Эллиптическая поверхность

В математике , эллиптическая поверхность является поверхностью , которая имеет эллиптическое расслоение, другими словами, собственный морфизм со связными слоями к алгебраической кривой таким образом, что почти все волокна представляют собой гладкие кривые рода 1. (над алгебраически замкнутым полем , такие как комплекс чисел, эти слои являются эллиптическими кривыми , возможно, без выбранного начала.) Это эквивалентно тому, что общий слой является гладкой кривой рода один. Это следует из правильной замены базы .

Предполагается, что поверхность и базовая кривая неособые ( комплексные многообразия или регулярные схемы , в зависимости от контекста). Слои, не являющиеся эллиптическими кривыми, называются особыми слоями и были классифицированы Кунихико Кодаира . Как эллиптические, так и особые слои важны в теории струн , особенно в F-теории .

Эллиптические поверхности образуют большой класс поверхностей, который содержит много интересных примеров поверхностей и относительно хорошо изучен в теориях комплексных многообразий и гладких 4-многообразий . Они подобны (имеют аналогию с, то есть) эллиптическим кривым над числовыми полями .

Примеры [ править ]

Произведение любой эллиптической кривой на любую кривую является эллиптической поверхностью (без особых слоев).
Все поверхности размерности 1 Кодаира являются эллиптическими поверхностями.
Каждая комплексная поверхность Энриквеса эллиптическая и имеет эллиптическое расслоение над проективной прямой.
Поверхности Kodaira
Долгачевские поверхности
Модульные поверхности Shioda

Таблица особых волокон Кодаиры [ править ]

Большинство слоев эллиптического расслоения являются (неособыми) эллиптическими кривыми. Остальные слои называются особыми слоями: их конечное число, и они состоят из объединений рациональных кривых, возможно, с особенностями или ненулевой кратностью (так что слои могут быть неприведенными схемами). Кодаира и Нерон независимо друг от друга классифицировали возможные волокна, и алгоритм Тейта можно использовать для определения типа слоев эллиптической кривой над числовым полем.

В следующей таблице перечислены возможные слои минимального эллиптического расслоения. («Минимальный» означает примерно тот, который нельзя разложить на «меньший»; точнее, особые слои не должны содержать гладких рациональных кривых с числом самопересечения -1.) Это дает:

Символ Кодаиры для волокна,
Символ Андре Нерона для волокна,
Количество неприводимых компонент слоя (все рациональные, кроме типа I ₀ )
Матрица пересечения компонентов. Это либо нулевая матрица 1 × 1 , либо аффинная матрица Картана , диаграмма Дынкина которой дана.
Кратности каждого слоя указаны на диаграмме Дынкина.

Кодаира	Нерон	Составные части	Матрица пересечения
Я ₀	А	1 (эллиптический)	0
Я ₁	В ₁	1 (с двойной точкой)	0
Я ₂	В ₂	2 (2 различных точки пересечения)	аффинный A ₁
Я _v (v≥2)	B _v	v (v различных точек пересечения)	аффинный A _v-1
_m I_v (v≥0, m ≥2)		I _v с кратностью m
II	C ₁	1 (с куспидом)	0
III	C ₂	2 (встречаются по порядку ведения заседания 2)	аффинный A ₁
IV	C ₃	3 (все сходятся в 1 очко)	аффинный A ₂
Я ₀^*	C ₄	5	аффинный D ₄
Я _v^* (v≥1)	С _{5, в}	5 + v	аффинный D _{4 + v}
IV ^*	С ₆	7	аффинный E ₆
III ^*	С ₇	8	аффинная E ₇
II ^*	С ₈	9	аффинная E ₈

Эту таблицу можно найти следующим образом. Геометрические аргументы показывают, что матрица пересечения компонентов слоя должна быть отрицательно-полуопределенной, связной, симметричной и не иметь диагональных элементов, равных −1 (по минимальности). Такая матрица должна быть 0 или кратной матрице Картана аффинной диаграммы Дынкина типа ADE .

Матрица пересечений определяет тип волокна за тремя исключениями:

Если матрица пересечения равна 0, волокно может быть либо эллиптической кривой (тип I ₀ ), либо иметь двойную точку (тип I ₁ ), либо выступ (тип II).
Если матрица пересечения аффинна A ₁ , есть 2 компоненты с кратностью пересечения 2. Они могут пересекаться либо в 2 точках с порядком 1 (тип I ₂ ), либо в одной точке с порядком 2 (тип III).
Если матрица пересечения аффинная A ₂ , есть 3 компонента, каждая из которых встречается с двумя другими. Они могут встречаться парами в 3 разных точках (тип I ₃ ) или все встречаются в одной точке (тип IV).

Монодромия [ править ]

Монодромии вокруг каждого особого слоя является хорошо определенный класс сопряженных элементов в группе SL (2, Z ) 2 × 2 целочисленных матриц с определителем 1. Монодромия описывает способ первой гомологии группы гладкого волокна (которое изоморфно Z ² ) меняется при обходе особого слоя. Представители этих классов сопряженности, связанных с особыми слоями, даются: ^[1]

