В математике некоторые системы дифференциальных уравнений с частными производными удобно формулировать с точки зрения лежащей в их основе геометрической и алгебраической структуры в терминах системы дифференциальных форм . Идея заключается в том, чтобы воспользоваться способом дифференциальной формы ограничивает к подмногообразию , а также тот факт , что это ограничение совместимо с внешней производной . Это один из возможных подходов к некоторым более-системам определяются , например, в том числе Лакса пара из интегрируемых систем . Система Пфаффа задается 1-формамисам по себе, но теория включает другие типы примеров дифференциальной системы . Чтобы уточнить, система Пфаффа - это набор 1-форм на гладком многообразии (который приравнивается к 0 для поиска решений системы).
Учитывая набор дифференциальных 1-форм на -мерном многообразии , интегральное многообразие - это погруженное (не обязательно вложенное) подмногообразие, касательное пространство которого в каждой точке аннулируется (обратным образом) каждого .
Максимальное интегральное многообразие является погруженным (не обязательно вложено) Подмногообразие
такое, что ядро отображения ограничения на формах
натянуто на каждую точку из . Если к тому же линейно независимы, то ( ) -мерна.
Пфаффова система называется вполне интегрируемой, если допускает слоение на максимальные интегральные многообразия. (Обратите внимание, что слоение не обязательно должно быть правильным , т.е. слои слоения могут не быть вложенными подмногообразиями.)
Условие интегрируемости является условие на для гарантии того, что там будет интегральными подмногообразиями достаточно большой размерности.
Необходимые и достаточные условия [ править ]
Необходимые и достаточные условия полной интегрируемости системы Пфаффа даются теоремой Фробениуса . Одна из версий утверждает, что если идеал, алгебраически порожденный набором α i внутри кольца Ω ( M ), является дифференциально замкнутым, другими словами
то система допускает слоение на максимальные интегральные многообразия. (Обратное очевидно из определений.)
Пример неинтегрируемой системы [ править ]
Не всякая пфаффова система полностью интегрируема в смысле Фробениуса. Например, рассмотрим следующую одну форму на R 3 - (0,0,0) :
Если бы dθ находилось в идеале, порожденном θ, мы бы из-за асимметрии произведения клина
Но прямой расчет дает
который ненулевой кратен стандартной форме объема на R 3 . Следовательно, нет двумерных листов, и система не является полностью интегрируемой.
С другой стороны, для кривой, определяемой
тогда θ, определенный, как указано выше, равен 0, и, следовательно, кривая легко проверяется как решение (т.е. интегральная кривая ) для указанной выше системы Пфаффа для любой ненулевой постоянной c .
Примеры приложений [ править ]
В римановой геометрии мы можем рассматривать задачу нахождения ортогонального кофрейма θ i , т. Е. Набора 1-форм, образующих базис кокасательного пространства в каждой точке, с которой замыкаются (dθ i = 0, i = 1, 2 , ..., п ). По лемме Пуанкаре θ i локально будет иметь вид d x i для некоторых функций x i на многообразии и, таким образом, обеспечить изометрию открытого подмножества M с открытым подмножеством R n . Такое многообразие называется локально плоским.
Эта задача сводится к вопросу о корепер пачке из М . Допустим, у нас был такой закрытый каркас
Если бы у нас был другой coframe , то два coframe были бы связаны ортогональным преобразованием
Если 1-форма связности - это ω , то имеем
С другой стороны,
Но есть форма Маурера – Картана для ортогональной группы . Следовательно, оно подчиняется структурному уравнению, и это просто кривизна M: после применения теоремы Фробениуса можно сделать вывод, что многообразие M является локально плоским тогда и только тогда, когда его кривизна равна нулю.
Обобщения [ править ]
Существует множество обобщений условий интегрируемости дифференциальных систем, которые не обязательно порождаются одноформными. Самыми известными из них являются теорема Картана – Келера , которая работает только для вещественно-аналитических дифференциальных систем, и теорема Картана – Кураниши о продолжении . Подробности см. В разделе « Дальнейшее чтение» . Теорема Ньюлендера-Ниренберга дает условия интегрируемости для почти комплексной структуры.
Дальнейшее чтение [ править ]
- Брайант, Черн, Гарднер, Гольдшмидт, Гриффитс, Внешние дифференциальные системы , публикации Института математических наук, Springer-Verlag, ISBN 0-387-97411-3
- Олвер П., Эквивалентность, инварианты и симметрия , Кембридж, ISBN 0-521-47811-1
- Айви, Т., Ландсберг, Дж. М., Картан для начинающих: дифференциальная геометрия с помощью движущихся рамок и внешних дифференциальных систем , Американское математическое общество, ISBN 0-8218-3375-8
- Дунайски, М., Солитоны, инстантоны и твисторы , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-857063-9