Направляющий косинус

Эта статья включает в себя список литературы , связанной литературы или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Январь 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В аналитической геометрии , то косинусы (или направляющие косинусы ) от вектора являются косинусами углов между вектором и три координатных осями. Эквивалентно, они являются вкладом каждого компонента базиса в единичный вектор в этом направлении. Направляющие косинусы являются аналогичным расширением обычного понятия наклона на более высокие измерения.

Трехмерные декартовы координаты [ править ]

Вектор v в ³

Направляющие косинусы и направляющие углы для единичного вектора v / | v |

Если v - евклидов вектор в трехмерном евклидовом пространстве , ℝ ³ ,

${\ displaystyle \ mathbf {v} = v_ {x} \ mathbf {e} _ {x} + v_ {y} \ mathbf {e} _ {y} + v_ {z} \ mathbf {e} _ {z} ,}$

где e _x , e _y , e _z - стандартный базис в декартовых обозначениях, тогда направляющие косинусы равны

${\ displaystyle {\ begin {alignat} {2} \ alpha & {} = \ cos a = {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {e} _ {x}} {\ Vert \ mathbf {v } \ Vert}} && {} = {\ frac {v_ {x}} {\ sqrt {v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2} + v_ {z} ^ {2}}} }, \\\ beta & {} = \ cos b = {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {e} _ {y}} {\ Vert \ mathbf {v} \ Vert}} && {} = {\ frac {v_ {y}} {\ sqrt {v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2} + v_ {z} ^ {2}}}}, \\\ гамма & { } = \ cos c = {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {e} _ {z}} {\ Vert \ mathbf {v} \ Vert}} && {} = {\ frac {v_ {z }} {\ sqrt {v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2} + v_ {z} ^ {2}}}}. \ end {alignat}}}$

Отсюда следует, что возведением каждого уравнения в квадрат и сложением результатов

${\ displaystyle \ cos ^ {2} a + \ cos ^ {2} b + \ cos ^ {2} c = \ alpha ^ {2} + \ beta ^ {2} + \ gamma ^ {2} = 1.}$

Здесь α , β и γ - направляющие косинусы и декартовы координаты единичного вектора v / | v |, а a , b и c - углы направления вектора v .

Направляющие углы a , b и c являются острыми или тупыми углами , т. Е. 0 ≤ a ≤ π, 0 ≤ b ≤ π и 0 ≤ c ≤ π , и они обозначают углы, образованные между v и единичными базисными векторами, e _x , e _y и e _z .

Общее значение [ править ]

В более общем смысле, направляющий косинус относится к косинусу угла между любыми двумя векторами . Они полезны для формирования матриц направляющих косинусов, которые выражают один набор ортонормированных базисных векторов в терминах другого набора, или для выражения известного вектора в другом базисе.

См. Также [ править ]

• Декартов тензор

Ссылки [ править ]

• Кей, округ Колумбия (1988). Тензорное исчисление . Очертания Шаума. Макгроу Хилл. С. 18–19. ISBN 0-07-033484-6.
• Spiegel, MR; Lipschutz, S .; Спеллман, Д. (2009). Векторный анализ . Очертания Шаума (2-е изд.). Макгроу Хилл. стр. 15, 25. ISBN 978-0-07-161545-7.
• Тилдесли, младший (1975). Введение в тензорный анализ для инженеров и прикладников . Лонгман. п. 5. ISBN 0-582-44355-5.
• Тан, К.Т. (2006). Математические методы для инженеров и ученых . 2 . Springer. п. 13. ISBN 3-540-30268-9.
• Вайсштейн, Эрик В. «Направленный косинус» . MathWorld .