Релятивистское распределение Брейта – Вигнера

Релятивистское распределение Брейт-Вигнера (после того, как в 1936 году ядерного резонанса формулы ^[1] из Грегори Брейта и Юджин Вигнер ) является непрерывным распределением вероятностей с помощью следующей функции плотности вероятности , ^[2]

${\ displaystyle f (E) = {\ frac {k} {\ left (E ^ {2} -M ^ {2} \ right) ^ {2} + M ^ {2} \ Gamma ^ {2}}} ~,}$

где k - коэффициент пропорциональности, равный

${\ displaystyle k = {\ frac {2 {\ sqrt {2}} M \ Gamma \ gamma} {\ pi {\ sqrt {M ^ {2} + \ gamma}}}} ~~~~}$   с участием   ${\ displaystyle ~~~~ \ gamma = {\ sqrt {M ^ {2} \ left (M ^ {2} + \ Gamma ^ {2} \ right)}} ~.}$

(Это уравнение записывается с использованием натуральных единиц , ħ = с = 1 ) .

Чаще всего он используется для моделирования резонансов (нестабильных частиц) в физике высоких энергий . В этом случае E - это энергия центра масс , вызывающая резонанс, M - масса резонанса, а Γ - ширина резонанса (или ширина затухания ), связанная со средним временем жизни в соответствии с τ = 1 / Γ. . (С включены блоки, формула τ = ħ / Γ .)

Использование [ править ]

Вероятность возникновения резонанса при данной энергии E пропорциональна f ( E ) , так что график зависимости скорости образования нестабильной частицы от энергии отражает форму релятивистского распределения Брейта – Вигнера. Обратите внимание, что для значений E от максимума на M, таких что | E ²  -  M ² | = M Γ (следовательно, | E  -  M | = Γ / 2 для M  ≫ Γ ), распределение fзатухает до половины своего максимального значения, что оправдывает название Γ, ширина на полувысоте .

В пределе исчезающей ширины, Γ → 0, частица становится устойчивой, поскольку лоренцево распределение f бесконечно обостряется до 2 Mδ ( E ²  -  M ² ) .

Вообще говоря, Γ также может быть функцией E ; эта зависимость обычно важна только тогда, когда Γ не мала по сравнению с M и необходимо учитывать зависимость ширины от фазового пространства . (Например, при распаде ро-мезона на пару пионов .) Множитель M ² , умножающий Γ ^2, также должен быть заменен на E ² (или E ⁴ / M ² и т. Д.), Когда резонанс широкий. . ^[3]

Форма релятивистского распределения Брейта – Вигнера возникает из пропагатора нестабильной частицы ^[4] , знаменатель которого имеет вид p ² - M ² + iM Γ . (Здесь p ² представляет собой квадрат четырех импульсов, переносимых этой частицей на рассматриваемой древовидной диаграмме Фейнмана.) Тогда пропагатор в его системе покоя пропорционален квантово-механической амплитуде распада, используемого для восстановления этого резонанса,

${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {k}} {\ left (E ^ {2} -M ^ {2} \ right) + iM \ Gamma}} ~.}$

Результирующее распределение вероятностей пропорционально абсолютному квадрату амплитуды, так что тогда вышеупомянутое релятивистское распределение Брейта – Вигнера для функции плотности вероятности.

Форма этого распределения аналогична амплитуде решения классического уравнения движения для управляемого гармонического осциллятора, который затухает и приводится в действие синусоидальной внешней силой. Оно имеет стандартную резонансную форму распределения Лоренца или Коши , но включает релятивистские переменные s  =  p ² , здесь =  E ² . Распределение является решением дифференциального уравнения для квадрата амплитуды относительно энергии энергии (частоты) в таком классическом осцилляторе с принудительной силой,

${\ displaystyle f '({\ text {E}}) \ left (\ left ({\ text {E}} ^ {2} -M ^ {2} \ right) ^ {2} + \ Gamma ^ {2 } M ^ {2} \ right) -4 {\ text {E}} f ({\ text {E}}) (M - {\ text {E}}) ({\ text {E}} + M) = 0,}$

с участием

${\ displaystyle f (M) = {\ frac {k} {\ Gamma ^ {2} M ^ {2}}}. ~}$

Гауссово уширение [ править ]

В эксперименте падающий луч, вызывающий резонанс, всегда имеет некоторый разброс энергии вокруг центрального значения. Обычно это гауссово / нормальное распределение . Результирующая форма резонанса в этом случае определяется сверткой распределения Брейта-Вигнера и гауссова распределения,

${\displaystyle V_{2}(E;M,\Gamma ,k,\sigma )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {k}{(E'^{2}-M^{2})^{2}+(M\Gamma )^{2}}}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(E'-E)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}dE'.}$

Эту функцию можно упростить ^[5] , введя новые переменные,

${\displaystyle t={\frac {E-E'}{{\sqrt {2}}\sigma }},\quad u_{1}={\frac {E-M}{{\sqrt {2}}\sigma }},\quad u_{2}={\frac {E+M}{{\sqrt {2}}\sigma }},\quad a={\frac {k\pi }{2\sigma ^{2}}},}$

чтобы получить

${\displaystyle V_{2}(E;M,\Gamma ,k,\sigma )={\frac {H_{2}(a,u_{1},u_{2})}{\sigma ^{2}2{\sqrt {\pi }}}},}$

где релятивистская функция уширения линии ^[5] имеет следующее определение:

${\displaystyle H_{2}(a,u_{1},u_{2})={\frac {a}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}}}{(u_{1}-t)^{2}(u_{2}-t)^{2}+a^{2}}}dt.}$

${\displaystyle H_{2}}$является релятивистским аналогом аналогичной функции уширения линий ^[6] для профиля Фойгта, используемого в спектроскопии (см. также раздел 7.19 в ^[7] ).

Ссылки [ править ]