Дискретное исчисление

Дискретное исчисление или исчисление дискретных функций - это математическое исследование постепенных изменений, точно так же, как геометрия изучает форму, а алгебра изучает обобщения арифметических операций . Слово « исчисление» - это латинское слово, первоначально означающее «камешек»; Поскольку такие камешки использовались для расчетов, значение этого слова изменилось и сегодня обычно означает метод расчета. Между тем, исчисление , первоначально называвшееся исчислением бесконечно малых или «исчислением бесконечно малых », является исследованиемпостоянное изменение.

Дискретное исчисление имеет две точки входа: дифференциальное исчисление и интегральное исчисление. Дифференциальное исчисление касается возрастающих темпов изменения и наклонов кусочно-линейных кривых. Интегральное исчисление касается накопления величин и площадей под кусочно-постоянными кривыми. Эти две точки зрения связаны друг с другом основной теоремой дискретного исчисления.

Изучение концепций изменения начинается с их дискретной формы. Развитие зависит от параметра, приращения независимой переменной. Если мы захотим, мы можем делать приращение все меньше и меньше и находить непрерывные аналоги этих концепций в качестве пределов . Неформально, предел дискретного исчисления, как исчисление бесконечно малых. Несмотря на то, что он служит дискретной основой исчисления, основная ценность дискретного исчисления заключается в приложениях.${\ displaystyle \ Delta x}$${\ displaystyle \ Delta x \ to 0}$

Две исходные конструкции [ править ]

Дискретное дифференциальное исчисление - это изучение определения, свойств и приложений разностного отношения функции. Процесс нахождения коэффициента разности называется дифференцированием . Для данной функции, определенной в нескольких точках реальной линии, коэффициент разности в этой точке является способом кодирования мелкомасштабного (т. Е. От точки к следующей) поведения функции. Находя коэффициент разности функции в каждой паре последовательных точек в ее области определения, можно создать новую функцию, называемую функцией коэффициента разности или просто коэффициентом разности исходной функции. Формально разностный фактор представляет собой линейный операторкоторый принимает функцию на входе и производит вторую функцию на выходе. Это более абстрактно, чем многие процессы, изучаемые в элементарной алгебре, где функции обычно вводят число и выводят другое число. Например, если функции удвоения дан вход три, то она выдает шесть, а если функция возведения в квадрат - вход три, то она выдает девять. Однако производная может принимать функцию возведения в квадрат в качестве входных данных. Это означает, что производная принимает всю информацию функции возведения в квадрат, например, что два отправляются на четыре, три отправляются на девять, четыре отправляются на шестнадцать и так далее, и использует эту информацию для создания другой функции. Функция, полученная путем дифференцирования функции возведения в квадрат, оказывается чем-то близким к функции удвоения.

Предположим, что функции определены в точках, разделенных приращением :${\ displaystyle \ Delta x = h> 0}$

${\ displaystyle a, a + h, a + 2h, \ ldots, a + nh, \ ldots}$

«Функция удвоения» может быть обозначена, а «функция возведения в квадрат» - . «Коэффициент разности» - это скорость изменения функции на одном из интервалов, определяемых формулой:${\ Displaystyle г (х) = 2х}$${\ Displaystyle е (х) = х ^ {2}}$${\ Displaystyle [х, х + ч]}$

${\ displaystyle {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}}.}$

Он принимает функцию в качестве входных данных, то есть всю информацию - например, что два отправляются на четыре, три отправляются на девять, четыре отправляются на шестнадцать и т. Д. - и использует эту информацию для вывода другой функции, функции , как получится. Для удобства новую функцию можно определить в средних точках указанных выше интервалов:${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g (x) = 2x + h}$

${\ displaystyle a + h / 2, a + h + h / 2, a + 2h + h / 2, ..., a + nh + h / 2, ...}$

По мере того как скорость изменения является то , что в течение всего интервала , любая точка в нем может быть использована в качестве такой ссылки или, что еще лучше, весь интервала , который делает различие фактора - коцепной .${\ Displaystyle [х, х + ч]}$${\ displaystyle 1}$

Наиболее распространенное обозначение коэффициента разности:

${\ displaystyle {\ frac {\ Delta f} {\ Delta x}} (x + h / 2) = {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}}.}$

