В математике , формуле де Муавра (также известный как теоремы де Муавра и де Муавра идентичности ) утверждает , что для любого действительного числа х и целого числа п справедливо , что
где i - мнимая единица ( i 2 = −1 ). Формула названа в честь Авраама де Муавра , хотя он никогда не заявлял об этом в своих работах. [1] Выражение cos x + i sin x иногда сокращается до cis x .
Формула важна, потому что она связывает комплексные числа и тригонометрию . Расширяя левую часть и затем сравнивая действительную и мнимую части в предположении, что x является действительным, можно получить полезные выражения для cos nx и sin nx в терминах cos x и sin x .
Как написано, формула недействительна для нецелых степеней n . Однако есть обобщения этой формулы, справедливые и для других показателей. Их можно использовать для получения явных выражений для корней n- й степени из единицы , то есть комплексных чисел z, таких что z n = 1 .
Пример
Для а также , формула де Муавра утверждает, что
или что то же самое
В этом примере легко проверить справедливость уравнения, умножив левую часть.
Связь с формулой Эйлера
Формула Де Муавра является предшественником формулы Эйлера
который устанавливает фундаментальную связь между тригонометрическими функциями и комплексной экспоненциальной функцией.
Формулу де Муавра можно вывести, используя формулу Эйлера и экспоненциальный закон для целых степеней
поскольку из формулы Эйлера следует, что левая часть равна а правая часть равна
Доказательство по индукции.
Истинность теоремы де Муавра может быть установлена с помощью математической индукции для натуральных чисел и оттуда распространена на все целые числа. Для целого числа n вызовите следующий оператор S ( n ) :
При n > 0 действуем по математической индукции . S (1) явно верно. Для нашей гипотезы мы предполагаем, что S ( k ) верна для некоторого натурального k . То есть мы предполагаем
Мы заключаем, что из S ( k ) следует S ( k + 1) . По принципу математической индукции следует, что результат верен для всех натуральных чисел. Теперь, очевидно , что S (0) истинно, поскольку cos (0 x ) + i sin (0 x ) = 1 + 0 i = 1 . Наконец, для случаев с отрицательными целыми числами, мы рассматриваем показатель - n для натурального n .
Уравнение (*) является результатом тождества
для z = cos nx + i sin nx . Следовательно, S ( n ) выполняется для всех целых n .
В каждом из этих двух уравнений конечная тригонометрическая функция равна единице или минус единице или нулю, таким образом удаляя половину элементов в каждой из сумм. Эти уравнения на самом деле справедливы даже для комплексных значений x , потому что обе части являются целыми (то есть голоморфными на всей комплексной плоскости ) функциями x , и две такие функции, которые совпадают на действительной оси, обязательно совпадают везде. Вот конкретные примеры этих уравнений для n = 2 и n = 3 :
Правая часть формулы для соз пх в действительности значение Т п (соз х ) из Чебышева полинома Т п в сов х .
Отказ для нецелочисленных степеней и обобщение
Формула Де Муавра не верна для нецелых степеней. Вывод формулы де Муавра, приведенной выше, включает комплексное число, возведенное в целую степень n . Если комплексное число возведено в степень, не являющуюся целым числом, результат будет многозначным (см. Отказ от тождеств степени и логарифма ). Например, когда n =1/2, формула де Муавра дает следующие результаты:
для x = 0 формула дает 1 1 ⁄ 2 = 1, и
для x = 2 π формула дает 1 1 ⁄ 2 = -1.
Это присваивает два разных значения одному и тому же выражению 11 ⁄ 2 , поэтому формула в данном случае не согласована.
С другой стороны, значения 1 и -1 являются квадратными корнями из 1. В более общем случае, если z и w - комплексные числа, то
многозначен, а
не является. Однако всегда бывает так, что
является одним из значений
Корни комплексных чисел
Скромный расширение версии формулы Муавра , приведенной в данной статье , могут быть использованы , чтобы найти в п - й корни из комплексного числа ( то же самое, мощность1/п).
Если z - комплексное число, записанное в полярной форме как
тогда корни n n степени z имеют вид
где k изменяется в диапазоне целых значений от 0 до n - 1 .
Эта формула также иногда известна как формула де Муавра. [2]
Аналоги в других настройках
Гиперболическая тригонометрия
Поскольку cosh x + sinh x = e x , аналог формулы де Муавра также применим к гиперболической тригонометрии . Для всех п ∈ ℤ ,
Кроме того, если n ∈ ℚ , то одно значение (ch x + sinh x ) n будет ch nx + sinh nx . [3]
Расширение до комплексных чисел
Формула верна для любого комплексного числа
где
Кватернионы
Чтобы найти корни кватерниона, существует аналогичная форма формулы де Муавра. Кватернион в форме
can be represented in the form
In this representation,
and the trigonometric functions are defined as
In the case that a2 + b2 + c2 ≠ 0,
that is, the unit vector. This leads to the variation of De Moivre's formula:
Consider the following matrix . Then . This fact (although it can be proven in the very same way as for complex numbers) is a direct consequence of the fact that the space of matrices of type is isomorphic to the space of complex numbers.
^Lial, Margaret L.; Hornsby, John; Schneider, David I.; Callie J., Daniels (2008). College Algebra and Trigonometry (4th ed.). Boston: Pearson/Addison Wesley. p. 792. ISBN 9780321497444.