г} являются линейно независимыми .

Теорема Фробениуса утверждает, что эта проблема допускает решение локально ^[1] тогда и только тогда, когда операторы L _k удовлетворяют определенному условию интегрируемости, известному как инволютивность . В частности, они должны удовлетворять отношениям вида

${\displaystyle L_{i}L_{j}u(x)-L_{j}L_{i}u(x)=\sum _{k}c_{ij}^{k}(x)L_{k}u(x)}$

для 1 ≤ i , j ≤ r и всех C ² функций u , а также для некоторых коэффициентов c ^k _ij ( x ), которые могут зависеть от x . Другими словами, коммутаторы [ L _я , Ь _J ] должна лежать в линейной оболочке из L _к в каждой точке. Условие инволютивности является обобщением коммутативности частных производных. Фактически, стратегия доказательства теоремы Фробениуса состоит в построении линейных комбинаций операторовL _i, чтобы результирующие операторы коммутируют, а затем показать, что существует система координат y _i, для которой это в точности частные производные по y ₁ , ..., y _r .

От анализа к геометрии [ править ]

Решения недоопределенных систем уравнений редко бывают единственными. Например, система дифференциальных уравнений

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}=0\\{\frac {\partial f}{\partial y}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}=0\end{cases}}}$

явно допускает несколько решений. Тем не менее, эти решения все еще имеют достаточно структуру, чтобы их можно было полностью описать. Первое наблюдение состоит в том, что, даже если F ₁ и F ₂ являются два различных решения, то уровень поверхностей из F ₁ и F ₂ должны перекрываться. Фактически, поверхности уровня этой системы - это все плоскости в R ³ вида x - y + z = C , для Cконстанта. Второе наблюдение заключается в том, что, как только поверхности уровня известны, все решения могут быть даны в терминах произвольной функции. Поскольку значение решения f на поверхности уровня постоянно по определению, определите функцию C ( t ) следующим образом:

${\displaystyle f(x,y,z)=C(t){\text{ whenever }}x-y+z=t.}$

И наоборот, если задана функция C ( t ) , то каждая функция f, заданная этим выражением, является решением исходного уравнения. Таким образом, из-за существования семейства поверхностей уровня решения исходного уравнения находятся во взаимно однозначном соответствии с произвольными функциями одной переменной.

Теорема Фробениуса позволяет установить подобное соответствие для более общего случая решений (1). Предположим, что u ₁ , ..., u _{n − r} - решения задачи (1), удовлетворяющие условию независимости градиентов. Рассмотрим множества уровня ^[2] из ( u ₁ , ..., u _{n − r} ) как функции со значениями в R ^{n − r} . Если v ₁ , ..., v _{n − r} - другой такой набор решений, можно показать (используя некоторую линейную алгебру и теорему о среднем значении), что это то же самое семейство наборов уровней, но с возможным различным выбором констант для каждого набора. Таким образом, даже несмотря на то, что независимые решения (1) не являются единственными, уравнение (1), тем не менее, определяет уникальное семейство множеств уровня. Как и в случае примера, общие решения u уравнения (1) находятся во взаимно однозначном соответствии с (непрерывно дифференцируемыми) функциями на семействе множеств уровня. ^[3]

Множества уровня, соответствующие максимальным независимым наборам решений уравнения (1), называются интегральными многообразиями, потому что функции на совокупности всех интегральных многообразий в некотором смысле соответствуют константам интегрирования . Если известна одна из этих постоянных интегрирования, становится известно и соответствующее решение.

Теорема Фробениуса на современном языке [ править ]

Теорема Фробениуса может быть переформулирована более экономно на современном языке. Первоначальная версия теоремы Фробениуса была сформулирована в терминах систем Пфаффа , которые сегодня можно перевести на язык дифференциальных форм . В альтернативной формулировке, которая несколько более интуитивно понятна, используются векторные поля .

Формулировка с использованием векторных полей [ править ]

В формулировке векторного поля, теорема утверждает , что подрасслоение из касательного расслоения в виде многообразия интегрируемо (или инволютивно) тогда и только тогда , когда оно возникает из регулярного слоения . В этом контексте теорема Фробениуса связывает интегрируемость со слоением; чтобы сформулировать теорему, необходимо четко определить оба понятия.

