Декартов тензор

Два различных трехмерных ортонормированных базиса : каждый базис состоит из единичных векторов, которые взаимно перпендикулярны.

В геометрии и линейной алгебры , А декартову тензор использует ортогональный базис , чтобы представлять собой тензор в евклидовом пространстве в виде компонентов. Преобразование компонентов тензора из одного такого базиса в другой осуществляется посредством ортогонального преобразования .

Наиболее известные системы координат - это двумерная и трехмерная декартовы системы координат . Декартовы тензоры могут быть использованы с любым евклидовом пространства, или более технически, любое конечномерным векторного пространством над полем из действительных чисел , которая имеет внутренний продукт .

Использование декартовых тензоров встречается в физике и технике , например, с тензором напряжений Коши и тензором момента инерции в динамике твердого тела . Иногда общие криволинейные координаты удобны, как в механике сплошных сред с высокой деформацией , или даже необходимы, как в общей теории относительности . Хотя ортонормированные основы могут быть найдены для некоторых таких систем координат (например, касательных к сферическим координатам ), декартовы тензоры могут обеспечить значительное упрощение для приложений, в которых достаточно вращения прямолинейных осей координат. Преобразование - этопассивное преобразование , поскольку меняются координаты, а не физическая система.

Декартова основа и связанная с ней терминология [ править ]

Векторы в трех измерениях [ править ]

В трехмерном евклидовом пространстве , ℝ ³ , стандартный базис - это e _x , e _y , e _z . Каждый базисный вектор указывает на оси x, y и z, и все векторы являются единичными векторами (или нормализованными), поэтому базис является ортонормированным .

Повсюду, когда ссылаются на декартовы координаты в трех измерениях , предполагается правосторонняя система, и на практике это гораздо более распространено, чем левосторонняя система, подробности см. В разделе " Ориентация (векторное пространство)" .

Для декартовых тензоров порядка 1 декартов вектор a может быть записан алгебраически как линейная комбинация базисных векторов e _x , e _y , e _z :

${\ displaystyle \ mathbf {a} = a _ {\ text {x}} \ mathbf {e} _ {\ text {x}} + a _ {\ text {y}} \ mathbf {e} _ {\ text {y }} + _ {\ text {z}} \ mathbf {e} _ {\ text {z}}}$

где координаты вектора относительно декартового базиса обозначаются a _x , a _y , a _z . Обычно и полезно отображать базисные векторы в виде векторов-столбцов.

${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {\ text {x}} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix}} \ ,, \ quad \ mathbf {e} _ {\ text {y}} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \ end {pmatrix}} \ ,, \ quad \ mathbf {e} _ {\ text {z}} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}}$

когда у нас есть вектор координат в представлении вектора столбца:

${\ displaystyle \ mathbf {a} = {\ begin {pmatrix} a _ {\ text {x}} \\ a _ {\ text {y}} \\ a _ {\ text {z}} \ end {pmatrix}}}$

Вектор - строка представление также законным, хотя в контексте общей криволинейной системы координат строк и столбцов векторные представления используются отдельно по определенным причинам - см Эйнштейна обозначения и Контравариантный Вектор , почему.

Термин «компонент» вектора неоднозначен: он может относиться к:

• конкретная координата вектора , такого , как в _г (скаляр), и аналогично для х и у , или
• координата скалярного умножения соответствующего базиса вектора, причем в этом случае «у-составляющая» является _у е _у (вектор), а так же для й и г .

Более общая нотация - нотация тензорного индекса , которая имеет гибкость числовых значений, а не фиксированных координатных меток.Декартовы метки заменяются тензорными индексами в базисных векторах e _x ↦ e ₁ , e _y ↦ e ₂ , e _z ↦ e ₃ и координатах a _x ↦ a ₁ , a _y ↦ a ₂ , a _z ↦ a ₃ . В общем случае обозначения e ₁ , e ₂ , e ₃ относятся к любому базису, а a ₁, a ₂ , a ₃ относятся к соответствующей системе координат; хотя здесь они ограничены декартовой системой. Потом:

${\displaystyle \mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}=\sum _{i=1}^{3}a_{i}\mathbf {e} _{i}}$

Стандартно использовать обозначение Эйнштейна - знак суммирования для суммирования по индексу, который присутствует ровно дважды в члене, может быть опущен для краткости обозначений:

${\displaystyle \mathbf {a} =\sum _{i=1}^{3}a_{i}\mathbf {e} _{i}\equiv a_{i}\mathbf {e} _{i}}$

Преимущество индексной нотации перед обозначениями, специфичными для координат, заключается в независимости размерности лежащего в основе векторного пространства, то есть одно и то же выражение в правой части принимает ту же форму в более высоких измерениях (см. Ниже). Раньше декартовы метки x, y, z были просто метками, а не индексами. (Неформально говорить « i = x, y, z»).

Тензоры второго порядка в трех измерениях [ править ]

Диадический тензор Т является тензором порядка 2 , образованный тензорного произведения ⊗ двух декартовых векторов через и Ь , написанный Т = ⊗ б . Аналогично векторам, его можно записать как линейную комбинацию тензорного базиса e _x ⊗ e _x ≡ e _xx , e _x ⊗ e _y ≡ e _xy , ..., e _z ⊗ e _z ≡ e _zz (правая часть каждого идентификатора - это только аббревиатура, не более того):

