Теорема Дуба о разложении

В теории случайных процессов в дискретном времени , являющейся частью математической теории вероятностей , теорема о разложении Дуба дает уникальное разложение каждого адаптированного и интегрируемого случайного процесса в виде суммы мартингала и предсказуемого процесса (или «дрейфа»). начиная с нуля. Теорема была доказана Джозефом Л. Дубом и названа в его честь . ^[1]

Аналогичная теорема в случае непрерывного времени - это теорема Дуба – Мейера о разложении .

Заявление [ править ]

Пусть $(Ω, F, ℙ)$ - вероятностное пространство , $I = {0, 1, 2$ $,.$ $. . ,$ $N$ } с $N \in ℕ$ или $я = ℕ 0$ конечное или бесконечное множество индексов, $(F п) п \in Я$ фильтрации из F , и $Х = (Х п) п \in Я$ адаптированный случайный процесс с $E [| X n |] <\infty$ для всех $n \in I$ . Тогда существует мартингал $М = (М п) п \in I$ и интегрируемый предсказуемый процесс $A = (A п) п \in Я$ , начиная с $A 0 = 0$ , так что $Х п = М п + п$ для любого $п \in I$ . Здесь предсказуемые означает , что $п$ является $F$ $п$ $-1$ - измерима для любого $п$ $\in$ $Я$ $\ {0$ }. Это разложение почти наверняка единственное. ^[2]^[3]^[4]

Замечание [ править ]

Теорема дословно верна также для случайных процессов $X,$ принимающих значения в $d$ -мерном евклидовом пространстве $ℝ d$ или комплексном векторном пространстве $ℂ d$ . Это следует из одномерного варианта при индивидуальном рассмотрении компонентов.

Доказательство [ править ]

Существование [ править ]

Используя условные ожидания , определите процессы $A$ и $M$ для каждого $n \in I$ явно следующим образом:

A_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\bigl (}\mathbb {E} [X_{k}\,|\,{\mathcal {F}}_{k-1}]-X_{k-1}{\bigr )}

( 1 )

а также

M_{n}=X_{0}+\sum _{k=1}^{n}{\bigl (}X_{k}-\mathbb {E} [X_{k}\,|\,{\mathcal {F}}_{k-1}]{\bigr )},

( 2 )

где суммы для $п = 0$ являются пустыми и определяется как ноль. Здесь $A$ складывает ожидаемые приращения $X$ , а $M$ складывает неожиданности, т. Е. Часть каждого $X k,$ которая не известна на один временной шаг раньше. Из этих определений, $А п + 1$ (если $п + 1 \in I$ ) и $М п$ есть $Р п$ -измеримой , потому что процесс $Х$ приспособлен, $Е [| A n |] <\infty$ и $E [| M n |] <\infty$ потому что процесс $Х$ интегрируема, а разложение $Х п = М п + п$ справедливо для любого $п \in I$ . Мартингейл недвижимость

\mathbb {E} [M_{n}-M_{n-1}\,|\,{\mathcal {F}}_{n-1}]=0

в виде

также следует из приведенного выше определения ( 2 ) для любого $n ∈ I \ {0$ }.

Уникальность [ править ]

Чтобы доказать единственность, пусть $X = M' + A'$ - дополнительное разложение. Тогда процесс $Y : = M - M' = A' - A$ является мартингалом, из чего следует, что

\mathbb {E} [Y_{n}\,|\,{\mathcal {F}}_{n-1}]=Y_{n-1}

в виде,

а также предсказуемым, подразумевая, что

\mathbb {E} [Y_{n}\,|\,{\mathcal {F}}_{n-1}]=Y_{n}

в виде

для любого $n ∈ I \ {0$ }. Поскольку $Y 0 = A' 0 - A 0 = 0$ по соглашению о начальной точке предсказуемых процессов, это итеративно означает, что $Y n = 0$ почти наверняка для всех $n \in I$ , следовательно, разложение почти наверняка единственное.

Следствие [ править ]

Вещественный случайный процесс $X$ является субмартингалом тогда и только тогда, когда он имеет разложение Дуба на мартингал $M$ и интегрируемый предсказуемый процесс $A,$ который почти наверняка возрастает . ^[5] Это супермартингейл тогда и только тогда, когда $A$ почти наверняка убывает .