Если входные данные функции представляют время, то коэффициент разницы представляет изменение относительно времени. Например, если это функция, которая принимает время в качестве входных данных и выдает положение мяча в это время в качестве выходных данных, то коэффициент разницы - это то, как позиция изменяется во времени, то есть скорость мяча. .${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$

Если функция является линейной (то есть, если точки графика функции лежат на прямой), то функция может быть записана как , где - независимая переменная, - зависимая переменная, - перехват и :${\ displaystyle y = mx + b}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle m = {\ frac {\ text {rise}} {\ text {run}}} = {\ frac {{\ text {change in}} y} {{\ text {change in}} x}} = {\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}}.}$

Это дает точное значение наклона прямой.

Склон: ${\displaystyle m=\left({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\right)=\tan(\theta )}$

Однако, если функция не является линейной, то изменение, деленное на изменение, варьируется. Коэффициент разницы дает точное значение понятию изменения выпуска по отношению к изменению на входе. Чтобы быть конкретным, позвольте быть функцией и зафиксируйте точку в области определения . точка на графике функции. Если - приращение , то это следующее значение . Следовательно, это приращение . Наклон линии между этими двумя точками равен${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle (x,f(x))}$${\displaystyle h}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x+h}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (x+h,f(x+h))}$${\displaystyle (x,f(x))}$

${\displaystyle m={\frac {f(x+h)-f(x)}{(x+h)-a}}={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.}$

Таков наклон линии между и . ${\displaystyle m}$${\displaystyle (x,f(x))}$${\displaystyle (x+h,f(x+h))}$

Вот частный пример, разностное отношение функции возведения в квадрат. Позвольте быть функции возведения в квадрат. Потом:${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\Delta f}{\Delta x}}(x)&={(x+h)^{2}-x^{2} \over {h}}\\&={x^{2}+2hx+h^{2}-x^{2} \over {h}}\\&={2hx+h^{2} \over {h}}\\&=2x+h.\end{aligned}}}$

Частное разности разностного фактора называется вторым разностным частным и определяется в

${\displaystyle a+h,a+2h,a+3h,\ldots ,a+nh,\ldots }$

И так далее.

Дискретное интегральное исчисление - это изучение определений, свойств и приложений сумм Римана . Процесс определения суммы называется интегрированием . Говоря техническим языком, интегральное исчисление изучает некоторый линейный оператор .

Сумма Римана вводит функцию и выводит функцию, которая дает алгебраическую сумму площадей между частью графика ввода и осью x .

Примером мотивации являются расстояния, пройденные за данный момент.

${\displaystyle {\text{distance}}={\text{speed}}\cdot {\text{time}}}$

Если скорость постоянна, требуется только умножение, но если скорость изменяется, мы оцениваем пройденное расстояние, разбивая время на множество коротких интервалов времени, а затем умножая время, прошедшее в каждом интервале, на одну из скоростей в этом интервале. , а затем вычисление суммы (суммы Римана ) расстояния, пройденного за каждый интервал.

Постоянная скорость

Сумма Римана измеряет общую площадь полос, определяемую между двумя точками (здесь и ).${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

Когда скорость постоянна, общее расстояние, пройденное за заданный интервал времени, можно вычислить, умножив скорость на время. Например, если вы едете со скоростью 50 миль в час в течение 3 часов, то общее расстояние составит 150 миль. На диаграмме слева, когда изображены постоянная скорость и время, эти два значения образуют прямоугольник с высотой, равной скорости, и шириной, равной истекшему времени. Следовательно, произведение скорости и времени также вычисляет прямоугольную область под (постоянной) кривой скорости. Эта связь между площадью под кривой и пройденным расстоянием может быть расширена до любогообласть неправильной формы, демонстрирующая постепенно изменяющуюся скорость в течение заданного периода времени. Если столбцы на диаграмме справа представляют скорость, изменяющуюся от интервала к следующему, пройденное расстояние (между моментами времени, обозначенными и ) является площадью заштрихованной области .${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle s}$