${\displaystyle {\begin{array}{ccl}\mathbf {T} &=&\left(a_{\text{x}}\mathbf {e} _{\text{x}}+a_{\text{y}}\mathbf {e} _{\text{y}}+a_{\text{z}}\mathbf {e} _{\text{z}}\right)\otimes \left(b_{\text{x}}\mathbf {e} _{\text{x}}+b_{\text{y}}\mathbf {e} _{\text{y}}+b_{\text{z}}\mathbf {e} _{\text{z}}\right)\\&&\\&=&a_{\text{x}}b_{\text{x}}\mathbf {e} _{\text{x}}\otimes \mathbf {e} _{\text{x}}+a_{\text{x}}b_{\text{y}}\mathbf {e} _{\text{x}}\otimes \mathbf {e} _{\text{y}}+a_{\text{x}}b_{\text{z}}\mathbf {e} _{\text{x}}\otimes \mathbf {e} _{\text{z}}\\&&{}+a_{\text{y}}b_{\text{x}}\mathbf {e} _{\text{y}}\otimes \mathbf {e} _{\text{x}}+a_{\text{y}}b_{\text{y}}\mathbf {e} _{\text{y}}\otimes \mathbf {e} _{\text{y}}+a_{\text{y}}b_{\text{z}}\mathbf {e} _{\text{y}}\otimes \mathbf {e} _{\text{z}}\\&&{}+a_{\text{z}}b_{\text{x}}\mathbf {e} _{\text{z}}\otimes \mathbf {e} _{\text{x}}+a_{\text{z}}b_{\text{y}}\mathbf {e} _{\text{z}}\otimes \mathbf {e} _{\text{y}}+a_{\text{z}}b_{\text{z}}\mathbf {e} _{\text{z}}\otimes \mathbf {e} _{\text{z}}\\\end{array}}}$

Представление каждого базисного тензора в виде матрицы:

${\displaystyle {\mathbf {e} _{\text{x}}\otimes \mathbf {e} _{\text{x}}}\equiv \mathbf {e} _{\text{xx}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\,,\quad {\mathbf {e} _{\text{x}}\otimes \mathbf {e} _{\text{y}}}\equiv \mathbf {e} _{\text{xy}}={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\,,\cdots \quad {\mathbf {e} _{\text{z}}\otimes \mathbf {e} _{\text{z}}}\equiv \mathbf {e} _{\text{zz}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

тогда T можно более систематично представить в виде матрицы:

${\displaystyle \mathbf {T} ={\begin{pmatrix}a_{\text{x}}b_{\text{x}}&a_{\text{x}}b_{\text{y}}&a_{\text{x}}b_{\text{z}}\\a_{\text{y}}b_{\text{x}}&a_{\text{y}}b_{\text{y}}&a_{\text{y}}b_{\text{z}}\\a_{\text{z}}b_{\text{x}}&a_{\text{z}}b_{\text{y}}&a_{\text{z}}b_{\text{z}}\end{pmatrix}}}$

См. Матричное умножение для обозначения соответствия между матрицами и скалярными и тензорными произведениями.

В более общем смысле, независимо от того, является ли T тензорным произведением двух векторов, это всегда линейная комбинация базисных тензоров с координатами T _xx , T _xy , ... T _zz :

${\displaystyle {\begin{array}{ccl}\mathbf {T} &=&T_{\text{xx}}\mathbf {e} _{\text{xx}}+T_{\text{xy}}\mathbf {e} _{\text{xy}}+T_{\text{xz}}\mathbf {e} _{\text{xz}}\\&&{}+T_{\text{yx}}\mathbf {e} _{\text{yx}}+T_{\text{yy}}\mathbf {e} _{\text{yy}}+T_{\text{yz}}\mathbf {e} _{\text{yz}}\\&&{}+T_{\text{zx}}\mathbf {e} _{\text{zx}}+T_{\text{zy}}\mathbf {e} _{\text{zy}}+T_{\text{zz}}\mathbf {e} _{\text{zz}}\end{array}}}$

а в терминах тензорных индексов:

${\displaystyle \mathbf {T} =T_{ij}\mathbf {e} _{ij}\equiv \sum _{ij}T_{ij}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\,,}$

и в матричной форме:

${\displaystyle \mathbf {T} ={\begin{pmatrix}T_{\text{xx}}&T_{\text{xy}}&T_{\text{xz}}\\T_{\text{yx}}&T_{\text{yy}}&T_{\text{yz}}\\T_{\text{zx}}&T_{\text{zy}}&T_{\text{zz}}\end{pmatrix}}}$

Тензоры второго порядка естественным образом встречаются в физике и технике, когда физические величины имеют направленную зависимость в системе, часто по типу «стимул-реакция». Математически это можно увидеть через один аспект тензоров - они являются полилинейными функциями . Тензор второго порядка T, который принимает вектор u некоторой величины и направления, вернет вектор v ; другой величины и в другом направлении, чем u , в общем. Обозначения, используемые для функций в математическом анализе, приводят нас к записи v = T ( u ) , ^[1]в то время как та же идея может быть выражена в матричных и индексных обозначениях ^[2] (включая соглашение о суммировании), соответственно:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}v_{\text{x}}\\v_{\text{y}}\\v_{\text{z}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}T_{\text{xx}}&T_{\text{xy}}&T_{\text{xz}}\\T_{\text{yx}}&T_{\text{yy}}&T_{\text{yz}}\\T_{\text{zx}}&T_{\text{zy}}&T_{\text{zz}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u_{\text{x}}\\u_{\text{y}}\\u_{\text{z}}\end{pmatrix}}\,,\quad v_{i}=T_{ij}u_{j}}$

Под "линейным", если u = ρ r + σ s для двух скаляров ρ и σ и векторов r и s , то в обозначениях функций и индексов:

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {T} (\rho \mathbf {r} +\sigma \mathbf {s} )=\rho \mathbf {T} (\mathbf {r} )+\sigma \mathbf {T} (\mathbf {s} )}$

${\displaystyle v_{i}=T_{ij}(\rho r_{j}+\sigma s_{j})=\rho T_{ij}r_{j}+\sigma T_{ij}s_{j}}$

и аналогично для матричных обозначений. Обозначения функций, матриц и индексов означают одно и то же. Матричные формы обеспечивают четкое отображение компонентов, в то время как индексная форма позволяет упростить тензорно-алгебраические манипуляции с формулами в компактной форме. Оба обеспечивают физическую интерпретацию направлений ; векторы имеют одно направление, а тензоры второго порядка соединяют два направления вместе. Можно связать тензорный индекс или координатную метку с направлением базисного вектора.

