Модуль Дринфельда

В математике , А модуль Дринфельд (или эллиптический модуль ) составляет примерно особый вид модуля над кольцом функций на кривой над конечным полем , обобщающее модуль Карлица . Грубо говоря, они представляют собой аналог функционального поля комплексной теории умножения . Штука (также называемый F-пучком или chtouca ) является своим родом обобщения модуля Дринфельда, состоящая примерно из векторного расслоения над кривым, вместе с некоторой дополнительной структурой идентификации «фробениусова поворота» расслоения с «модификацией» из этого.

Модули Дринфельда были введены Дринфельдом ( 1974 ), который использовал их для доказательства гипотез Ленглендса для GL ₂ о поле алгебраических функций в некоторых частных случаях. Позже он изобрел штуки и использовал штуки ранга 2, чтобы доказать оставшиеся случаи гипотез Ленглендса для GL ₂ . Лоран Лафорг доказал гипотезы Ленглендса для GL _n функционального поля, изучив стек модулей штук ранга n .

«Штука» - это русское слово штука, означающее «единичный экземпляр», которое происходит от немецкого существительного «Stück», означающего «штука, предмет или единица». В русском языке слово «штука» также используется в сленге для обозначения вещь с известными свойствами, но не имеющая имени в сознании говорящего.

Модули Дринфельда

Кольцо аддитивных многочленов

Пусть - поле характеристики . Кольцо определяется как кольцо некоммутативных (или скрученных) многочленов над , с умножением, заданным формулой ${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle p> 0}$ ${\ Displaystyle L \ {\ tau \}}$ ${\ Displaystyle а_ {0} + а_ {1} \ тау + а_ {2} \ тау ^ {2} + \ cdots}$ ${\ displaystyle L}$

{\ displaystyle \ tau a = a ^ {p} \ tau, \ quad a \ in L.}

Этот элемент можно рассматривать как элемент Фробениуса : на самом деле, это левый модуль над , с элементами, действующими как умножение и действующими как эндоморфизм Фробениуса . Кольцо также можно рассматривать как кольцо всех (абсолютно) аддитивных многочленов ${\ Displaystyle \ тау}$ ${\ displaystyle L}$ ${\ Displaystyle L \ {\ tau \}}$ ${\ displaystyle L}$ ${\ Displaystyle \ тау}$ ${\ displaystyle L}$ ${\ Displaystyle L \ {\ tau \}}$

{\ displaystyle a_ {0} x + a_ {1} x ^ {p} + a_ {2} x ^ {p ^ {2}} + \ cdots = a_ {0} \ tau ^ {0} + a_ {1 } \ tau + a_ {2} \ tau ^ {2} + \ cdots \,}

in , где многочлен называется аддитивным, если (как элементы ). Кольцо аддитивных многочленов порождается как алгебра над многочленом . Умножение в кольце аддитивных многочленов задается композицией многочленов, а не умножением коммутативных многочленов, и не является коммутативным. ${\ Displaystyle L [х]}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ Displaystyle е (х + у) = е (х) + е (у)}$ ${\ Displaystyle L [х, у]}$ ${\ displaystyle L}$ ${\ Displaystyle \ тау = х ^ {р}}$

Определение модулей Дринфельда

Пусть F алгебраическая функция поля с конечным полем констант и зафиксировать место в F . Определим A как кольцо элементов в F , регулярных во всех местах, кроме возможно . В частности, A - дедекиндова область, и она дискретна в F (с топологией, индуцированной ). Например, мы можем взять A как кольцо многочленов . Пусть L - поле с гомоморфизмом колец . ${\ displaystyle \ infty}$ ${\ displaystyle \ infty}$ ${\ displaystyle \ infty}$ ${\ displaystyle F_ {q} [t]}$ ${\ displaystyle \ iota: от A \ до L}$

Дринфельд модуль над L представляет собой кольцевой гомоморфизм , образ которого не содержится в L , такой , что состав с совпадает с .

{\ Displaystyle \ phi: от А \ до L \ {\ тау \}}

{\ displaystyle \ phi}

d:L\{\tau \}\to L,\,a_{0}+a_{1}\tau +\cdots \mapsto a_{0}

\iota :A\to L

Условие, что образ A не находится в L, является условием невырожденности, введенным для исключения тривиальных случаев, в то время как условие, создающее впечатление, что модуль Дринфельда - это просто деформация карты . $d\circ \phi =\iota$ $\iota$

Поскольку L {τ} можно рассматривать как эндоморфизмы аддитивной группы L , A -модуль Дринфельда можно рассматривать как действие A на аддитивной группе L , или, другими словами, как A -модуль, базовый аддитивный группа является аддитивной группой L .

Примеры модулей Дринфельда

Определим A как F _p [ T ], обычное (коммутативное!) Кольцо многочленов над конечным полем порядка p . Другими словами, A - координатное кольцо аффинной кривой рода 0. Тогда модуль Дринфельда ψ определяется образом ψ ( T ) группы T , которым может быть любой непостоянный элемент L {τ}. Таким образом, модули Дринфельда можно отождествить с непостоянными элементами L {τ}. (В случае высшего рода описание модулей Дринфельда более сложное.)
Модуль Карлицы является Дринфельд модуль ψ задается ф ( Т ) = Т + т, где является Р _р [ Т ] и L представляет собой подходящее полное алгебраически замкнутое поле , содержащее А . Он был описан Л. Карлитцем в 1935 году, за много лет до общего определения модуля Дринфельда. См. Главу 3 книги Госса для получения дополнительной информации о модуле Carlitz. См. Также экспоненту Карлица .

