В математике , и более конкретно в уравнениях с частными производными , принцип Дюамеля представляет собой общий метод получения решений неоднородных линейных эволюционных уравнений, таких как уравнение теплопроводности , волновое уравнение и уравнение вибрирующей пластины . Он назван в честь Жана-Мари Дюамеля, который первым применил этот принцип к уравнению неоднородной теплопроводности, которое моделирует, например, распределение тепла в тонкой пластине, нагреваемой снизу. Для линейных эволюционных уравнений без пространственной зависимости, таких как гармонический осциллятор , принцип Дюамеля сводится к методуметод вариации параметров для решения линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений . [1] Это также незаменимый инструмент при изучении нелинейных уравнений в частных производных, таких как уравнения Навье – Стокса и нелинейное уравнение Шредингера, где нелинейность рассматривается как неоднородность.
Философия, лежащая в основе принципа Дюамеля, состоит в том, что можно перейти от решения задачи Коши (или задачи начального значения) к решениям неоднородной задачи. Рассмотрим, например, пример уравнения теплопроводности, моделирующего распределение тепловой энергии u в R n . Задача начального значения:
где g - начальное распределение тепла. Напротив, неоднородная задача для уравнения теплопроводности
соответствует добавлению внешней тепловой энергии ƒ ( x , t ) dt в каждой точке. Интуитивно можно думать о неоднородной проблеме как о наборе однородных задач, каждая из которых начинается заново в разном временном интервале t = t 0 . По линейности можно сложить (проинтегрировать) полученные решения за время t 0 и получить решение неоднородной задачи. В этом суть принципа Дюамеля.
Формально рассмотрим линейное неоднородное эволюционное уравнение для функции
с пространственной областью D в R n , вида
где L - линейный дифференциальный оператор, не содержащий производных по времени.
Формально принцип Дюамеля состоит в том, что решение этой проблемы
где P s ƒ - решение задачи
Подынтегральное выражение - запаздывающее решение , оцениваемая в момент времени t , представляющая эффект, в более поздний момент времени t , бесконечно малой силыприменяется во время s .
Принцип Дюамеля также верен для линейных систем (с векторными функциями u ), и это, в свою очередь, дает обобщение для производных более высокого t , таких как те, которые появляются в волновом уравнении (см. Ниже). Действительность принципа зависит от возможности решить однородную задачу в соответствующем функциональном пространстве и от того, что решение должно демонстрировать разумную зависимость от параметров, чтобы интеграл был четко определен. Точные аналитические условия для u и f зависят от конкретного приложения.
Волновое уравнение
Линейное волновое уравнение моделирует смещение u идеализированной одномерной струны без дисперсии в терминах производных по времени t и пространству x :
Функция f ( x , t ) в натуральных единицах измерения представляет внешнюю силу, приложенную к струне в позиции ( x , t ). Чтобы быть подходящей физической моделью для природы, должна быть возможность решить ее для любого начального состояния, в котором находится струна, определяемого ее начальным смещением и скоростью:
В более общем смысле, мы должны иметь возможность решить уравнение с данными, указанными на любом t = постоянном срезе:
Чтобы преобразовать решение из любого заданного временного интервала T до T + dT , к решению должна быть добавлена сила. Этот вклад происходит от изменения скорости струны на f ( x , T ) dT . То есть, чтобы получить решение в момент времени T + dT из решения в момент времени T , мы должны добавить к нему новое (прямое) решение однородного (без внешних сил) волнового уравнения
с начальными условиями
Решение этого уравнения достигается прямым интегрированием:
(Выражение в скобках просто в обозначениях общего метода выше.) Таким образом, решение исходной задачи с начальным значением получается, начиная с решения задачи с той же задачей с заданными начальными значениями, но с нулевым начальным смещением, и добавляя к этому (интегрируя) вклады добавленной силы во временные интервалы от T до T + dT :
Линейное ОДУ с постоянным коэффициентом
Принцип Дюамеля является результатом того, что решение неоднородного линейного дифференциального уравнения в частных производных может быть решено сначала путем нахождения решения для входного шага, а затем наложения с использованием интеграла Дюамеля . Предположим, у нас есть постоянный коэффициент, неоднородное обыкновенное дифференциальное уравнение m- го порядка .
где
Мы можем свести это к решению однородного ОДУ, используя следующий метод. Все шаги выполняются формально, игнорируя необходимые требования для правильного определения решения.
Сначала пусть G решает
Определять , с участием как характеристическая функция интервала. Тогда у нас есть
в смысле распределений . Следовательно
решает ОДУ.
Линейные УЧП с постоянным коэффициентом
В более общем смысле, предположим, что у нас есть неоднородное уравнение в частных производных с постоянными коэффициентами
где
Мы можем свести это к решению однородного ОДУ, используя следующий метод. Все шаги выполняются формально, игнорируя необходимые требования для правильного определения решения.
Во-первых, взяв преобразование Фурье по x, мы имеем
Предположить, что является ОДУ m- го порядка по t . Позволять быть коэффициентом члена высшего порядка . Теперь для каждого позволять решать
Определять . Тогда у нас есть
в смысле распределений . Следовательно
решает PDE (после преобразования обратно в x ).