Использование тензоров второго порядка является минимумом для описания изменений величин и направлений векторов, поскольку скалярное произведение двух векторов всегда является скаляром, в то время как векторное произведение двух векторов всегда является псевдовектором, перпендикулярным плоскости, определяемой векторами , поэтому эти произведения векторов сами по себе не могут получить новый вектор любой величины в любом направлении. (См. Также ниже дополнительные сведения о скалярных произведениях и перекрестных произведениях). Тензорное произведение двух векторов является тензором второго порядка, хотя само по себе оно не имеет очевидной направленной интерпретации.

Предыдущую идею можно продолжить: если T принимает два вектора p и q , он вернет скаляр r . В обозначениях функций мы пишем r = T ( p , q ), а в обозначениях матриц и индексов (включая соглашение о суммировании) соответственно:

${\displaystyle r={\begin{pmatrix}p_{\text{x}}&p_{\text{y}}&p_{\text{z}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}T_{\text{xx}}&T_{\text{xy}}&T_{\text{xz}}\\T_{\text{yx}}&T_{\text{yy}}&T_{\text{yz}}\\T_{\text{zx}}&T_{\text{zy}}&T_{\text{zz}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}q_{\text{x}}\\q_{\text{y}}\\q_{\text{z}}\end{pmatrix}}\,,\quad r=p_{i}T_{ij}q_{j}}$

Тензор T линейен по обоим входным векторам. Когда векторы и тензоры записываются без ссылки на компоненты и индексы не используются, иногда ставится точка · там, где производится суммирование по индексам (известное как тензорное сжатие ). Для вышеуказанных случаев: ^{[1] [2]}

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {T} \cdot \mathbf {u} }$

${\displaystyle r=\mathbf {p} \cdot \mathbf {T} \cdot \mathbf {q} }$

мотивировано обозначением скалярного произведения:

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \equiv a_{i}b_{i}}$

В более общем смысле, тензор порядка m, который принимает n векторов (где n находится между 0 и m включительно), вернет тензор порядка m - n , см. Тензор: как полилинейные карты для дальнейших обобщений и деталей. Приведенные выше концепции также применимы к псевдовекторам так же, как и к векторам. Сами векторы и тензоры могут меняться в пределах всего пространства, и в этом случае у нас есть векторные поля и тензорные поля , а также могут зависеть от времени.

Вот несколько примеров:

Примененный или данный ...	... к материалу или объекту ...	... приводит к ...	... в материале или объекте, определяемом:
единичный вектор n	Тензор напряжений Коши σ	тяговая сила t	${\displaystyle \mathbf {t} ={\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {n} }$
угловая скорость ω	момент инерции I	угловой момент J	${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}}$
	момент инерции I	кинетическая энергия вращения T	${\displaystyle T={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}}$
электрическое поле E	электропроводность σ	плотность тока потока J	${\displaystyle \mathbf {J} ={\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {E} }$
	поляризуемость α (связанная с диэлектрической проницаемостью ε и электрической восприимчивостью χ E )	индуцированное поляризационное поле P	${\displaystyle \mathbf {P} ={\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {E} }$
магнитное поле H	магнитная проницаемость μ	магнитное В поле	${\displaystyle \mathbf {B} ={\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {H} }$

Для примера электропроводности индексные и матричные обозначения будут следующими:

${\displaystyle J_{i}=\sigma _{ij}E_{j}\equiv \sum _{j}\sigma _{ij}E_{j}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}J_{\text{x}}\\J_{\text{y}}\\J_{\text{z}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sigma _{\text{xx}}&\sigma _{\text{xy}}&\sigma _{\text{xz}}\\\sigma _{\text{yx}}&\sigma _{\text{yy}}&\sigma _{\text{yz}}\\\sigma _{\text{zx}}&\sigma _{\text{zy}}&\sigma _{\text{zz}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}E_{\text{x}}\\E_{\text{y}}\\E_{\text{z}}\end{pmatrix}}}$

а для вращательной кинетической энергии T :

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\omega _{i}I_{ij}\omega _{j}\equiv {\frac {1}{2}}\sum _{ij}\omega _{i}I_{ij}\omega _{j}\,,}$

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\omega _{\text{x}}&\omega _{\text{y}}&\omega _{\text{z}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{\text{xx}}&I_{\text{xy}}&I_{\text{xz}}\\I_{\text{yx}}&I_{\text{yy}}&I_{\text{yz}}\\I_{\text{zx}}&I_{\text{zy}}&I_{\text{zz}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{\text{x}}\\\omega _{\text{y}}\\\omega _{\text{z}}\end{pmatrix}}\,.}$

См. Также материальное уравнение для более специализированных примеров.

Векторы и тензоры в n измерениях [ править ]

В n- мерном евклидовом пространстве над действительными числами ℝ ⁿ стандартный базис обозначается e ₁ , e ₂ , e ₃ , ... e _n . Каждый базисный вектор e _i указывает вдоль положительной оси x _i , причем базис является ортонормированным. Компонент j в e _i задается дельтой Кронекера :

${\displaystyle (\mathbf {e} _{i})_{j}=\delta _{ij}}$

Вектор в ℝ ⁿ принимает вид:

${\displaystyle \mathbf {a} =a_{i}\mathbf {e} _{i}\equiv \sum _{i}a_{i}\mathbf {e} _{i}\,.}$

Аналогично для тензора порядка 2, приведенного выше, для каждого вектора a и b в ℝ ⁿ :

${\displaystyle \mathbf {T} =a_{i}b_{j}\mathbf {e} _{ij}\equiv \sum _{ij}a_{i}b_{j}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\,,}$

или в более общем плане:

${\displaystyle \mathbf {T} =T_{ij}\mathbf {e} _{ij}\equiv \sum _{ij}T_{ij}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\,.}$

Преобразования декартовых векторов (любое количество измерений) [ править ]

Значение «инвариантности» относительно преобразований координат [ править ]

Вектор положения х в ℝ ^п является простым и распространенным примером вектора, и может быть представлена в любой системе координат . Рассмотрим случай прямоугольных систем координат только с ортонормированными базами. Вполне возможно , чтобы иметь систему координат с прямоугольной геометрией , если базисные векторы все взаимно перпендикулярны и не нормализована, и в этом случае основа является орто гональной , но не орта нормально . Однако ортонормированными базами легче манипулировать, и они часто используются на практике. Следующие результаты верны для ортонормированных, а не ортогональных базисов.