Таким образом, интервал между и делится на ряд равных сегментов, длина каждого сегмента представлена ​​символом . Для каждого небольшого сегмента у нас есть одно значение функции . Назовите это значение . Затем площадь прямоугольника с основанием и высотой дает расстояние (время, умноженное на скорость ), пройденное в этом сегменте. С каждым сегментом связано значение функции над ним ,. Сумма всех таких прямоугольников дает площадь между осью и кусочно-постоянной кривой, которая представляет собой общее пройденное расстояние. ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle v}$${\displaystyle f(x)=v}$

Предположим, что функция определена в середине интервалов равной длины :${\displaystyle \Delta x=h>0}$

${\displaystyle a+h/2,a+h+h/2,a+2h+h/2,\ldots ,a+nh-h/2,\ldots }$

Тогда сумма Римана от до в сигма-записи равна:${\displaystyle a}$${\displaystyle b=a+nh}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(a+ih)\,\Delta x.}$

Поскольку это вычисление выполняется для каждого , новая функция определяется в точках:${\displaystyle n}$

${\displaystyle a,a+h,a+2h,\ldots ,a+nh,\ldots }$

Фундаментальная теорема исчисления утверждает , что дифференцирование и интегрирование являются обратными операциями. Точнее, он связывает разностные коэффициенты с суммами Римана. Это также может быть истолковано как точное утверждение того факта, что дифференцирование является обратным интегрированию.

Фундаментальная теорема исчисления: Если функция определена на разбиении интервала , и если это функция, разница частное , то мы имеем:${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle b=a+nh}$${\displaystyle F}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}f(a+ih+h/2)\,\Delta x=F(b)-F(a).}$

Кроме того, для каждого мы имеем:${\textstyle m=0,1,2,\ldots ,n-1}$

${\displaystyle {\frac {\Delta }{\Delta x}}\sum _{i=0}^{m}f(a+ih+h/2)\,\Delta x=f(a+mh+h/2).}$

Это также прототип решения разностного уравнения . Уравнения разности связывают неизвестную функцию с ее разностью или разностным коэффициентом и повсеместно используются в науках.

История [ править ]

Ранняя история дискретного исчисления - это история исчисления . Такие основные идеи, как разностные коэффициенты и суммы Римана, неявно или явно появляются в определениях и доказательствах. Однако после того, как лимит исчерпан, их больше никогда не увидят. Однако закон напряжения Кирхгофа (1847) может быть выражен через одномерную дискретную внешнюю производную.

В течение 20 века дискретное исчисление остается взаимосвязанным с исчислением бесконечно малых, особенно с дифференциальными формами, но также начинает опираться на алгебраическую топологию по мере развития обоих. Основные взносы поступают от следующих лиц: ^[1]

• Анри Пуанкаре : триангуляции ( барицентрическое подразделение , двойственная триангуляция ), лемма Пуанкаре , первое доказательство общей теоремы Стокса и многое другое
• LEJ Brouwer : симплициальная аппроксимационная теорема
• Эли Картан , Жорж де Рам : понятие дифференциальной формы, внешняя производная как координатно-независимый линейный оператор , точность / замкнутость форм
• Эмми Нётер , Хопф , Фиторис , Вальтер Майер : модули из цепей , то граничный оператор , цепные комплексы
• Дж. В. Александр , Соломон Лефшец , Лев Понтрягин , Андрей Колмогоров , Норман Стинрод , Эдуард Чех : ранние понятия коцепи
• Герман Вейль : законы Кирхгофа, сформулированные в терминах граничных и кограничных операторов
• Ходжи : оператор Ходжи звезды , то разложение Ходжи
• Сэмюэл Эйленберг , Сондерс Мак Лейн , Норман Стинрод , Дж. Х. К. Уайтхед : тщательное развитие теории гомологии и когомологии, включая цепные и коцепные комплексы, чашечный продукт
• Хасслер-Уитни : коцепи как интегранты

Недавнее развитие дискретного исчисления, начиная с Уитни, было обусловлено потребностями прикладного моделирования . ^{[2] [3] [4]}

Приложения [ править ]

Дискретное исчисление используется для моделирования прямо или косвенно как дискретизация исчисления бесконечно малых в каждой отрасли физических наук, актуарной науки , информатики , статистики , инженерии , экономики , бизнеса , медицины , демографии и в других областях, где может возникнуть проблема. быть математически смоделированным . Это позволяет перейти от (непостоянной) скорости изменения к полному изменению или наоборот, и много раз, изучая проблему, мы знаем одну и пытаемся найти другую.

