В математике дифференциальное уравнение — это уравнение , которое связывает одну или несколько неизвестных функций и их производных . [1] В приложениях функции обычно представляют физические величины, производные представляют скорость их изменения, а дифференциальное уравнение определяет связь между ними. Такие отношения распространены; поэтому дифференциальные уравнения играют заметную роль во многих дисциплинах, включая инженерное дело , физику , экономику и биологию .
Изучение дифференциальных уравнений состоит главным образом из изучения их решений (набора функций, удовлетворяющих каждому уравнению) и свойств их решений. Лишь простейшие дифференциальные уравнения разрешимы явными формулами; однако многие свойства решений данного дифференциального уравнения можно определить без их точного вычисления.
Часто, когда выражение для решений в замкнутой форме недоступно, решения можно аппроксимировать численно с помощью компьютеров. В теории динамических систем упор делается на качественный анализ систем, описываемых дифференциальными уравнениями, при этом разработано множество численных методов определения решений с заданной степенью точности.
Дифференциальные уравнения появились с изобретением исчисления Исааком Ньютоном и Готфридом Лейбницем . В главе 2 своей работы 1671 года Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum [ 2] Ньютон перечислил три вида дифференциальных уравнений:
Он решает эти и другие примеры, используя бесконечные ряды, и обсуждает неединственность решений.
Якоб Бернулли предложил дифференциальное уравнение Бернулли в 1695 году. [3] Это обыкновенное дифференциальное уравнение вида