В одной прямоугольной системе координат x как контравектор имеет координаты x ⁱ и базисные векторы e _i , в то время как как ковектор он имеет координаты x _i и базисные ковекторы e ⁱ , и мы имеем:

${\displaystyle \mathbf {x} =x^{i}\mathbf {e} _{i}\,,\quad \mathbf {x} =x_{i}\mathbf {e} ^{i}}$

В другой прямоугольной системе координат x как контравектор имеет координаты x ⁱ и основания e _i , в то время как как ковектор он имеет координаты x _i и основания e ⁱ , и мы имеем:

${\displaystyle \mathbf {x} ={\bar {x}}^{i}{\bar {\mathbf {e} }}_{i}\,,\quad \mathbf {x} ={\bar {x}}_{i}{\bar {\mathbf {e} }}^{i}}$

Каждая новая координата является функцией всех старых, и наоборот для обратной функции :

${\displaystyle {\bar {x}}{}^{i}={\bar {x}}{}^{i}\left(x^{1},x^{2},\cdots \right)\quad \rightleftharpoons \quad x{}^{i}=x{}^{i}\left({\bar {x}}^{1},{\bar {x}}^{2},\cdots \right)}$

${\displaystyle {\bar {x}}{}_{i}={\bar {x}}{}_{i}\left(x_{1},x_{2},\cdots \right)\quad \rightleftharpoons \quad x{}_{i}=x{}_{i}\left({\bar {x}}_{1},{\bar {x}}_{2},\cdots \right)}$

и аналогично каждый новый базисный вектор является функцией всех старых, и наоборот для обратной функции:

${\displaystyle {\bar {\mathbf {e} }}{}_{j}={\bar {\mathbf {e} }}{}_{j}\left(\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\cdots \right)\quad \rightleftharpoons \quad \mathbf {e} {}_{j}=\mathbf {e} {}_{j}\left({\bar {\mathbf {e} }}_{1},{\bar {\mathbf {e} }}_{2}\cdots \right)}$

${\displaystyle {\bar {\mathbf {e} }}{}^{j}={\bar {\mathbf {e} }}{}^{j}\left(\mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2}\cdots \right)\quad \rightleftharpoons \quad \mathbf {e} {}^{j}=\mathbf {e} {}^{j}\left({\bar {\mathbf {e} }}^{1},{\bar {\mathbf {e} }}^{2}\cdots \right)}$

для всех i , j .

Вектор инвариантен при любом изменении базиса, поэтому, если координаты преобразуются в соответствии с матрицей преобразования L , базисы преобразуются в соответствии с матрицей, обратной L ^-1 , и наоборот, если координаты преобразуются в соответствии с обратной L ^-1 , базисы преобразуются в соответствии с к матрице L . Разница между каждым из этих преобразований обычно отображается с помощью индексов в виде верхних индексов для контравариантности и нижних индексов для ковариации, а координаты и основания линейно преобразуются в соответствии со следующими правилами:

Векторные элементы	Контравариантный закон преобразования	Ковариантный закон преобразования
Координаты	${\displaystyle {\bar {x}}^{j}=x^{i}({\boldsymbol {\mathsf {L}}})_{i}{}^{j}=x^{i}{\mathsf {L}}_{i}{}^{j}}$	${\displaystyle {\bar {x}}_{j}=x_{k}({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{j}{}^{k}}$
Основа	${\displaystyle {\bar {\mathbf {e} }}_{j}=({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{j}{}^{k}\mathbf {e} _{k}}$	${\displaystyle {\bar {\mathbf {e} }}^{j}=({\boldsymbol {\mathsf {L}}})_{i}{}^{j}\mathbf {e} ^{i}={\mathsf {L}}_{i}{}^{j}\mathbf {e} ^{i}}$
Любой вектор	${\displaystyle {\bar {x}}^{j}{\bar {\mathbf {e} }}_{j}=x^{i}{\mathsf {L}}_{i}{}^{j}({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{j}{}^{k}\mathbf {e} _{k}=x^{i}\delta _{i}{}^{k}\mathbf {e} _{k}=x^{i}\mathbf {e} _{i}}$	${\displaystyle {\bar {x}}_{j}{\bar {\mathbf {e} }}^{j}=x_{i}({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{j}{}^{i}{\mathsf {L}}_{k}{}^{j}\mathbf {e} ^{k}=x_{i}\delta ^{i}{}_{k}\mathbf {e} ^{k}=x_{i}\mathbf {e} ^{i}}$

где L _i ^j представляет элементы матрицы преобразования (номер строки равен i, а номер столбца равен j ), а ( L ^-1 ) _i ^k обозначает элементы обратной матрицы матрицы L _i ^k .

Если L - ортогональное преобразование ( ортогональная матрица ), объекты, преобразующиеся с его помощью, определяются как декартовы тензоры . Это геометрически имеет интерпретацию, что прямоугольная система координат отображается в другую прямоугольную систему координат, в которой сохраняется норма вектора x (и сохраняются расстояния).

Определитель из L является Det ( L ) = ± 1, что соответствует двум типам ортогональных преобразований: (+1) для вращений и (-1) для несобственных вращений ( в том числе отражений ).

Существуют значительные алгебраические упрощения, транспонированная матрица является обратной по сравнению с определением ортогонального преобразования:

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\Rightarrow ({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{i}{}^{j}=({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{\mathrm {T} })_{i}{}^{j}=({\boldsymbol {\mathsf {L}}})^{j}{}_{i}={\mathsf {L}}^{j}{}_{i}}$

Из предыдущей таблицы ортогональные преобразования ковекторов и контравекторов идентичны. Нет необходимости различать повышающие и понижающие индексы , и в этом контексте, а также в приложениях к физике и технике все индексы обычно имеют нижние индексы, чтобы избежать путаницы с показателями . В оставшейся части статьи все индексы будут понижены. Фактические повышенные и пониженные индексы можно определить, рассмотрев, какие количества являются ковекторами или контравекторами, а также соответствующими правилами преобразования.