Физика особенно использует исчисление; все дискретные концепции в классической механике и электромагнетизме связаны посредством дискретного исчисления. Масса объекта известной плотности , которая изменяется постепенно, в момент инерции таких объектов, а также полной энергии объекта в пределах дискретного консервативного поля может быть найдена с использованием дискретного исчисления. Примером использования дискретного исчисления в механике является второй закон движения Ньютона : исторически заявленный, он явно использует термин «изменение движения», который подразумевает разностное отношение, говорящееИзменение количества движения тела равно результирующей силе, действующей на тело, и происходит в том же направлении. Сегодня обычно выражается как Сила = Масса × Ускорение, он вызывает дискретное исчисление, когда изменение является инкрементным, потому что ускорение - это коэффициент разности скорости по отношению ко времени или второй коэффициент разности пространственного положения. Зная, как объект ускоряется, мы используем суммы Римана для определения его пути.

Теория Максвелла электромагнетизма и Эйнштейн теории «s в общей теории относительности была выражена на языке дискретного исчисления.

Химия использует расчет для определения скорости реакции и радиоактивного распада ( экспоненциального распада ).

В биологии популяционная динамика начинается с воспроизводства и смертности для моделирования популяционных изменений ( популяционное моделирование ).

В технике разностные уравнения используются для построения курса космического корабля в условиях невесомости, для моделирования теплопередачи , диффузии и распространения волн .

Дискретная теорема Грина применяется в инструменте, известном как планиметр , который используется для вычисления площади плоской поверхности на чертеже. Например, его можно использовать для расчета площади, занимаемой клумбой или бассейном неправильной формы, при проектировании планировки участка. Его можно использовать для эффективного вычисления суммы прямоугольных областей в изображениях, чтобы быстро извлекать особенности и обнаруживать объект; Другой алгоритм, который можно использовать, - это таблица суммированных площадей .

В области медицины исчисление можно использовать для определения оптимального угла разветвления кровеносного сосуда, чтобы максимизировать поток. Из законов распада для выведения конкретного лекарства из организма он используется для получения законов дозирования. В ядерной медицине он используется для построения моделей переноса излучения при таргетной терапии опухолей.

В экономике расчет позволяет определять максимальную прибыль путем расчета как предельных затрат, так и предельного дохода , а также моделирования рынков. ^[5]

Дискретное исчисление можно использовать вместе с другими математическими дисциплинами. Например, его можно использовать в теории вероятностей для определения вероятности дискретной случайной величины из предполагаемой функции плотности.

Исчисление разностей и сумм [ править ]

Предположим, функция ( -cochain) определена в точках, разделенных приращением :${\displaystyle 0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \Delta x=h>0}$

${\displaystyle a,a+h,a+2h,\ldots ,a+nh,\ldots }$

Разница (или внешняя производная , или оператор кограничный) функции определяется по формуле:

${\displaystyle {\big (}\Delta f{\big )}{\big (}[x,x+h]{\big )}=f(x+h)-f(x).}$

Он определяется в каждом из вышеуказанных интервалов; это -cochain.${\displaystyle 1}$

Предположим, что -cochain определен на каждом из указанных выше интервалов. Тогда его сумма представляет собой функцию ( -цепь), определяемую в каждой из точек следующим образом:${\displaystyle 1}$${\displaystyle g}$${\displaystyle 0}$

${\displaystyle \left(\sum g\right)(a+nh)=\sum _{i=1}^{n}g{\big (}[a+(i-1)h,a+ih]{\big )}.}$

Вот их свойства:

• Постоянное правило : если - константа , то${\displaystyle c}$

${\displaystyle \Delta c=0}$

• Линейность : еслии- константы ,${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle \Delta (af+bg)=a\,\Delta f+b\,\Delta g,\quad \sum (af+bg)=a\,\sum f+b\,\sum g}$

• Правило продукта :

${\displaystyle \Delta (fg)=f\,\Delta g+g\,\Delta f+\Delta f\,\Delta g}$

• Основная теорема исчисления I :

${\displaystyle \left(\sum \Delta f\right)(a+nh)=f(a+nh)-f(a)}$

• Основная теорема исчисления II :

