В функциональном анализе , то свойство Данфорд Pettis , названное в честь Нельсона Данфорда и BJ Петтиса , является свойством банахового пространства о том , что все слабо компактные операторы из этого пространства в другое банахово пространство вполне непрерывны. Многие стандартные банаховы пространства обладают этим свойством, в первую очередь пространство C ( K ) непрерывных функций на компактном пространстве и пространство L 1 ( μ ) интегрируемых по Лебегу функций на пространстве с мерой . Александр Гротендик представил концепцию в начале 1950-х (Grothendieck 1953 ), следуя работам Данфорда и Петтиса, которые разработали более ранние результаты Шизуо Какутани , Косаку Ёсида и некоторых других. Важные результаты были получены совсем недавно Жаном Бургеном . Тем не менее, свойство Данфорда – Петтиса до конца не изучено.
Определение
Банахово пространство X обладает свойством Данфорда – Петтиса, если каждый непрерывный слабо компактный оператор T : X → Y из X в другое банахово пространство Y переводит слабо компактные множества в X в нормальные компактные множества в Y (такие операторы называются вполне непрерывными ). Важное эквивалентное определение состоит в том, что для любых слабо сходящихся последовательностей ( x n ) пространства X и ( f n ) двойственного пространства X ∗ , сходящихся (слабо) к x и f , последовательность f n ( x n ) сходится к f ( х) .
Контрпримеры
- Второе определение может показаться парадоксальным на первый, но рассмотрим ортогональный базис е н о бесконечномерным, сепарабельном гильбертовом пространстве H . Тогда е п → 0 слабо, но и для всех п ,
- Таким образом, сепарабельные бесконечномерные гильбертовы пространства не могут обладать свойством Данфорда – Петтиса.
- Рассмотрим в качестве другого примера пространство L p (−π, π), где 1 < p <∞. Последовательности x n = e inx в L p и f n = e inx в L q = ( L p ) * обе слабо сходятся к нулю. Но
- В более общем смысле, никакое бесконечномерное рефлексивное банахово пространство не может обладать свойством Данфорда – Петтиса. В частности, бесконечномерное гильбертово пространство и, вообще, пространства Lp с 1
Примеры
- Если X - компактное хаусдорфово пространство , то банахово пространство C ( X ) непрерывных функций с равномерной нормой обладает свойством Данфорда – Петтиса.
Рекомендации
- Бургейн, Жан (1981), "О свойстве Данфорда Петтиса", Труды Американского математического общества , 81 (2): 265-272, DOI : 10,2307 / 2044207 , JSTOR 2044207
- Гротендик, Александр (1953), "Sur ле приложений linéaires faiblement compactes d'ESPACES дю типа С (К)", Canadian Journal математики , 5 : 129-173, DOI : 10,4153 / CJM-1953-017-4
- JMF Castillo, SY Shaw (2001) [1994], "Свойство Данфорда – Петтиса" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Лин, Пей-Ки (2004), Функциональные пространства Кете-Бохнера , Birkhäuser, ISBN 0-8176-3521-1, OCLC 226084233
- Randrianantoanina, Нарцисс (1997), "Некоторые замечания о собственности Данфорда Петтиса" (PDF) , Rocky Mountain Journal математики , 27 (4): 1199-1213, DOI : 10,1216 / RMJM / 1181071869 , S2CID 15539667