Точно такие же правила преобразования применяются к любому вектору a , а не только к вектору позиции. Если его компоненты a _i не преобразуются по правилам, a не является вектором.

Несмотря на сходство между приведенными выше выражениями, для изменения координат, таких как x ^j = L _i ^j x ⁱ , и действия тензора на вектор, например b _i = T _ij a _j , L не тензор, а T является. При изменении координат L представляет собой матрицу , используемую для связи двух прямоугольных систем координат с ортонормированными основаниями. Для тензора, связывающего вектор с вектором, векторы и тензоры во всем уравнении принадлежат одной и той же системе координат и базису.

Производные и матричные элементы Якоби [ править ]

Записи L являются частными производными новых или старых координат по старым или новым координатам соответственно.

Дифференцируя x _i по x _k :

${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {x}}_{i}}{\partial x_{k}}}={\frac {\partial }{\partial x_{k}}}(x_{j}{\mathsf {L}}_{ji})={\mathsf {L}}_{ji}{\frac {\partial x_{j}}{\partial x_{k}}}=\delta _{kj}{\mathsf {L}}_{ji}={\mathsf {L}}_{ki}}$

так

${\displaystyle {\mathsf {L}}_{i}{}^{j}\equiv {\mathsf {L}}_{ij}={\frac {\partial {\bar {x}}_{j}}{\partial x_{i}}}}$

является элементом матрицы Якоби . Существует (частично мнемоническое) соответствие между позициями индексов, прикрепленных к L и в частной производной: i вверху и j внизу, в каждом случае, хотя для декартовых тензоров индексы могут быть понижены.

И наоборот, дифференцируя x _j по x _i :

${\displaystyle {\frac {\partial x_{j}}{\partial {\bar {x}}_{k}}}={\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}_{k}}}({\bar {x}}_{i}({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{ij})={\frac {\partial {\bar {x}}_{i}}{\partial {\bar {x}}_{k}}}({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{ij}=\delta _{ki}({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{ij}=({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{kj}}$

так

${\displaystyle ({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{i}{}^{j}\equiv ({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{ij}={\frac {\partial x_{j}}{\partial {\bar {x}}_{i}}}}$

является элементом обратной матрицы Якоби с аналогичным индексным соответствием.

Во многих источниках преобразования формулируются в терминах частных производных:

а явные матричные уравнения в 3d следующие:

${\displaystyle {\bar {\mathbf {x} }}={\boldsymbol {\mathsf {L}}}\mathbf {x} }$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\bar {x}}_{1}\\{\bar {x}}_{2}\\{\bar {x}}_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial {\bar {x}}_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{1}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{1}}{\partial x_{3}}}\\{\frac {\partial {\bar {x}}_{2}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{2}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{2}}{\partial x_{3}}}\\{\frac {\partial {\bar {x}}_{3}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{3}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{3}}{\partial x_{3}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}}$

аналогично для

${\displaystyle \mathbf {x} ={\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}{\bar {\mathbf {x} }}={\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{\mathrm {T} }{\bar {\mathbf {x} }}}$

Проекции по координатным осям [ править ]

Как и во всех линейных преобразованиях, L зависит от выбранного базиса. Для двух ортонормированных баз

${\displaystyle {\bar {\mathbf {e} }}_{i}\cdot {\bar {\mathbf {e} }}_{j}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij}\,,\quad \left|\mathbf {e} _{i}\right|=\left|{\bar {\mathbf {e} }}_{i}\right|=1\,,}$

• проецирование x на оси x :${\displaystyle {\bar {x}}_{i}={\bar {\mathbf {e} }}_{i}\cdot \mathbf {x} ={\bar {\mathbf {e} }}_{i}\cdot x_{j}\mathbf {e} _{j}=x_{i}{\mathsf {L}}_{ij}\,,}$
• проецирование x на оси x :${\displaystyle x_{i}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {x} =\mathbf {e} _{i}\cdot {\bar {x}}_{j}{\bar {\mathbf {e} }}_{j}={\bar {x}}_{j}({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{ji}\,.}$

Следовательно, компоненты сводятся к направляющим косинусам между осями x _i и x _j :

${\displaystyle {\mathsf {L}}_{ij}={\bar {\mathbf {e} }}_{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\cos \theta _{ij}}$

${\displaystyle ({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{ij}=\mathbf {e} _{i}\cdot {\bar {\mathbf {e} }}_{j}=\cos \theta _{ji}}$

где θ _ij и θ _ji - углы между осями x _i и x _j . В общем, θ _ij не равно θ _ji , потому что, например, θ ₁₂ и θ ₂₁ - это два разных угла.

Преобразование координат можно записать:

а явные матричные уравнения в 3d следующие:

${\displaystyle {\bar {\mathbf {x} }}={\boldsymbol {\mathsf {L}}}\mathbf {x} }$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\bar {x}}_{1}\\{\bar {x}}_{2}\\{\bar {x}}_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\bar {\mathbf {e} }}_{1}\cdot \mathbf {e} _{1}&{\bar {\mathbf {e} }}_{1}\cdot \mathbf {e} _{2}&{\bar {\mathbf {e} }}_{1}\cdot \mathbf {e} _{3}\\{\bar {\mathbf {e} }}_{2}\cdot \mathbf {e} _{1}&{\bar {\mathbf {e} }}_{2}\cdot \mathbf {e} _{2}&{\bar {\mathbf {e} }}_{2}\cdot \mathbf {e} _{3}\\{\bar {\mathbf {e} }}_{3}\cdot \mathbf {e} _{1}&{\bar {\mathbf {e} }}_{3}\cdot \mathbf {e} _{2}&{\bar {\mathbf {e} }}_{3}\cdot \mathbf {e} _{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta _{11}&\cos \theta _{12}&\cos \theta _{13}\\\cos \theta _{21}&\cos \theta _{22}&\cos \theta _{23}\\\cos \theta _{31}&\cos \theta _{32}&\cos \theta _{33}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}}$

аналогично для

${\displaystyle \mathbf {x} ={\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}{\bar {\mathbf {x} }}={\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{\mathrm {T} }{\bar {\mathbf {x} }}}$

Геометрическая интерпретация является х _I компоненты равны сумме проецирования х _J компонентов на е _J осей.