${\displaystyle \Delta \left(\sum g\right)=g}$

Определения применяются к графам следующим образом. Если функция ( -cochain) определена в узлах графа:${\displaystyle 0}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle a,b,c,\ldots }$

тогда его внешняя производная (или дифференциал) - это разность, то есть следующая функция, определенная на ребрах графа ( -cochain):${\displaystyle 1}$

${\displaystyle \left(df\right){\big (}[a,b]{\big )}=f(b)-f(a).}$

Если - -cochain, то его интеграл по последовательности ребер графа равен сумме его значений по всем ребрам («интеграл по путям»):${\displaystyle g}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \int _{\sigma }g=\sum _{\sigma }g{\big (}[a,b]{\big )}.}$

Это свойства:

• Постоянное правило : если - константа , то${\displaystyle c}$

${\displaystyle dc=0}$

• Линейность : если и - константы ,${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle d(af+bg)=a\,df+b\,dg,\quad \int _{\sigma }(af+bg)=a\,\int _{\sigma }f+b\,\int _{\sigma }g}$

• Правило продукта :

${\displaystyle d(fg)=f\,dg+g\,df+df\,dg}$

• Основная теорема исчисления I : если -цепь состоит из ребер , то для любой -коцепи${\displaystyle 1}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle [a_{0},a_{1}],[a_{1},a_{2}],...,[a_{n-1},a_{n}]}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \int _{\sigma }df=f(a_{n})-f(a_{0})}$

• Фундаментальная теорема исчисления II : если граф является деревом , является -сцепкой, а функция ( -коцепь) определена на узлах графа как${\displaystyle g}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 0}$

${\displaystyle f(x)=\int _{\sigma }g}$

где -цепь состоит из при некотором фиксированном , то${\displaystyle 1}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle [a_{0},a_{1}],[a_{1},a_{2}],...,[a_{n-1},x]}$${\displaystyle a_{0}}$

${\displaystyle df=g}$

См. Ссылки.^{[6] [7] [8] [9] [3] [10]}

Цепи симплексов и кубов [ править ]

Симплициальный комплекс представляет собой набор симплексов , который удовлетворяет следующим условиям:${\displaystyle S}$

1. Каждая грань симплекса из тоже находится в .${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

2. Непустое пересечение любых двух симплексов является гранью обоих и .${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}\in S}$${\displaystyle \sigma _{1}}$${\displaystyle \sigma _{2}}$

По определению, ориентация из к симплекс задается упорядочением вершин, записывается как , с правилом , что два упорядочивании определяют ту же ориентацию , если и только если они отличаются на четной перестановку . Таким образом, каждый симплекс имеет ровно две ориентации, и изменение порядка двух вершин меняет ориентацию на противоположную. Например, выбор ориентации 1-симплекса означает выбор одного из двух возможных направлений, а выбор ориентации 2-симплекса означает выбор значения «против часовой стрелки».${\displaystyle (v_{0},...,v_{k})}$

Позвольте быть симплициальным комплексом. Симплициальная к -цепочке есть конечная формальная сумма${\displaystyle S}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}c_{i}\sigma _{i},\,}$

где каждое c _i - целое число, а σ _i - ориентированный k -симплекс. В этом определении мы заявляем, что каждый ориентированный симплекс равен негативу симплекса с противоположной ориентацией. Например,

${\displaystyle (v_{0},v_{1})=-(v_{1},v_{0}).}$

Векторное пространство в к -цепи на написано . Он имеет основу во взаимно однозначном соответствии с множеством k -симплексов в . Чтобы явно определить базис, нужно выбрать ориентацию каждого симплекса. Один из стандартных способов сделать это - выбрать порядок всех вершин и задать каждому симплексу ориентацию, соответствующую индуцированному порядку его вершин.${\displaystyle S}$${\displaystyle C_{k}}$${\displaystyle S}$

Пусть - ориентированный k -симплекс, рассматриваемый как базисный элемент . Граничный оператор${\displaystyle \sigma =(v_{0},...,v_{k})}$${\displaystyle C_{k}}$

${\displaystyle \partial _{k}:C_{k}\rightarrow C_{k-1}}$

является линейным оператором, определяемым:

${\displaystyle \partial _{k}(\sigma )=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}(v_{0},\dots ,{\widehat {v_{i}}},\dots ,v_{k}),}$

где ориентированный симплекс

${\displaystyle (v_{0},\dots ,{\widehat {v_{i}}},\dots ,v_{k})}$

является й гранью , полученной удалением ее й вершины.${\displaystyle i}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle i}$

В элементы подгруппы${\displaystyle C_{k}}$

${\displaystyle Z_{k}=\ker \partial _{k}}$

называются циклами , а подгруппа

${\displaystyle B_{k}=\operatorname {im} \partial _{k+1}}$

как говорят, состоит из границ .