Прежде всего следует отметить, что произвольное гладкое векторное поле на многообразии определяет семейство кривых , его интегральные кривые (для интервалов ). Это решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка , разрешимость которой гарантируется теоремой Пикара – Линделёфа . Если векторное поле нигде не равно нулю, то оно определяет одномерное подрасслоение касательного расслоения , а интегральные кривые образуют регулярное слоение . Таким образом, одномерные подрасслоения всегда интегрируемы.${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle u:I\to M}$${\displaystyle I}$${\displaystyle {\dot {u}}(t)=X_{u(t)}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

Если размер подгруппы больше единицы, необходимо наложить условие. Один говорит , что подрасслоением из касательного расслоения является интегрируемой (или инволютивно ), если для любых двух векторных полей и принимающих значения в , то скобка Ли принимает значения , а также. Это понятие интегрируемости нужно определять только локально; то есть, существование векторных полей и и их интегрируемость потребность быть определена только на подмножествах .${\displaystyle E\subset TM}$ ${\displaystyle TM}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle [X,Y]}$${\displaystyle E}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle M}$

Существует несколько определений слоения . Здесь мы используем следующее:

Определение. Р - мерный, класс С ^г слоением из п - мерного многообразия М является разложением М в объединение непересекающихся соединены подмногообразие { L _{& alpha} } _{α∈ А} , называемых листы слоения, со следующим свойством: Каждой точкой в M имеет окрестность U и систему локальных координат класса C ^r x = ( x ¹ , ⋅⋅⋅, x ⁿ ): U →R ⁿ такой, что для каждого листа L _α компоненты U ∩ L _α описываются уравнениями x ^{p +1} = constant, ⋅⋅⋅, x ⁿ = constant. Слоение обозначается = { Ь _{& alpha} } _{α∈ A} . ^[4]${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Тривиально любое слоение в определяет интегрируемое подрасслоение, поскольку если и является слоем проходящего слоения, то интегрируемо. Теорема Фробениуса утверждает, что верно и обратное:${\displaystyle M}$${\displaystyle p\in M}$${\displaystyle N\subset M}$${\displaystyle p}$${\displaystyle E_{p}=T_{p}N}$

Учитывая приведенные выше определения, теорема Фробениуса утверждает, что подрасслоение интегрируемо тогда и только тогда, когда оно возникает из регулярного слоения на .${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle M}$

Формулировка дифференциальных форм [ править ]

Пусть U открытое множество в многообразии M , Ω ¹ ( U ) пространство гладких, дифференцируемых 1-форм на U , а F быть подмодуль из Q , ¹ ( U ) от ранга г , ранг быть постоянной в значении над U . Состояния теорема Фробениуса , что F является интегрируемой тогда и только тогда , когда для любого р в U Стебель F _р порождается г точные дифференциальные формы .

Геометрически теорема утверждает, что интегрируемый модуль 1 -форм ранга r - это то же самое, что слоение коразмерности r . Соответствие определению в терминах векторных полей, данному во введении, следует из тесной связи между дифференциальными формами и производными Ли . Теорема Фробениуса - один из основных инструментов изучения векторных полей и слоений.

Таким образом, существует две формы теоремы: одна, которая работает с распределениями , то есть гладкие подрасслоения D касательного расслоения TM ; а другой , который работает с подрасслоений градуированного кольца Ω ( M ) всех форм на М . Эти две формы связаны двойственностью. Если D - гладкое касательное распределение на M , то аннулятор D , I ( D ) состоит из всех форм (для любых ) таких, что${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M)}$${\displaystyle k\in \{1,\dots ,\operatorname {dim} M\}}$

${\displaystyle \alpha (v_{1},\dots ,v_{k})=0}$

для всех . Множество I ( D ) образует подкольцо и, по сути, идеал в Ω ( M ) . Кроме того, используя определение внешней производной , можно показать, что I ( D ) замкнуто относительно внешнего дифференцирования (это дифференциальный идеал ) тогда и только тогда, когда D инволютивно. Следовательно, теорема Фробениуса принимает эквивалентный вид, что I ( D ) замкнуто относительно внешнего дифференцирования тогда и только тогда, когда D интегрируем.${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{k}\in D}$

Обобщения [ править ]

Теорема может быть обобщена множеством способов.

Бесконечные измерения [ править ]

Одно бесконечномерное обобщение состоит в следующем. ^[5] Пусть X и Y - банаховы пространства , а A ⊂ X , B ⊂ Y - пара открытых множеств . Позволять

${\displaystyle F:A\times B\to L(X,Y)}$

быть непрерывно дифференцируемая функция от декартово произведение (который наследует дифференциальную структуру от ее включения в X × Y ) в пространство L ( X , Y ) из непрерывных линейных преобразований из X во Y . Дифференцируемое отображение u  : A → B является решением дифференциального уравнения

${\displaystyle (1)\quad y'=F(x,y)}$

если

${\displaystyle \forall x\in A:\quad u'(x)=F(x,u(x)).}$

Уравнение (1) является вполне интегрируемой , если для каждого , существует окрестность U от х ₀ , такие , что (1) имеет единственное решение ¯u ( х ) , определенная на U таким образом, что у ( х ₀ ) = у ₀ .${\displaystyle (x_{0},y_{0})\in A\times B}$