Числа e _i ⋅ e _j, упорядоченные в матрицу, будут образовывать симметричную матрицу (матрицу, равную собственному транспонированию) из-за симметрии скалярных произведений, фактически это метрический тензор g . В отличие от этого е _я ⋅ е _J или е _я ⋅ е _J действительно не образуют симметричные матрицы в общем случае , как показано выше. Следовательно, хотя L- матрицы все еще ортогональны, они не симметричны.

За исключением вращения вокруг любой одной оси, в которой x _i и x _i для некоторого i совпадают, углы не совпадают с углами Эйлера , и поэтому матрицы L не совпадают с матрицами вращения .

Преобразование точечных и перекрестных произведений (только в трех измерениях) [ править ]

Скалярное и векторное произведение происходят очень часто, в приложениях векторного анализа в физике и технике, примеры включают в себя:

• мощность, передаваемая P объектом, действующим по прямой линии с силой F со скоростью v :

${\displaystyle P=\mathbf {v} \cdot \mathbf {F} }$

• касательная скорость v в точке x вращающегося твердого тела с угловой скоростью ω :

${\displaystyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {x} }$

• потенциальная энергия U из магнитного диполя от магнитного момента м в однородном внешнем магнитном поле B :

${\displaystyle U=-\mathbf {m} \cdot \mathbf {B} }$

• угловой момент J для частицы с вектором положения r и импульсом p :

${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$

• момент τ, действующий на электрический диполь с электрическим дипольным моментом p в однородном внешнем электрическом поле E :

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {p} \times \mathbf {E} }$

• наведенная плотность поверхностного тока j _S в магнитном материале намагниченности M на поверхности с единичной нормалью n :

${\displaystyle \mathbf {j} _{\mathrm {S} }=\mathbf {M} \times \mathbf {n} }$

Как эти продукты трансформируются при ортогональных преобразованиях, показано ниже.

Точечное произведение, дельта Кронекера и метрический тензор [ править ]

Скалярное произведение ⋅ каждого возможного сопряжения базисных векторов из базиса бытия ортонормированного. Для перпендикулярных пар имеем

${\displaystyle {\begin{array}{cccc}\mathbf {e} _{\text{x}}\cdot \mathbf {e} _{\text{y}}&=\mathbf {e} _{\text{y}}\cdot \mathbf {e} _{\text{z}}&=\mathbf {e} _{\text{z}}\cdot \mathbf {e} _{\text{x}}\\\mathbf {e} _{\text{y}}\cdot \mathbf {e} _{\text{x}}&=\mathbf {e} _{\text{z}}\cdot \mathbf {e} _{\text{y}}&=\mathbf {e} _{\text{x}}\cdot \mathbf {e} _{\text{z}}&=0\end{array}}}$

в то время как для параллельных пар мы имеем

${\displaystyle \mathbf {e} _{\text{x}}\cdot \mathbf {e} _{\text{x}}=\mathbf {e} _{\text{y}}\cdot \mathbf {e} _{\text{y}}=\mathbf {e} _{\text{z}}\cdot \mathbf {e} _{\text{z}}=1.}$

Заменив декартовы метки индексной нотацией, как показано выше , эти результаты можно резюмировать следующим образом:

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij}}$

где δ _ij - компоненты символа Кронекера . Таким образом, можно использовать декартово основание для представления δ .

Кроме того, каждая компонента метрического тензора g _ij относительно любого базиса является скалярным произведением пары базисных векторов:

${\displaystyle g_{ij}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}.}$

Для декартового базиса компоненты, организованные в матрицу, следующие:

${\displaystyle \mathbf {g} ={\begin{pmatrix}g_{\text{xx}}&g_{\text{xy}}&g_{\text{xz}}\\g_{\text{yx}}&g_{\text{yy}}&g_{\text{yz}}\\g_{\text{zx}}&g_{\text{zy}}&g_{\text{zz}}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{\text{x}}\cdot \mathbf {e} _{\text{x}}&\mathbf {e} _{\text{x}}\cdot \mathbf {e} _{\text{y}}&\mathbf {e} _{\text{x}}\cdot \mathbf {e} _{\text{z}}\\\mathbf {e} _{\text{y}}\cdot \mathbf {e} _{\text{x}}&\mathbf {e} _{\text{y}}\cdot \mathbf {e} _{\text{y}}&\mathbf {e} _{\text{y}}\cdot \mathbf {e} _{\text{z}}\\\mathbf {e} _{\text{z}}\cdot \mathbf {e} _{\text{x}}&\mathbf {e} _{\text{z}}\cdot \mathbf {e} _{\text{y}}&\mathbf {e} _{\text{z}}\cdot \mathbf {e} _{\text{z}}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

так что для метрического тензора являются простейшими из возможных, а именно δ :

${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}}$

Это не верно для общих оснований: ортогональные координаты имеют диагональные метрики , содержащие различные масштабные коэффициенты (т.е. не обязательно 1), в то время как общие координаты криволинейных также могут иметь ненулевые элементы для недиагональных компонентов.

Скалярное произведение двух векторов a и b преобразуется в соответствии с

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ={\bar {a}}_{j}{\bar {b}}_{j}=a_{i}{\mathsf {L}}_{ij}b_{k}({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{jk}=a_{i}\delta _{i}{}_{k}b_{k}=a_{i}b_{i}}$

что интуитивно понятно, поскольку скалярное произведение двух векторов представляет собой один скаляр, не зависящий от каких-либо координат. Это также применимо в более общем случае к любым системам координат, а не только к прямоугольным; скалярное произведение в одной системе координат одинаково в любой другой.