Это показывает прямое вычисление . Говоря геометрическими терминами, это означает, что граница чего-либо не имеет границ. Эквивалентно векторные пространства образуют цепной комплекс . Другой эквивалентный оператор содержится в . ${\displaystyle \partial ^{2}=0}$${\displaystyle (C_{k},\partial _{k})}$${\displaystyle B_{k}}$${\displaystyle Z_{k}}$

Кубический комплекс представляет собой комплекс , состоящий из точек , отрезков линий , квадратов , кубов , и их п - мерных аналогов . Они используются аналогично симплексам для образования комплексов. Элементарный интервал является подмножеством формы${\displaystyle I\subset \mathbf {R} }$

${\displaystyle I=[\ell ,\ell +1]\quad {\text{or}}\quad I=[\ell ,\ell ]}$

для некоторых . Элементарный куб является конечным произведением элементарных интервалов, т.е.${\displaystyle \ell \in \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle Q=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{d}\subset \mathbf {R} ^{d}}$

где - элементарные интервалы. Эквивалентно, элементарный куб - это любой перевод единичного куба, вложенного в евклидово пространство (для некоторых с ). Набор является кубическим комплексом, если его можно записать как объединение элементарных кубов (или, возможно, он гомеоморфен такому набору), и он содержит все грани всех своих кубов. Граничный оператор и цепной комплекс определяются аналогично таковым для симплициальных комплексов.${\displaystyle I_{1},I_{2},\ldots ,I_{d}}$${\displaystyle [0,1]^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{d}}$${\displaystyle n,d\in \mathbf {N} \cup \{0\}}$${\displaystyle n\leq d}$${\displaystyle X\subseteq \mathbf {R} ^{d}}$

Более общими являются клеточные комплексы .

Цепной комплекс представляет собой последовательность векторных пространств , соединенных линейными операторами ( так называемые граничные операторы ) , таким образом, что композиция любых двух последовательных отображений нулевое отображение. Явный, граничные операторы удовлетворяют , или с индексами подавлены, . Комплекс можно записать следующим образом.${\displaystyle (C_{*},\partial _{*})}$ ${\displaystyle \ldots ,C_{0},C_{1},C_{2},C_{3},C_{4},\ldots }$${\displaystyle \partial _{n}:C_{n}\to C_{n-1}}$${\displaystyle \partial _{n}\circ \partial _{n+1}=0}$${\displaystyle \partial ^{2}=0}$

${\displaystyle \cdots {\xleftarrow {\partial _{0}}}C_{0}{\xleftarrow {\partial _{1}}}C_{1}{\xleftarrow {\partial _{2}}}C_{2}{\xleftarrow {\partial _{3}}}C_{3}{\xleftarrow {\partial _{4}}}C_{4}{\xleftarrow {\partial _{5}}}\cdots }$

Симплициальное отображение является отображением между симплициальными комплексами со свойством , что образами вершин симплекса всегда натянутыми на симплекс (следовательно, вершины имеют вершины для изображений). Симплициальное отображение из симплициального комплекса в другой - это функция из набора вершин в набор вершин, такая что изображение каждого симплекса в (рассматриваемое как набор вершин) является симплексом в . Он генерирует линейную карту, называемую цепной картой , от цепного комплекса до цепного комплекса . В явном виде он задается на -chains${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle f((v_{0},\ldots ,v_{k}))=(f(v_{0}),\ldots ,f(v_{k}))}$

if все различны, в противном случае он устанавливается равным .${\displaystyle f(v_{0}),...,f(v_{k})}$${\displaystyle 0}$

Карта цепи между двумя цепными комплексами и последовательность гомоморфизмов для каждого , что коммутирует с граничными операторами на два цепных комплексах, так . Это записано в следующей коммутативной диаграмме :${\displaystyle f}$${\displaystyle (A_{*},d_{A,*})}$${\displaystyle (B_{*},d_{B,*})}$${\displaystyle f_{*}}$${\displaystyle f_{n}:A_{n}\rightarrow B_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle d_{B,n}\circ f_{n}=f_{n-1}\circ d_{A,n}}$

Карта цепочки отправляет циклы в циклы и границы в границы.