Из условий теоремы Фробениуса зависит от того , лежащий в основе поля является R или С . Если это R , то предположим, что F непрерывно дифференцируема. Если это C , то предположим, что F дважды непрерывно дифференцируема. Тогда (1) вполне интегрируемо в каждой точке A × B тогда и только тогда, когда

${\displaystyle D_{1}F(x,y)\cdot (s_{1},s_{2})+D_{2}F(x,y)\cdot (F(x,y)\cdot s_{1},s_{2})=D_{1}F(x,y)\cdot (s_{2},s_{1})+D_{2}F(x,y)\cdot (F(x,y)\cdot s_{2},s_{1})}$

для всех ев ₁ , ев ₂ ∈ X . Здесь D ₁ (соответственно D ₂ ) обозначает частную производную по первой (соответственно второй) переменной; скалярное произведение обозначает действие линейного оператора F ( x , y ) ∈ L ( X , Y ) , а также действия операторов D ₁ F ( x , y ) ∈ L ( X , L ( X , Y))) и D ₂ F ( x , y ) ∈ L ( Y , L ( X , Y )) .

Банаховы многообразия [ править ]

Бесконечномерная версия теоремы Фробениуса верна и на банаховых многообразиях . ^[6] Утверждение по существу такое же, как и в конечномерном варианте.

Пусть M - банахово многообразие класса не меньше C ² . Пусть Е подрасслоение касательного расслоения М . Расслоение Е является инволютивно , если для каждой точки р ∈ M и пары секций Х и У из Е , определенных в окрестности точки р , скобка Ли X и Y оценивали при р , лежит в Е _р :

${\displaystyle [X,Y]_{p}\in E_{p}}$

С другой стороны, Е является интегрируемым , если для каждого р ∈ M существует погруженная Подмногообразие φ  : N → M , образ которого содержит р , такие , что дифференциальный из ф является изоморфизмом TN с ф ^-1 Е .

Теорема Фробениуса утверждает, что подрасслоение E интегрируемо тогда и только тогда, когда оно инволютивно.

Голоморфные формы [ править ]

Утверждение теоремы остается верным для голоморфных 1-форм на комплексных многообразиях - многообразиях над C с биголоморфными функциями перехода . ^[7]

В частности, если есть r линейно независимых голоморфных 1-форм на открытом множестве в C ^n, таких что${\displaystyle \omega ^{1},\dots ,\omega ^{r}}$

${\displaystyle d\omega ^{j}=\sum _{i=1}^{r}\psi _{i}^{j}\wedge \omega ^{i}}$

для некоторой системы голоморфных 1-форм ψ^j
_i, 1 ≤ i , j ≤ r , то существуют голоморфные функции f _i ^j и g ⁱ такие, что в возможно меньшей области

${\displaystyle \omega ^{j}=\sum _{i=1}^{r}f_{i}^{j}dg^{i}.}$

Этот результат выполняется локально в том же смысле, что и другие версии теоремы Фробениуса. В частности, тот факт, что это было заявлено для доменов в C ⁿ , не является ограничительным.

Формы высшего образования [ править ]

Заявление не обобщать на более высокие формы степени, хотя существует целый ряд частичных результатов , таких как теорема Дарбу и теоремы Картана-Келера .

История [ править ]

Несмотря на то, что она названа в честь Фердинанда Георга Фробениуса , теорема была впервые доказана Альфредом Клебшем и Федором Деана . Деана первым установил достаточные условия теоремы, а Клебш - необходимые . Фробениус отвечает за применение теоремы к системам Пфаффа , тем самым открывая путь для ее использования в дифференциальной топологии.

Приложения [ править ]

• В классической механике интегрируемость уравнений связи системы определяет, является ли система голономной или неголономной .

См. Также [ править ]

• Условия интегрируемости дифференциальных систем.
• Теорема о выпрямлении домена
• Теорема Ньюлендера-Ниренберга

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Х. Б. Лоусон , Качественная теория слоений , (1977) Американское математическое общество, серия CBMS, том 27 , AMS, Providence RI.
• Ральф Абрахам и Джерролд Э. Марсден , « Основы механики» , (1978) Бенджамин-Каммингс, Лондон, ISBN 0-8053-0102-X См. Теорему 2.2.26 . 
• Клебш, А. "Ueber die одновременная интеграция линейного устройства разделения частиц Differentialgleichungen", J. Reine. Энгью. Математика. (Crelle) 65 (1866) 257-268.
• Деана, Ф. "Über die Bedingungen der Integrabilitat ....", J. Reine Angew. Математика. 20 (1840) 340-350.
• Фробениус, Г. «Проблема Über das Pfaffsche», J. für Reine und Agnew. Математика. , 82 (1877) 230-315.