Доказательство [ править ]

Если $X$ - субмартингал, то

\mathbb {E} [X_{k}\,|\,{\mathcal {F}}_{k-1}]\geq X_{k-1}

в виде

для всех $k ∈ I \ {0$ }, что равносильно утверждению, что каждый член в определении ( 1 ) оператора $A$ почти наверняка положителен, следовательно, $A$ почти наверняка возрастает. Аналогично доказывается эквивалентность для супермартингалов.

Пример [ править ]

Пусть $X = (X n) n \inℕ 0$ - последовательность независимых интегрируемых вещественных случайных величин. Они адаптированы к фильтрации, порождаемой последовательностью, т. $Е.$ $F n = σ (X 0, ..., X n)$ для всех $n \in ℕ 0$ . Согласно ( 1 ) и ( 2 ) разложение Дуба задается формулой

A_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\bigl (}\mathbb {E} [X_{k}]-X_{k-1}{\bigr )},\quad n\in \mathbb {N} _{0},

а также

M_{n}=X_{0}+\sum _{k=1}^{n}{\bigl (}X_{k}-\mathbb {E} [X_{k}]{\bigr )},\quad n\in \mathbb {N} _{0}.

Если случайные величины исходной последовательности $X$ имеют нулевое среднее значение, это упрощается до

A_{n}=-\sum _{k=0}^{n-1}X_{k}

а также

M_{n}=\sum _{k=0}^{n}X_{k},\quad n\in \mathbb {N} _{0},

следовательно, оба процесса являются (возможно, неоднородными по времени) случайными блужданиями . Если последовательность $X = (X n) n \inℕ 0$ состоит из симметричных случайных величин, принимающих значения $+1$ и $-1$ , то $X$ ограничено, но мартингал $M$ и предсказуемый процесс $A$ являются неограниченными простыми случайными блужданиями (а не равномерно интегрируемо ), и теорема Дуба о необязательной остановке может быть неприменима к мартингалу $M,$ если время остановки не имеет конечного ожидания.

Заявление [ править ]

В финансовой математике теорема о разложении Дуба может использоваться для определения наибольшего оптимального времени исполнения американского опциона . ^[6]^[7] Пусть $X = (X 0, X 1, ..., X N)$ обозначает неотрицательные дисконтированные выплаты американского опциона в $N-$ периодной модели финансового рынка, адаптированной к фильтрации $(F 0, F 1, ..., F N)$ , и пусть $ℚ$ обозначает эквивалент мартингейл . Пусть $U = (U 0, U 1,..., U N)$ обозначим Snell конверт из $X$ по отношению к $ℚ$ . Конверт Снелла - это наименьший $ℚ-$ супермартингейл, доминирующий над $X$ ^[8], и на полном финансовом рынке он представляет собой минимальную сумму капитала, необходимую для хеджирования американского опциона до срока погашения. ^[9] Пусть $U = M + A$ обозначает разложение Дуба по $оболочки$ Снеллиуса $U$ в мартингал $M = (M 0, M 1, ..., M N)$ и убывающий предсказуемый процесс $A = (A 0, A 1, ..., A N)$ с $A 0 = 0$ . Тогда наибольшее время остановки для оптимального исполнения американского опциона ^[10]^[11] составляет

\tau _{\text{max}}:={\begin{cases}N&{\text{if }}A_{N}=0,\\\min\{n\in \{0,\dots ,N-1\}\mid A_{n+1}<0\}&{\text{if }}A_{N}<0.\end{cases}}

Поскольку $A$ предсказуемо, событие ${τ max = n} = {A n = 0, A n +1 <0$ } находится в $F n$ для любого $n \in {0, 1,. . . , N - 1$ }, поэтому $τ max$ действительно время остановки. Он дает последний момент перед тем, как дисконтированная стоимость американского опциона упадет в ожидании; до момента $τ max$ процесс дисконтированной стоимости $U$ является мартингалом по отношению к $ℚ$ .

