В математике теорема Дарба является теоремой в реальном анализе , названная в честь Дарба . В нем говорится, что каждая функция, являющаяся результатом дифференцирования другой функции, имеет свойство промежуточного значения : изображение интервала также является интервалом.
Когда ƒ является непрерывно дифференцируемой ( ƒ в С 1 ([ , Ь ])), это является следствием теоремы промежуточного значения . Но даже когда ƒ ′ не является непрерывным, теорема Дарбу налагает серьезные ограничения на то, чем оно может быть.
Теорема Дарбу
Позволять быть закрытым интервалом ,действительнозначная дифференцируемая функция. потомимеет свойство промежуточного значения : если а также точки в с участием , то для каждого между а также существует в такой, что . [1] [2] [3]
Доказательства
Доказательство 1. Первое доказательство основано на теореме об экстремальном значении .
Если равно или же , затем установив равно или же , соответственно, дает желаемый результат. Теперь предположим, что строго между а также , и в частности, что . Позволять такой, что . Если это так, мы корректируем наше нижеприведенное доказательство, вместо этого утверждая, что имеет минимум на .
С непрерывна на отрезке , максимальное значение на достигается в какой-то момент в , согласно теореме об экстремальном значении .
Так как , мы знаем не может достичь своего максимального значения при . (Если это так, то для всех , что означает .)
Точно так же, потому что , мы знаем не может достичь своего максимального значения при .
Следовательно, должен достичь своего максимального значения в какой-то момент . Следовательно, по теореме Ферма ,, т.е. .
Доказательство 2. Второе доказательство основано на сочетании теоремы о среднем значении и теоремы о промежуточном значении . [1] [2]
Определять . Для определять а также . И для определять а также .
Таким образом, для у нас есть . Теперь определим с участием . непрерывно в .
Более того, когда а также когда ; следовательно, из теоремы о промежуточном значении, если тогда существует такой, что . Давайте исправим.
Из теоремы о среднем значении существует точка такой, что . Следовательно,.
Функция Дарбу
Функция Дарба является вещественной функцией ƒ , которая имеет свойство «промежуточное значение»: для любых двух значений через и Ь в области ƒ , и любые у между ƒ ( ) и ƒ ( б ), есть некоторые с между a и b с ƒ ( c ) = y . [4] По теореме о промежуточном значении каждая непрерывная функция на действительном интервале является функцией Дарбу. Вклад Дарбу состоял в том, чтобы показать, что существуют разрывные функции Дарбу.
Каждый разрыв функции Дарбу существенен , то есть в любой точке разрыва не существует по крайней мере одного из левых или правых пределов.
Примером функции Дарбу, разрывной в одной точке, является функция синусоидальной кривой тополога :
По теореме Дарбу производная любой дифференцируемой функции является функцией Дарбу. В частности, производная функции является функцией Дарбу, даже если она не является непрерывной в одной точке.
Примером функции Дарбу, которая нигде не является непрерывной, является функция Конвея с основанием 13 .
Функции Дарбу - довольно общий класс функций. Оказывается, любую действительную функцию ƒ на вещественной прямой можно записать как сумму двух функций Дарбу. [5] Отсюда, в частности, следует, что класс функций Дарбу не замкнут относительно сложения.
Сильно функция Дарба является один , для которых образ каждого (непустого) открытого интервала всей реальной линии. Функция Конвея по основанию 13 снова является примером. [4]
Заметки
- ^ a b Апостол, Том М .: Математический анализ: современный подход к продвинутому исчислению, 2-е издание, Addison-Wesley Longman, Inc. (1974), стр.112.
- ^ a b Олсен, Ларс: новое доказательство теоремы Дарбу , Vol. 111, № 8 (октябрь 2004 г.) (стр. 713–715), The American Mathematical Monthly
- ^ Рудин, Вальтер: Принципы математического анализа, 3-е издание, MacGraw-Hill, Inc. (1976), стр. 108
- ^ a b Цесельский, Кшиштоф (1997). Теория множеств для работающего математика . Тексты студентов Лондонского математического общества. 39 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . С. 106–111. ISBN 0-521-59441-3. Zbl 0938.03067 .
- ^ Брукнер, Эндрю М: Дифференцирование действительных функций , 2-е изд, стр. 6, Американское математическое общество, 1994
Внешние ссылки
- Эта статья включает материал из теоремы Дарбу о PlanetMath , которая находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .
- "Теорема Дарбу" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]