Дискретная теория Морса

Дискретная теория Морса - комбинаторная адаптация теории Морса, разработанной Робином Форманом . Теория имеет различные практические применения в различных областях прикладной математики и информатики , такие как конфигурационные пространства , ^[1] гомология вычисления, ^{[2] [3]} понижение шума , ^[4] сетка сжатие , ^[5] и топологический анализ данных . ^[6]

Обозначения относительно комплексов CW [ править ]

Позвольте быть комплексом CW и обозначить его набором клеток. Определим функцию инцидентности следующим образом: даны две ячейки и в , пусть будет степень в прикрепляя карты от границы с . Граничный оператор является эндоморфизмом свободной абелевой группы , порожденной определяются${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle {\ mathcal {X}}}$ ${\ displaystyle \ kappa: {\ mathcal {X}} \ times {\ mathcal {X}} \ to \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ Displaystyle \ тау}$${\ Displaystyle {\ mathcal {X}}}$${\ Displaystyle \ каппа (\ сигма, ~ \ тау)}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ Displaystyle \ тау}$${\ displaystyle \ partial}$${\ Displaystyle {\ mathcal {X}}}$

${\ displaystyle \ partial (\ sigma) = \ sum _ {\ tau \ in {\ mathcal {X}}} \ kappa (\ sigma, \ tau) \ tau.}$

Определяющим свойством граничных операторов является то, что . В более аксиоматических определениях ^[7] можно найти требование, чтобы${\ Displaystyle \ частичный \ круг \ частичный \ эквив 0}$${\ Displaystyle \ forall \ sigma, \ tau ^ {\ prime} \ in {\ mathcal {X}}}$

${\ Displaystyle \ сумма _ {\ тау \ ин {\ mathcal {X}}} \ каппа (\ сигма, \ тау) \ каппа (\ тау, \ тау ^ {\ прайм}) = 0}$

которое является следствием приведенного выше определения граничного оператора и требования, чтобы .${\ Displaystyle \ частичный \ круг \ частичный \ эквив 0}$

Дискретные функции Морзе [ править ]

Реальная значной функцией является дискретной функцией Морса , если он удовлетворяет следующим двум свойствам:${\ displaystyle \ mu: {\ mathcal {X}} \ to \ mathbb {R}}$

1. Для любой ячейки , количество ячеек на границе которой удовлетворяет , не больше одной.${\ displaystyle \ sigma \ in {\ mathcal {X}}}$${\displaystyle \tau \in {\mathcal {X}}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \mu (\sigma )\leq \mu (\tau )}$
2. Для любой ячейки количество ячеек, содержащихся на своей границе, которая удовлетворяет , не больше одной.${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {X}}}$${\displaystyle \tau \in {\mathcal {X}}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \mu (\sigma )\geq \mu (\tau )}$

Можно показать ^[8], что мощности в двух условиях не могут быть одновременно одними для фиксированной ячейки , при условии, что это регулярный комплекс CW. В этом случае каждая ячейка может быть спарена не более чем с одной исключительной ячейкой : либо граничной ячейкой с большим значением, либо совмещенной ячейкой с меньшим значением. Ячейки, не имеющие пар, т. Е. Значения функций которых строго выше, чем их граничные ячейки, и строго ниже, чем их со-граничные ячейки, называются критическими ячейками. Таким образом, дискретная функция Морса разбивает комплекс CW на три различных набора ячеек:, где:${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {X}}}$${\displaystyle \tau \in {\mathcal {X}}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\mathcal {X}}={\mathcal {A}}\sqcup {\mathcal {K}}\sqcup {\mathcal {Q}}}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$обозначает непарные критические ячейки,
2. ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ обозначает ячейки, которые соединены с граничными ячейками, и
3. ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ обозначает ячейки, которые соединены с соседними ячейками.

По построению существует взаимно однозначное соответствие множеств между -мерными ячейками в и -мерными ячейками в , которое может быть обозначено для каждого натурального числа . Это является дополнительным техническим требованием , что для каждого , степени прикрепляя карты от границы его спаренного ячейки является блоком в базовом кольце из . Например, для целых чисел разрешены только значения . Это техническое требование гарантировано, например, когда предполагается, что это обычный комплекс CW .${\displaystyle k}$${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle (k-1)}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle p^{k}:{\mathcal {K}}^{k}\to {\mathcal {Q}}^{k-1}}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle K\in {\mathcal {K}}^{k}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle p^{k}(K)\in {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Основным результатом дискретной теории Морса устанавливает , что комплекс CW является изоморфной на уровне гомологии в новый комплекс , состоящий только из критических элементов. Парные клетка и описывает градиент пути между соседними критическими клетками , которые могут быть использованы для получения граничного оператора на . Некоторые детали этой конструкции представлены в следующем разделе.${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Комплекс Морзе [ править ]