Штукас

Предположим, что X - кривая над конечным полем F _p . (Правая) штука ранга r над схемой (или стеком) U задается следующими данными:

Локально свободные пучки E , E ′ ранга r над U × X вместе с инъективными морфизмами

E → E ′ ← (Fr × 1) ^*E ,

чьи коядра поддерживаются на определенных графах морфизмов из U в X (называемых нулем и полюсом штуки и обычно обозначаются 0 и ∞) и локально свободны от ранга 1 на своих носителях. Здесь (ПТ × 1) ^*Е является поднятием Е на фробениусовом эндоморфизме U .

Левая Штука определяются таким же образом , за исключением того, что направление морфизмов восстанавливаются. Если полюс и ноль штуки не пересекаются, то левая штука и правая штука по существу одинаковы.

Варьируя U , получим алгебраическую стека Shtuka ^г из shtukas ранга г , «универсальной» Штука над Shtuka ^г × X и морфизм (∞, 0) от Shtuka ^г на X × X , которая является гладкой и относительной размерности 2 r - 2. Стек Штука ^r не конечного типа при r > 1.

Модули Дринфельда - это в некотором смысле особые виды штук. (Это совсем не очевидно из определений.) Точнее, Дринфельд показал, как построить штуку из модуля Дринфельда. См. Drinfeld, VG. Коммутативные подкольца некоторых некоммутативных колец. Функц. Анальный. я Приловзен. 11 (1977), нет. 1, 11–14, 96. Подробнее.

Приложения

Гипотезы Ленглендса для функциональных полей утверждают (очень грубо), что существует биекция между каспидальными автоморфными представлениями GL _n и некоторыми представлениями группы Галуа. Дринфельд использовал модули Дринфельда для доказательства некоторых частных случаев гипотез Ленглендса, а позже доказал полные гипотезы Ленглендса для GL ₂ , обобщив модули Дринфельда на штуки. «Трудной» частью доказательства этих гипотез является построение представлений Галуа с определенными свойствами, и Дринфельд построил необходимые представления Галуа, найдя их внутри l -адических когомологий некоторых пространств модулей штукатурок ранга 2.

Дринфельд предположил, что пространства модулей штук ранга r можно использовать аналогичным образом для доказательства гипотез Ленглендса для GL _r ; Огромные технические проблемы, связанные с выполнением этой программы, были решены Lafforgue после многих лет усилий.

Смотрите также

использованная литература

Эта статья включает в себя список литературы , связанной литературы или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Март 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Модули Дринфельда

Дринфельд В. (1974), "Эллиптические модули", Математический сборник , 94 , МР 0384707.. Английский перевод по математике. СССР Сборник 23 (1974) 561–592.
Госс, Д. (1996), Основные структуры арифметики функционального поля , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Результаты в математике и смежных областях (3)], 35 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-3-642-61480-4 , ISBN 978-3-540-61087-8, MR 1423131
Гекелер, Э.-У. (2001) [1994], "Модуль Дринфельда" , Энциклопедия математики , EMS Press.
Лаумон, Жерар (1996), Когомологии модульных многообразий Дринфельда, Часть 1, Геометрия, подсчет точек и локальный гармонический анализ , Кембриджские исследования по высшей математике, 41 , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-47060-5
Лаумон, Жерар; Вальдспургер, Жан Лу (1996), Когомологии модульных многообразий Дринфельда, часть 2, автоморфные формы, формулы следов и соответствие Ленглендса , Кембриджские исследования в области высшей математики, 56 , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-47061-2
Розен, Майкл (2002), «13. Модули Дринфельда: введение», Теория чисел в функциональных полях , Graduate Texts in Mathematics , 210 , New York, NY: Springer-Verlag , ISBN 0-387-95335-3, Zbl 1043,11079.

Штукас

Дринфельд В.Г. Когомологии компактифицированных многообразий модулей F-пучков ранга 2. Зап. Научн. Сем. Ленинград. Отдел. Мат. Inst. Стеклова. ( ЛОМИ ) 162 (1987), Автоморфн. Функц. я Теор. Зубило. III, 107–158, 189; перевод в Ж. Советской математики. 46 (1989), нет. 2, 1789–1821
Дринфельд В.Г. (1987), "Многообразия модулей F-пучков", Функц. Анальный. и Приложен. (на русском языке), 21 (2): 23–41. Английский перевод: Functional Anal. Прил. 21 (1987), нет. 2, 107–122.
Госс, Д. (2003), "Что такое штука?" (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 50 (1)
Каждан, Дэвид А. (1979), "Введение в Штуку Дринфельда" , в Бореле, Арманд ; Кассельман У. (ред.), Автоморфные формы, представления и L-функции (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), Часть 2 , Proc. Симпозиумы. Чистая математика, XXXIII, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 347–356, ISBN 978-0-8218-1437-6, Руководство по ремонту 0546623