Крест и произведение, символ Леви-Чивиты и псевдовекторы [ править ]

Для векторного произведения × двух векторов результаты (почти) обратные. Опять же, предполагая правую трехмерную декартову систему координат, циклические перестановки в перпендикулярных направлениях дают следующий вектор в циклическом наборе векторов:

${\displaystyle \mathbf {e} _{\text{x}}\times \mathbf {e} _{\text{y}}=\mathbf {e} _{\text{z}}\,\quad \mathbf {e} _{\text{y}}\times \mathbf {e} _{\text{z}}=\mathbf {e} _{\text{x}}\,\quad \mathbf {e} _{\text{z}}\times \mathbf {e} _{\text{x}}=\mathbf {e} _{\text{y}}}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{\text{y}}\times \mathbf {e} _{\text{x}}=-\mathbf {e} _{\text{z}}\,\quad \mathbf {e} _{\text{z}}\times \mathbf {e} _{\text{y}}=-\mathbf {e} _{\text{x}}\,\quad \mathbf {e} _{\text{x}}\times \mathbf {e} _{\text{z}}=-\mathbf {e} _{\text{y}}}$

в то время как параллельные векторы явно исчезают:

${\displaystyle \mathbf {e} _{\text{x}}\times \mathbf {e} _{\text{x}}=\mathbf {e} _{\text{y}}\times \mathbf {e} _{\text{y}}=\mathbf {e} _{\text{z}}\times \mathbf {e} _{\text{z}}={\boldsymbol {0}}}$

и заменяя декартовы метки индексной нотацией, как указано выше , их можно резюмировать следующим образом:

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{j}=\left[{\begin{array}{cc}+\mathbf {e} _{k}&{\text{cyclic permutations: }}(i,j,k)=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)\\-\mathbf {e} _{k}&{\text{anticyclic permutations: }}(i,j,k)=(2,1,3),(3,2,1),(1,3,2)\\{\boldsymbol {0}}&i=j\end{array}}\right.}$

где i , j , k - индексы, принимающие значения 1, 2, 3. Отсюда следует, что:

${\displaystyle {\mathbf {e} _{k}\cdot \mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{j}}=\left[{\begin{array}{cc}+1&{\text{cyclic permutations: }}(i,j,k)=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)\\-1&{\text{anticyclic permutations: }}(i,j,k)=(2,1,3),(3,2,1),(1,3,2)\\0&i=j{\text{ or }}j=k{\text{ or }}k=i\end{array}}\right.}$

Эти перестановочные отношения и их соответствующие значения важны, и есть объект, совпадающий с этим свойством: символ Леви-Чивита , обозначаемый ε . Записи символов Леви-Чивиты могут быть представлены декартовым основанием:

${\displaystyle \varepsilon _{ijk}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}\times \mathbf {e} _{k}}$

который геометрический соответствует объему в виде куба , порожденный ортонормированными базисных векторами, причем знак , указывающей ориентация (а не «положительный или отрицательный объем»). Здесь ориентация фиксируется значением ε ₁₂₃ = +1 для правой системы. Левая система зафиксировала бы ε ₁₂₃ = −1 или, что эквивалентно, ε ₃₂₁ = +1.

Скалярное тройное произведение теперь может быть записано:

${\displaystyle \mathbf {c} \cdot \mathbf {a} \times \mathbf {b} =c_{i}\mathbf {e} _{i}\cdot a_{j}\mathbf {e} _{j}\times b_{k}\mathbf {e} _{k}=\varepsilon _{ijk}c_{i}a_{j}b_{k}}$

с геометрической интерпретацией объема ( параллелепипеда, натянутого на точки a , b , c ) и алгебраически является определителем : ^[3]

${\displaystyle \mathbf {c} \cdot \mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}c_{\text{x}}&a_{\text{x}}&b_{\text{x}}\\c_{\text{y}}&a_{\text{y}}&b_{\text{y}}\\c_{\text{z}}&a_{\text{z}}&b_{\text{z}}\end{vmatrix}}}$

Это, в свою очередь, можно использовать, чтобы переписать произведение двух векторов следующим образом:

${\displaystyle {\begin{array}{ll}&(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )_{i}={\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {a} \times \mathbf {b} }=\varepsilon _{\ell jk}{(\mathbf {e} _{i})}_{\ell }a_{j}b_{k}=\varepsilon _{\ell jk}\delta _{i\ell }a_{j}b_{k}=\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}\\\Rightarrow &{\mathbf {a} \times \mathbf {b} }=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )_{i}\mathbf {e} _{i}=\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}\mathbf {e} _{i}\end{array}}}$

В отличие от своего внешнего вида, символ Леви-Чивиты является не тензором , а псевдотензором , компоненты которого преобразуются в соответствии с:

${\displaystyle {\bar {\varepsilon }}_{pqr}=\det({\boldsymbol {\mathsf {L}}})\varepsilon _{ijk}{\mathsf {L}}_{ip}{\mathsf {L}}_{jq}{\mathsf {L}}_{kr}\,.}$

Следовательно, преобразование перекрестного произведения a и b :

${\displaystyle {\begin{aligned}({\bar {\mathbf {a} }}\times {\bar {\mathbf {b} }})_{i}&={\bar {\varepsilon }}_{ijk}{\bar {a}}_{j}{\bar {b}}_{k}\\&=\det({\boldsymbol {\mathsf {L}}})\;\;\varepsilon _{pqr}{\mathsf {L}}_{pi}{\mathsf {L}}_{qj}{\mathsf {L}}_{rk}\;\;a_{m}{\mathsf {L}}_{mj}\;\;b_{n}{\mathsf {L}}_{nk}\\&=\det({\boldsymbol {\mathsf {L}}})\;\;\varepsilon _{pqr}\;\;{\mathsf {L}}_{pi}\;\;{\mathsf {L}}_{qj}({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{jm}\;\;{\mathsf {L}}_{rk}({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{kn}\;\;a_{m}\;\;b_{n}\\&=\det({\boldsymbol {\mathsf {L}}})\;\;\varepsilon _{pqr}\;\;{\mathsf {L}}_{pi}\;\;\delta _{qm}\;\;\delta _{rn}\;\;a_{m}\;\;b_{n}\\&=\det({\boldsymbol {\mathsf {L}}})\;\;{\mathsf {L}}_{pi}\;\;\varepsilon _{pqr}a_{q}b_{r}\\&=\det({\boldsymbol {\mathsf {L}}})\;\;(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )_{p}{\mathsf {L}}_{pi}\end{aligned}}}$

и поэтому a × b преобразуется как псевдовектор из-за определяющего фактора.