Путь градиента представляет собой последовательность спаренных клеток

${\displaystyle \rho =(Q_{1},K_{1},Q_{2},K_{2},\ldots ,Q_{M},K_{M})}$

удовлетворение и . Индекс этого градиента пути определяется как целое число${\displaystyle Q_{m}=p(K_{m})}$${\displaystyle \kappa (K_{m},~Q_{m+1})\neq 0}$

${\displaystyle \nu (\rho )={\frac {\prod _{m=1}^{M-1}-\kappa (K_{m},Q_{m+1})}{\prod _{m=1}^{M}\kappa (K_{m},Q_{m})}}}$.

Деление здесь имеет смысл, потому что должна быть частота между парными клетками . Обратите внимание, что по построению значения дискретной функции Морса должны уменьшаться по горизонтали . Говорят, что путь соединяет две критические ячейки, если . Это отношение может быть выражено как . Кратность этого соединения определяется как целое число . Наконец, граничный оператор Морса на критических ячейках определяется формулой${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle A,A'\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \kappa (A,Q_{1})\neq 0\neq \kappa (K_{M},A')}$${\displaystyle A{\stackrel {\rho }{\to }}A'}$${\displaystyle m(\rho )=\kappa (A,Q_{1})\cdot \nu (\rho )\cdot \kappa (K_{M},A')}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle \Delta (A)=\kappa (A,A')+\sum _{A{\stackrel {\rho }{\to }}A'}m(\rho )A'}$

где сумма берется по всем соединениям градиентных путей от до .${\displaystyle A}$${\displaystyle A'}$

Основные результаты [ править ]

Многие из известных результатов непрерывной теории Морса применимы в дискретной ситуации.

Неравенства Морзе [ править ]

Позвольте быть комплекс Морса, связанный с комплексом CW . Число из -клетках в называется число Морзе . Пусть обозначим число Бетти из . Тогда для любого следующие неравенства ^[9] удержание${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle m_{q}=|{\mathcal {A}}_{q}|}$${\displaystyle q}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle q^{th}}$ ${\displaystyle \beta _{q}}$${\displaystyle q^{th}}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle N>0}$

${\displaystyle m_{N}\geq \beta _{N}}$, и

${\displaystyle m_{N}-m_{N-1}+\ldots \pm m_{0}\geq \beta _{N}-\beta _{N-1}+\ldots \pm \beta _{0}}$

Кроме того, эйлерова характеристика из удовлетворяет${\displaystyle \chi ({\mathcal {X}})}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$

${\displaystyle \chi ({\mathcal {X}})=m_{0}-m_{1}+\ldots \pm m_{\dim {\mathcal {X}}}}$

Дискретные гомологии Морса и гомотопический тип [ править ]

Пусть - регулярный CW комплекс с граничным оператором и дискретной функцией Морса . Позвольте быть ассоциированным комплексом Морса с граничным оператором Морса . Тогда существует изоморфизм ^[10] из гомологических групп${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle \partial }$${\displaystyle \mu :{\mathcal {X}}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle H_{*}({\mathcal {X}},\partial )\simeq H_{*}({\mathcal {A}},\Delta ),}$

и аналогично для гомотопических групп.

См. Также [ править ]

• Цифровая теория Морзе
• Стратифицированная теория Морса
• Анализ формы
• Топологическая комбинаторика
• Дискретная дифференциальная геометрия

Ссылки [ править ]

• Форман, Робин (2002). «Руководство пользователя дискретной теории Морса» (PDF) . Séminaire Lotharingien de Combinatoire . 48 : Искусство. B48c, 35 стр. MR  1939695 .
• Козлов, Дмитрий (2007). Комбинаторная алгебраическая топология . Алгоритмы и вычисления в математике. 21 . Берлин: Springer. ISBN 978-3540719618. Руководство по ремонту  2361455 .
• Йонссон, Якоб (2007). Симплициальные комплексы графов . Springer. ISBN 978-3540758587.
• Орлик, Питер ; Велкер, Фолькмар (2007). Алгебраическая комбинаторика: лекции в летней школе в Нордфьордейде . Universitext. Springer. DOI : 10.1007 / 978-3-540-68376-6 . ISBN 978-3540683759. Руководство по ремонту  2322081 .
• «Дискретная теория Морса» . nLab .