Обобщение [ править ]

Теорема Дуба о разложении может быть обобщена с вероятностных пространств на σ-конечные пространства с мерой . ^[12]

Цитаты [ править ]

^ Дуб (1953) , см ( Дуб 1990 , стр. 296-298)
^ Durrett (2005)
^ ( Föllmer & Schied 2011 , предложение 6.1)
^ ( Уильямс 1991 , раздел 12.11, часть (а) теоремы)
^ ( Уильямс 1991 , раздел 12.11, часть (b) теоремы)
^ ( Lamberton & Lapeyre 2008 , Глава 2: Оптимальная проблема остановки и американские варианты)
^ ( Föllmer & Schied 2011 , Глава 6: Требования американского контингента)
^ ( Föllmer & Schied 2011 , Предложение 6.10)
^ ( Föllmer & Schied 2011 , теорема 6.11)
^ ( Lamberton & Lapeyre 2008 , Предложение 2.3.2)
^ ( Föllmer & Schied 2011 , теорема 6.21)
^ ( Шиллинг 2005 , проблема 23.11)

Ссылки [ править ]

Дуб, Джозеф Л. (1953), Стохастические процессы , Нью-Йорк: Wiley, ISBN 978-0-471-21813-5, Руководство по ремонту 0058896 , Zbl 0053.26802
Дуб, Джозеф Л. (1990), Стохастические процессы (редактор библиотеки Wiley Classics), Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc., ISBN 0-471-52369-0, MR 1038526 , Zbl 0696.60003
Дарретт, Рик (2010), Вероятность: теория и примеры , Кембриджские серии по статистической и вероятностной математике (4-е изд.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76539-8, Руководство по ремонту 2722836 , Zbl 1202.60001
Фёльмер, Ганс; Схид, Александр (2011), Стохастические финансы: введение в дискретное время , выпускник De Gruyter (3-е изд. И дополненное изд.), Берлин, Нью-Йорк: De Gruyter, ISBN 978-3-11-021804-6, Руководство по ремонту 2779313 , Zbl 1213.91006
Ламбертон, Дэмиен; Лапейр, Бернард (2008), Введение в стохастическое исчисление, применяемое в финансах , серия Chapman & Hall / CRC по финансовой математике (2-е изд.), Boca Raton, FL: Chapman & Hall / CRC, ISBN 978-1-58488-626-6, Руководство по ремонту 2362458 , Zbl 1167.60001
Шиллинг, Рене Л. (2005), Меры, интегралы и мартингалы , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-52185-015-5, Руководство по ремонту 2200059 , Zbl 1084.28001
Уильямс, Дэвид (1991), вероятность с мартингейлами , Cambridge University Press, ISBN 0-521-40605-6, Руководство по ремонту 1155402 , Zbl 0722.60001

[1] Дуб (1953) , см ( Дуб 1990 , стр. 296-298)

[2] Durrett (2005)

[3] ( Föllmer & Schied 2011 , предложение 6.1)

[4] ( Уильямс 1991 , раздел 12.11, часть (а) теоремы)

[5] ( Уильямс 1991 , раздел 12.11, часть (b) теоремы)

[6] ( Lamberton & Lapeyre 2008 , Глава 2: Оптимальная проблема остановки и американские варианты)

[7] ( Föllmer & Schied 2011 , Глава 6: Требования американского контингента)

[8] ( Föllmer & Schied 2011 , Предложение 6.10)

[9] ( Föllmer & Schied 2011 , теорема 6.11)

[10] ( Lamberton & Lapeyre 2008 , Предложение 2.3.2)

[11] ( Föllmer & Schied 2011 , теорема 6.21)

[12] ( Шиллинг 2005 , проблема 23.11)

[1]