Индекс тензорного обозначение относится к любому объекту , который имеет объекты , которые образуют многомерные массивы - не все с индексами является тензором по умолчанию. Вместо этого тензоры определяются тем, как их координаты и базисные элементы изменяются при преобразовании из одной системы координат в другую.

Обратите внимание: произведение двух векторов является псевдовектором, а произведение псевдовектора на вектор - другим вектором.

Приложения тензора δ и псевдотензора ε [ править ]

Другие тождества могут быть сформированы из тензора δ и псевдотензора ε , примечательным и очень полезным тождеством является такое, которое преобразует два символа Леви-Чивиты, смежно сжатых по двум индексам, в антисимметричную комбинацию дельт Кронекера:

${\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon _{pqk}=\delta _{ip}\delta _{jq}-\delta _{iq}\delta _{jp}}$

Формы индексов точечных и перекрестных произведений вместе с этим тождеством значительно облегчают манипулирование и вывод других тождеств в векторном исчислении и алгебре, которые, в свою очередь, широко используются в физике и технике. Например, ясно, что скалярное произведение и кросс-произведение являются распределительными по сравнению с векторным сложением:

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=a_{i}(b_{i}+c_{i})=a_{i}b_{i}+a_{i}c_{i}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} }$

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {e} _{i}\varepsilon _{ijk}a_{j}(b_{k}+c_{k})=\mathbf {e} _{i}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}+\mathbf {e} _{i}\varepsilon _{ijk}a_{j}c_{k}=\mathbf {a} \times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times \mathbf {c} }$

не прибегая к каким-либо геометрическим построениям - вывод в каждом случае представляет собой быструю строку алгебры. Хотя процедура менее очевидна, также можно вывести тройное векторное произведение. Переписывание в индексной нотации:

${\displaystyle \left[\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right]_{i}=\varepsilon _{ijk}a_{j}(\varepsilon _{k\ell m}b_{\ell }c_{m})=(\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{k\ell m})a_{j}b_{\ell }c_{m}}$

и поскольку циклическая перестановка индексов в символе ε не меняет его значения, циклическая перестановка индексов в ε _kℓm для получения ε _ℓmk позволяет нам использовать указанное выше тождество δ - ε для преобразования символов ε в тензоры δ :

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right]_{i}&=(\delta _{i\ell }\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{j\ell })a_{j}b_{\ell }c_{m}\\&=\delta _{i\ell }\delta _{jm}a_{j}b_{\ell }c_{m}-\delta _{im}\delta _{j\ell }a_{j}b_{\ell }c_{m}\\&=a_{j}b_{i}c_{j}-a_{j}b_{j}c_{i}\\\end{aligned}}}$

таким образом:

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} }$

Обратите внимание, что это антисимметрично по b и c , как и ожидалось слева. Точно так же через индексную нотацию или даже просто циклически меняя метки a , b и c в предыдущем результате и принимая отрицательное значение:

${\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {b} -(\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} }$

и разница в результатах показывает, что перекрестное произведение не ассоциативно. Более сложные идентичности, например, учетверенные продукты;

${\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} ),\quad (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {c} \times \mathbf {d} ),\ldots }$

и так далее, могут быть получены аналогичным образом.

Преобразования декартовых тензоров (любое количество измерений) [ править ]

Тензоры определяются как величины, которые определенным образом преобразуются при линейных преобразованиях координат.

Второй порядок [ править ]

Пусть a = a _i e _i и b = b _i e _i - два вектора, так что они преобразуются согласно a _j = a _i L _{i j} , b _j = b _i L _{i j} .

Тензорное произведение дает:

${\displaystyle \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} =a_{i}\mathbf {e} _{i}\otimes b_{j}\mathbf {e} _{j}=a_{i}b_{j}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}}$

затем применяя преобразование к компонентам

${\displaystyle {\bar {a}}_{p}{\bar {b}}_{q}=a_{i}{\mathsf {L}}_{i}{}_{p}b_{j}{\mathsf {L}}_{j}{}_{q}={\mathsf {L}}_{i}{}_{p}{\mathsf {L}}_{j}{}_{q}a_{i}b_{j}}$

и к базам

${\displaystyle {\bar {\mathbf {e} }}_{p}\otimes {\bar {\mathbf {e} }}_{q}=({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{pi}\mathbf {e} _{i}\otimes ({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{qj}\mathbf {e} _{j}=({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{pi}({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{qj}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}={\mathsf {L}}_{ip}{\mathsf {L}}_{jq}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}}$

дает закон преобразования тензора второго порядка. Тензор a ⊗ b инвариантен относительно этого преобразования:

${\displaystyle {\begin{array}{cl}{\bar {a}}_{p}{\bar {b}}_{q}{\bar {\mathbf {e} }}_{p}\otimes {\bar {\mathbf {e} }}_{q}&={\mathsf {L}}_{kp}{\mathsf {L}}_{\ell q}a_{k}b_{\ell }\,({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{pi}({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{qj}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\\&={\mathsf {L}}_{kp}({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{pi}{\mathsf {L}}_{\ell q}({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{qj}\,a_{k}b_{\ell }\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\\&=\delta _{k}{}_{i}\delta _{\ell j}\,a_{k}b_{\ell }\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\\&=a_{i}b_{j}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\end{array}}}$