Волокно	Матрица пересечения	Монодромия	j -инвариантный	Структура группы на гладком локусе
Я _ν	аффинный A _ν-1	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & \ nu \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}$	${\ displaystyle \ infty}$	$\mathbf {Z} /\nu \times \mathbf {C} ^{*}$
II	0	${\begin{pmatrix}1&1\\-1&0\end{pmatrix}}$	0	$\mathbf {C}$
III	аффинный A ₁	${\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$	1728	$\mathbf {Z} /2\times \mathbf {C}$
IV	аффинный A ₂	${\begin{pmatrix}0&1\\-1&-1\end{pmatrix}}$	0	$\mathbf {Z} /3\times \mathbf {C}$
Я _ν^*	аффинный D _{4 + ν}	${\begin{pmatrix}-1&-\nu \\0&-1\end{pmatrix}}$	$\infty$	$(\mathbf {Z} /2)^{2}\times \mathbf {C}$ если ν четное, если ν нечетное $\mathbf {Z} /4\times \mathbf {C}$
IV ^*	аффинный E ₆	${\begin{pmatrix}-1&-1\\1&0\end{pmatrix}}$	0	$\mathbf {Z} /3\times \mathbf {C}$
III ^*	аффинная E ₇	${\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$	1728	$\mathbf {Z} /2\times \mathbf {C}$
II ^*	аффинная E ₈	${\begin{pmatrix}0&-1\\1&1\end{pmatrix}}$	0	$\mathbf {C}$

Для особых слоев типа II, III, IV, IV ^* , III ^* или II ^* монодромия имеет конечный порядок в SL (2, Z ). Это отражает тот факт, что эллиптическое расслоение потенциально хорошо сокращается в таком волокне. То есть после разветвленного конечного покрытия базовой кривой особый слой можно заменить гладкой эллиптической кривой. Какая гладкая кривая появляется, описывается j-инвариантом в таблице. Над комплексными числами кривая с j -инвариантом 0 является единственной эллиптической кривой с группой автоморфизмов порядка 6, а кривая с j-инвариант 1728 - это единственная эллиптическая кривая с группой автоморфизмов порядка 4. (Все остальные эллиптические кривые имеют группу автоморфизмов порядка 2.)

Для эллиптического расслоения с сечением , называемого якобиевым эллиптическим расслоением , гладкое геометрическое место каждого слоя имеет групповую структуру. Для особых слоев эта групповая структура на гладком геометрическом месте описана в таблице, в которой для удобства предполагается, что базовым полем являются комплексные числа. (Для особого слоя с матрицей пересечений, заданной аффинной диаграммой Дынкина , группа компонентов гладкого множества изоморфна центру односвязной простой группы Ли с диаграммой Дынкина , как указано здесь .) особые слои полезны для вычисления группы Морделла-Вейля эллиптического расслоения (группы секций), в частности его подгруппы кручения. ${\tilde {\Gamma }}$ $\Gamma$

Логарифмические преобразования [ править ]

Логарифмическое преобразование (порядка м с центром в точке р ) эллиптической поверхности или расслоения поворачивает волокно кратности 1 над точкой р основного пространства в волокно кратности т . Его можно перевернуть, чтобы все волокна с высокой кратностью можно было превратить в волокна с кратностью 1, и это можно было использовать для устранения всех нескольких волокон.

Логарифмические преобразования могут быть довольно резкими: они могут изменить размерность Кодаиры и могут превратить алгебраические поверхности в неалгебраические поверхности.

Пример: Пусть L решетка Z + I Z из С , и пусть Е быть эллиптической кривой С / л . Тогда отображение проекции из E × C в C является эллиптическим расслоением. Мы покажем, как заменить слой над 0 слоем кратности 2.

Существует автоморфизм E × C порядка 2, который отображает ( c , s ) в ( c +1/2, −s ). Пусть X будет фактором E × C по действию этой группы. Сделаем X расслоением над C , отображая ( c , s ) в s ² . Мы строим изоморфизм из X минус слой над 0 в E × C минус слой над 0, отображая ( c , s ) в ( c -log (s ) / 2πi, s ² ). (Два слоя над 0 являются неизоморфными эллиптическими кривыми, поэтому расслоение X , конечно, не изоморфно расслоению E × C над всем C. )

Тогда расслоение X имеет волокно кратности 2 над 0, а в противном случае выглядит как E × C . Мы говорим, что X получается путем применения логарифмического преобразования порядка 2 к E × C с центром 0.

См. Также [ править ]

Классификация Энрикеса-Кодаира
Минимальная модель Нерона

Заметки [ править ]

^ Барт, Хулек, Петерс и Ван де Вен, Компактные сложные поверхности , раздел V.10, таблицы 5 и 6; Коссек, Долгачев, Поверхности Энриквеса , следствие 5.2.3.

Ссылки [ править ]

Barth, Wolf P .; Хулек, Клаус; Питерс, Крис AM; Ван де Вен, Антониус. Компактные сложные поверхности . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фольге. 4 (2-е доп. Изд.). Берлин: Springer-Verlag . ISBN 3-540-00832-2. Zbl 1036.14016 . CS1 maint: discouraged parameter (link)
Коссек, Франсуа; Долгачев Игорь . Энриквес Поверхности . Бостон: Биркхойзер . ISBN 3-7643-3417-7. Руководство по ремонту 0986969 . CS1 maint: discouraged parameter (link)
Кодаира, Кунихико (1964). «О строении компактных комплексных аналитических поверхностей. I». Являюсь. J. Math . 86 : 751–798. DOI : 10.2307 / 2373157 . Zbl 0137.17501 . CS1 maint: discouraged parameter (link)
Кодаира, Кунихико (1966). «О строении компактных комплексных аналитических поверхностей. II». Являюсь. J. Math . 88 : 682–721. DOI : 10.2307 / 2373150 . Zbl 0193.37701 . CS1 maint: discouraged parameter (link)
Нерон, Андре (1964). "Минимальные модели абельенских сортов на локальных и глобальных корпусах" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS (на французском языке). 21 : 5–128. DOI : 10.1007 / BF02684271 . Руководство по ремонту 0179172 . Zbl 0132.41403 . CS1 maint: discouraged parameter (link)

[1] Барт, Хулек, Петерс и Ван де Вен, Компактные сложные поверхности , раздел V.10, таблицы 5 и 6; Коссек, Долгачев, Поверхности Энриквеса , следствие 5.2.3.