vтеСтохастические процессы
Дискретное время	Процесс Бернулли Ветвящийся процесс Китайский ресторанный процесс Процесс Гальтона – Ватсона Независимые и одинаково распределенные случайные величины Цепь Маркова Процесс Морана Случайная прогулка Со стертой петлей Избегать себя Пристрастный Максимальная энтропия
Непрерывное время	Аддитивный процесс Бесселевский процесс Процесс рождения – смерти чистое рождение Броуновское движение Мост Экскурсия Дробное Геометрический Меандр Процесс Коши Контактный процесс Случайное блуждание в непрерывном времени Процесс Кокса Процесс диффузии Эмпирический процесс Валочный процесс Процесс Флеминга – Виота Гамма-процесс Геометрический процесс Процесс Хокса Процесс охоты Системы взаимодействующих частиц Ито диффузия Процесс Ито Скачок диффузии Перейти процесс Леви процесс Местное время Марковский аддитивный процесс Процесс Маккина – Власова Процесс Орнштейна – Уленбека Пуассоновский процесс Сложный Неоднородный Эволюция Шрамма – Лёвнера Семимартингейл Сигма-мартингейл Стабильный процесс Суперпроцесс Телеграфный процесс Вариант гамма-процесса Винеровский процесс Венская колбаса
Оба	Ветвящийся процесс Модель Гальвеса – Лёхербаха Гауссовский процесс Скрытая марковская модель (HMM) Марковский процесс Мартингейл Отличия Местный Суб- Супер- Случайная динамическая система Регенеративный процесс Процесс продления Стохастические цепочки с памятью переменной длины белый шум
Поля и прочее	Процесс Дирихле Гауссовское случайное поле Мера Гиббса Модель Хопфилда Модель Изинга Модель Поттса Логическая сеть Марковское случайное поле Перколяция Процесс Питмана – Йорка Точечный процесс Кокс Пуассон Случайное поле Случайный график
Модели временных рядов	Модель авторегрессионной условной гетероскедастичности (ARCH) Модель авторегрессионного интегрированного скользящего среднего (ARIMA) Модель авторегрессии (AR) Модель авторегрессии – скользящего среднего (ARMA) Модель обобщенной авторегрессионной условной гетероскедастичности (GARCH) Модель скользящего среднего (MA)
Финансовые модели	Модель ценообразования биномиальных опционов Блэк – Дерман – Той Черный – Карасинский Блэк – Скоулз Чен Постоянная эластичность дисперсии (CEV) Кокс – Ингерсолл – Росс (CIR) Гарман – Кольхаген Хит – Джарроу – Мортон (HJM) Heston Хо – Ли Корпус – Белый Рынок LIBOR Рендлман – Барттер Волатильность SABR Вашичек Уилки
Актуарные модели	Бюльманн Крамер-Лундберг Рисковый процесс Спарре – Андерсон
Модели организации очередей	Масса Жидкость Обобщенная сеть массового обслуживания M / G / 1 M / M / 1 М / м / ц
Характеристики	Càdlàg тропы Непрерывный Непрерывные пути Эргодический Заменяемый Валочно-непрерывный Гаусс – Марков Марков Смешивание Кусочно-детерминированный Предсказуемый Постепенно измеримый Самоподобный Стационарный Обратимый во времени
Предельные теоремы	Центральная предельная теорема Теорема Донскера Теоремы Дуба о сходимости мартингалов Эргодическая теорема Теорема Фишера – Типпета – Гнеденко. Принцип большого отклонения Закон больших чисел (слабый / сильный) Закон повторного логарифма Максимальная эргодическая теорема Теорема Санова Законы нуля или единицы ( Блюменталь , Борель – Кантелли , Энгельберт – Шмидт , Хьюитт – Сэвидж , Колмогоров , Леви )
Неравенства	Буркхолдер – Дэвис – Ганди Мартингейл Дуба Апкроссинг Дуба Кунита – Ватанабэ
Инструменты	Формула Камерона – Мартина Сходимость случайных величин Показательная величина Далеана-Даде Теорема Дуба о разложении Теорема Дуба – Мейера о разложении Теорема Дуба об необязательной остановке Формула Дынкина Формула Фейнмана – Каца Фильтрация Теорема Гирсанова Генератор бесконечно малых Ито интегральный Лемма Ито Теорема Карунена – Лоэва Колмогорова теорема непрерывности Колмогорова теорема о продолжении Метрика Леви – Прохорова Исчисление Маллявэна Теорема о мартингальном представлении Теорема о необязательной остановке Теорема Прохорова Квадратичная вариация Принцип отражения Скороход интеграл Теорема Скорохода о представлении Пространство Скорохода Конверт Снелла Стохастическое дифференциальное уравнение Танака Время остановки Интеграл Стратоновича Равномерная интегрируемость Обычные гипотезы Винеровское пространство Классический Абстрактный
Дисциплины	Актуарная математика Теория управления Эконометрика Эргодическая теория Теория экстремальных ценностей (EVT) Теория больших отклонений Математические финансы Математическая статистика Теория вероятности Теория массового обслуживания Теория обновления Теория разорения Обработка сигналов Статистика Система на чип- дизайне Стохастический анализ Анализ временных рядов Машинное обучение
Список тем Категория