В математике , то дискретные внешнее исчисление ( декабрь ) является продолжением внешнего исчисления в дискретные пространства , включая граф и конечные элементы сетку. Методы DEC оказались очень мощными в улучшении и анализе методов конечных элементов: например, методы на основе DEC позволяют использовать сильно неоднородные сетки для получения точных результатов. Неоднородные сетки имеют преимущество, потому что они позволяют использовать большие элементы там, где процесс моделирования относительно прост, в отличие от высокого разрешения, когда процесс может быть сложным (например, рядом с препятствием для потока жидкости), при использовании меньшая вычислительная мощность, чем при использовании равномерно мелкой сетки.
Дискретная внешняя производная
Стокса теорема связывает интеграл от с дифференциала ( п - 1) -форма omega ; над границей ∂ M из с п - мерное многообразием М интеграла д со (с внешней производной от со , и дифференциальным п -форма на М ) над самой M :
Можно думать о дифференциальных k -формах как о линейных операторах, которые действуют на k -мерные «биты» пространства, и в этом случае можно было бы предпочесть использовать обозначение на скобках для двойного спаривания. В этих обозначениях теорема Стокса читается как
При анализе метода конечных элементов, первый этап часто является приближение к области интереса с помощью триангуляции , T . Например, кривая может быть аппроксимирована как объединение отрезков прямых линий; поверхность будет аппроксимирована объединением треугольников, ребра которых представляют собой отрезки прямых линий, которые сами заканчиваются точками. Топологи назвали бы такую конструкцию симплициальным комплексом . Граничный оператор на этом триангуляционном / симплициальном комплексе T определяется обычным образом: например, если L является направленным отрезком прямой от одной точки a до другой b , то граница ∂ L комплекса L является формальной разностью b - а .
К -форма на Т представляет собой линейный оператор , действующий на K - мерных подкомплексах Т ; например, 0-форма присваивает значения точкам и линейно распространяется на линейные комбинации точек; 1-форма присваивает значения линейным сегментам аналогичным образом линейным способом. Если ω является к -форме на Т , то дискретный внешний производная д ω из ш является единственным ( к -форме + 1) определяется так , что Стокса теорема:
Для каждого ( к + 1) -мерном подкомплекс Т , S . Также могут быть определены другие концепции, такие как дискретное произведение клина и дискретная звезда Ходжа .
Смотрите также
Рекомендации
- Дискретное исчисление , Грэди, Лео Дж., Полимени, Джонатан Р., 2010 г.
- Диссертация Хирани по дискретному внешнему исчислению
- Сходимость дискретных аппроксимаций внешнего исчисления для задач Пуассона , Э. Шульц и Г. Цогтгерель, Диск. Комп. Гео. 63 (2), 346 - 376, 2020 г.
- О геометрической дискретизации упругости , Араш Явари, J. Math. Phys. 49, 022901 (2008), DOI: 10.1063 / 1.2830977
- Дискретная дифференциальная геометрия: прикладное введение , Кинан Крейн, 2018 г.