См. Ссылки. ^{[11] [10] [12]}

Дискретные дифференциальные формы: коцепи [ править ]

Для каждого векторного пространства C _i в цепном комплексе мы рассматриваем его двойственное пространство и его дуальный линейный оператор${\displaystyle C_{i}^{*}:=\mathrm {Hom} (C_{i},{\bf {R}}),}$${\displaystyle d^{i}=\partial _{i}^{*}}$

${\displaystyle d^{i-1}:C_{i-1}^{*}\to C_{i}^{*}.}$

Это дает эффект «перевертывания всех стрел» исходного комплекса, в результате чего остается комплекс коцепей.

${\displaystyle \cdots \leftarrow C_{i+1}^{*}{\stackrel {\partial _{i}^{*}}{\leftarrow }}\ C_{i}^{*}{\stackrel {\partial _{i-1}^{*}}{\leftarrow }}C_{i-1}^{*}\leftarrow \cdots }$

Коцепной комплекс является двойным понятием для цепного комплекса. Он состоит из последовательности векторных пространств, связанных линейными операторами, удовлетворяющими . Комплекс коцепи может быть записан аналогично цепному комплексу.${\displaystyle (C^{*},d^{*})}$${\displaystyle ...,C_{0},C_{1},C_{2},C_{3},C_{4},...}$${\displaystyle d^{n}:C^{n}\to C^{n+1}}$${\displaystyle d^{n+1}\circ d^{n}=0}$

${\displaystyle \cdots {\xrightarrow {d^{-1}}}C^{0}{\xrightarrow {d^{0}}}C^{1}{\xrightarrow {d^{1}}}C^{2}{\xrightarrow {d^{2}}}C^{3}{\xrightarrow {d^{3}}}C^{4}{\xrightarrow {d^{4}}}\cdots }$

Индекс в любом из или называется степенью (или измерением ). Разница между цепными и коцепными комплексами состоит в том, что в цепных комплексах дифференциалы уменьшают размерность, тогда как в коцепных комплексах они увеличивают размерность. ${\displaystyle n}$${\displaystyle C_{n}}$${\displaystyle C^{n}}$

Элементы отдельных векторных пространств (ко) цепного комплекса называются коцепями . Элементы в ядре из называются коциклами (или закрытые элементы), а также элементы в изображении из называются кограницами (или точные элементы). По определению дифференциала все границы являются циклами.${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$

Пуанкаре лемма утверждает , что если открытый шар в любой замкнутой -форма определяется на точно, для любого целого с .${\displaystyle B}$${\displaystyle {\bf {R}}^{n}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle B}$${\displaystyle p}$${\displaystyle 1\leq p\leq n}$

Когда мы говорим о коцепях , как дискретные (дифференциальных) формы , мы имеем в виду как внешняя производная . Мы также используем обозначение исчисления для значений форм:${\displaystyle d}$

${\displaystyle \omega (s)=\int _{s}\omega .}$

Теорема Стокса - это утверждение о дискретных дифференциальных формах на многообразиях , которое обобщает основную теорему дискретного исчисления для разбиения интервала:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {\Delta F}{\Delta x}}(a+ih+h/2)\,\Delta x=F(b)-F(a).}$

Теорема Стокса гласит, что сумма формы по границе некоторого ориентируемого многообразия равна сумме его внешней производной по всему , т. Е.${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle d\omega }$${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \int _{\Omega }d\omega =\int _{\partial \Omega }\omega \,.}$

Стоит изучить основной принцип на примере размеров. Основная идея может быть понята из диаграммы слева, которая показывает, что в ориентированном замощении многообразия внутренние пути пересекаются в противоположных направлениях; их вклады в интеграл по путям, таким образом, попарно компенсируют друг друга. Как следствие, остается только вклад от границы. ${\displaystyle d=2}$

См. Ссылки. ^{[11] [10]}

Продукт клина форм [ править ]

В дискретном исчислении это конструкция, которая создает из форм формы более высокого порядка: соединяя две коцепи степени и образуя составную коцепь степени . ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p+q}$

Для кубических комплексов произведение клина определяется на каждом кубе, рассматриваемом как векторное пространство той же размерности.

Для симплициальных комплексов произведение клина реализуется как произведение чашечек : если является -коцепью и является -коцепью, то ${\displaystyle f^{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle g^{q}}$${\displaystyle q}$

${\displaystyle (f^{p}\smile g^{q})(\sigma )=f^{p}(\sigma _{0,1,...,p})\cdot g^{q}(\sigma _{p,p+1,...,p+q})}$

где это - симплекс и , является симплекс , натянутый в симплекс, вершины которого занумерованы . Таким образом, это -й передняя поверхность и является -й задней поверхностью из , соответственно.${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle (p+q)}$${\displaystyle \sigma _{S},\ S\subset \{0,1,...,p+q\}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (p+q)}$${\displaystyle \{0,...,p+q\}}$${\displaystyle \sigma _{0,1,...,p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \sigma _{p,p+1,...,p+q}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \sigma }$

Кограница из чашки продукта коцепей и даются${\displaystyle f^{p}}$${\displaystyle g^{q}}$

${\displaystyle d(f^{p}\smile g^{q})=d{f^{p}}\smile g^{q}+(-1)^{p}(f^{p}\smile d{g^{q}}).}$

Чашечное произведение двух коциклов снова является коциклом, а произведение кограницы с коциклом (в любом порядке) является кограницей.

Операция по изготовлению чашек соответствует идентичности

${\displaystyle \alpha ^{p}\smile \beta ^{q}=(-1)^{pq}(\beta ^{q}\smile \alpha ^{p}).}$

Другими словами, соответствующее умножение градуированно-коммутативно .

См. Ссылки. ^[11]

Оператор Лапласа [ править ]

Оператор Лапласа функции в вершине - это (с точностью до множителя) скорость, с которой среднее значение по клеточной окрестности отклоняется от . Оператор Лапласа представляет собой плотность потока от потока градиента функции. Например, чистая скорость, с которой химическое вещество, растворенное в жидкости, движется к некоторой точке или от нее, пропорциональна оператору Лапласа химической концентрации в этой точке; выраженное символически, результирующее уравнение является уравнением диффузии . По этим причинам он широко используется в науке для моделирования различных физических явлений. ${\displaystyle \Delta f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f(p)}$

кодифференциал

${\displaystyle \delta :C^{k}\to C^{k-1}}$

является оператором, определенным в -формах:${\displaystyle k}$

${\displaystyle \delta =(-1)^{n(k-1)+1}{\star }d{\star }=(-1)^{k}\,{\star }^{-1}d{\star },}$

где - внешняя производная или дифференциал, а - звездный оператор Ходжа .${\displaystyle d}$${\displaystyle \star }$

Кодифференциал является сопряженным к внешней производной согласно теореме Стокса:

${\displaystyle (\eta ,\delta \zeta )=(d\eta ,\zeta ).}$

Поскольку дифференциал удовлетворяет , кодифференциал обладает соответствующим свойством${\displaystyle d^{2}=0}$

${\displaystyle \delta ^{2}={\star }d{\star }{\star }d{\star }=(-1)^{k(n-k)}{\star }d^{2}{\star }=0.}$

Оператор Лапласа определяется следующим образом:

${\displaystyle \Delta =(\delta +d)^{2}=\delta d+d\delta .}$

См. Ссылки. ^[10]

Связанные [ править ]

• Численное дифференцирование
• Численное интегрирование
• Численные обыкновенные дифференциальные уравнения
• Разделенные различия
• Конечно-разностные коэффициенты
• Метод конечных разностей
• Метод конечных объемов
• Метод конечных элементов
• Метод дискретных элементов

См. Также [ править ]

• Исчисление на конечных взвешенных графах
• Дискретный оператор Лапласа
• Дискретная теория Морса
• Дискретная дифференциальная геометрия
• Клеточные автоматы
• Исчисление конечных разностей
• Исчисление конечных разностей, дискретное исчисление или дискретный анализ

Ссылки [ править ]